高中数学第二讲参数方程一第一课时参数方程的概念及圆的参数方程学案新人教A版.docx

第1课时参数方程的概念及圆的参数方程学习目标1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题知识点一参数方程的概念思考在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？答案可以引入参数，作为x，y联系的桥梁梳理参数方程的概念(1)参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t(，)的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程(2)参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化知识点二圆的参数方程思考如图，角的终边与单位圆交于一点P，P的坐标如何表示？答案P(cos，sin)，由任意角的三角函数的定义即xcos，ysin.梳理圆的参数方程圆心和半径圆的普通方程圆的参数方程圆心O(0,0)，半径rx2y2r2(为参数)圆心C(a，b)，半径r(xa)2(yb)2r2(为参数)类型一参数方程及应用例1已知曲线C的参数方程是(t为参数)(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值解(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，得解得t0.点M1在曲线C上同理可知，点M2不在曲线C上(2)点M3(6，a)在曲线C上，解得t2，a9.a9.反思与感悟参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的跟踪训练1在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程是(为参数)(1)求曲线C上的点Q(，3)对应的参数的值；(2)若点P(m，1)在曲线C上，求m的值解(1)把点Q的坐标(，3)代入参数方程，得即解得2k(kZ)，故曲线上的点Q对应的参数的值是2k(kZ)(2)把点P的坐标(m，1)代入参数方程，得解得sin，故cos，即m，即所求m的值是.类型二求曲线的参数方程例2如图，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程解方法一设点P(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q.如图所示，则RtOABRtQBP.取OBt，t为参数(0ta)|OA|，|BQ|.又|PQ|OB|t，点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0ta)方法二设点P(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示取QBP，为参数，则ABO，在RtOAB中，|OB|acosasin.在RtQBP中，|BQ|acos，|PQ|asin.点P在第一象限的轨迹的参数方程为(为参数，0)反思与感悟求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标(2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；x，y的值可以由参数惟一确定(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略跟踪训练2长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，3，点P的轨迹为曲线C.(1)以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；(2)求点P到点D(0，2)距离的最大值解(1)设P(x，y)，由题意，得x|AB|cos()2cos，y|AB|sin()sin.所以曲线C的参数方程为(为参数，)(2)由(1)得|PD|2(2cos)2(sin2)24cos2sin24sin43sin24sin832.当sin时，|PD|取得最大值.类型三圆的参数方程及应用例3如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动点，Q(4,0)在x轴上M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，(1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形；(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x2y的取值范围解(1)设点M(x，y)，令xOP，则圆O的参数方程为(为参数)，点P的坐标为(2cos，2sin)又Q(4,0)，xcos2，ysin.点M的轨迹的参数方程为(为参数)由参数方程知，点M的轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的圆(2)x2ycos22sinsin()2，tan.1sin()1，2x2y2.即x2y的取值范围是2，2反思与感悟(1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题跟踪训练3已知实数x，y满足(x1)2(y1)29，求x2y2的最大值和最小值解由已知，可把点(x，y)视为圆(x1)2(y1)29上的点，设(为参数)则x2y2(13cos)2(13sin)2116(sincos)116sin.1sin1，116x2y2116.x2y2的最大值为116，最小值为116.1下列方程：(m为参数)；(m，n为参数)；xy0中，参数方程的个数为()A1B2C3D4答案A2曲线(为参数)围成图形的面积等于()AB2C3D4答案D3圆C：(为参数)的圆心坐标为_，和圆C关于直线xy0对称的圆C的普通方程是_答案(3，2)(x2)2(y3)216(或x2y24x6y30)解析将参数方程化为标准方程，得(x3)2(y2)216，故圆心坐标为(3，2)点P(3，2)关于直线yx的对称点为P(2,3)，则圆C关于直线yx对称的圆C的普通方程为(x2)2(y3)216(或x2y24x6y30)4已知(t为参数)，若y1，则x_.答案0或2解析yt21，t1.x112或x110.5若P(2，1)为圆O：(02)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程为_答案xy30解析圆心O(1,0)，kOP1，即直线l的斜率为1.直线l的方程为xy30.1参数方程(1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x，y之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用(2)参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系2求曲线参数方程的步骤第一步，建系，设M(x，y)是轨迹上任意一点；第二步，选参数，比如选参数t；第三步，建立x，y与参数间的关系，即一、选择题1若点P(4，a)在曲线(t为参数)上，则a等于()A4B4C8D1答案B解析根据题意，将点P的坐标代入曲线方程中，得2下列的点在曲线(为参数)上的是()A.B.C(2，) D(1，)答案B解析由参数方程得y21x，只有B项中的点符合上式3已知O为原点，参数方程(为参数)上的任意一点为A，则|OA|等于()A1B2C3D4答案A解析|OA|1，故选A.4参数方程(t为参数)表示的曲线是()A两条直线B一条射线C两条射线D双曲线答案C解析当t0时，是一条射线；当t0时，也是一条射线，故选C.5圆心为点(1,2)，半径为5的圆的参数方程为()A.(02)B.(02)C.(0)D.(02)答案D解析圆心为点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(0,2)故圆心为点(1,2)，半径为5的圆的参数方程为(02)6设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为()A1B2C3D4答案B解析由得(x2)2(y1)29.曲线C表示以点(2，1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，1)到直线l的距离d3，所以直线与圆相交，所以过圆心(2，1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3d，故满足题意的点有2个二、填空题7若点(3，3)在曲线(为参数)上，则_.答案2k，kZ解析将点(3，3)代入参数方程(为参数)，得解得2k，kZ.8已知圆C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为_答案(1,1)，(1,1)解析由圆C的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为x2(y1)21，由直线l的极坐标方程sin1，可求得其在直角坐标系下的方程为y1，由可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(1,1)，(1,1)9在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(为参数)和直线l：3x4y100，则直线l与圆C相交所得的弦长等于_答案4解析由圆C的参数方程(为参数)，可得圆C的圆心为(1,2)，半径为5，又直线l的方程为3x4y100，圆心到直线l的距离d1，直线l与圆C相交所得的弦长为24.10若x，y满足(x1)2(y2)24，则2xy的最小值为_答案2解析令x12cos，y22sin，则有x2cos1，y2sin2，故2xy4cos22sin24cos2sin2sin()，tan2.22xy2.即2xy的最小值为2.三、解答题11已知直线yx与曲线(为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.解由得(x1)2(y2)24，其圆心为(1,2)，半径r2，则圆心(1,2)到直线yx的距离d.|AB|22.12已知曲线C：(为参数)，如果曲线C与直线xya0有公共点，求实数a的取值范围解x2(y1)21.圆与直线有公共点，则d1，解得1a1.即实数a的取值范围是1，113.如图所示，OA是圆C的直径，且|OA|2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQOA，PBOA，试求P点的轨迹方程解设点P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ，由PQOA，PBOA，得xOD|OQ|cos|OA|cos22acos2，yAB|OA|tan2atan.所以P点的轨迹的参数方程为.四、探究与拓展14设Q(x1，y1)是单位圆x2y21上一个动点，则动点P(xy，x1y1)的轨迹的参数方程是_答案解析设x1cos，y1sin，P(x，y)则即为所求15在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，