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课时作业(二十八) 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1已知点A(2,3),B(2,6),C(6,6),D(10,3),则以A、B、C、D为顶点的四边形是()A梯形 B邻边不等的平行四边形C菱形D两组对边均不平行的四边形答案B解析(4,3),(4,3),(8,0),所以ABCD.又因为|,故选B.2一船从某河的一岸驶向另一岸,船速为v1,水速为v2,已知船可垂直到达对岸,则()A|v1|v2|C|v1|v2| D|v1|v2|答案B解析船速v1应大于水速v2,即|v1|v2|.3在ABC中,C90,(k,1),(2,3),则k的值是()A. BC5 D5答案C解析(2,3)(k,1)(2k,2)C90,0.(2,3)(2k,2)0,即2(2k)60,k5.4(高考真题山东卷)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a(m,n),b(p,q),令abmqnp.下面说法错误的是()A若a与b共线,则ab0BabbaC对任意的R,有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2答案B解析根据题意可知若a,b共线,可得mqnp,所以abmqnp0,所以A正确因为abmqnp,则banpmq,故二者不等,所以B错误对于任意的R,(a)b(ab)mqnp,所以C正确(ab)2(ab)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2,所以D正确,故选B.5点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v(4,3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位)设开始时点P坐标为(10,10)则5 s后点P坐标为()A(2,4) B(30,25)C(10,5) D(5,10)答案C6已知作用在A点的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1),且A(1,1),则合力FF1F2F3终点的坐标为()A(1,9) B(9,1)C(8,0) D(0,8)答案B解析F(8,0),设终点坐标为(x,y),则解得故选B.7点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高线的交点答案D8在ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM2,则()的最小值为_答案2解析如图,设AO x,则OM2x,所以()22|2x(2x)2x24x2(x1)22,故当x1时,()取得最小值2.9设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(2)()0,则ABC的形状一定是_答案等腰三角形解析(2)()()()()()()|2|20,|,ABC是等腰三角形10(高考真题浙江卷)在ABC中,M是BC的中点,AM3,BC10,则_答案16解析2,(2)2()2,2()2.442264.16.11(高考真题北京卷)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_答案11解析以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),设E(1,a)(0a1)所以(1,a)(1,0)1,(1,a)(0,1)a1,故的最大值为1.12如图,在正方形ABCD中,已知|2,若N为正方形内(含边界)任意一点,则的最大值是_答案4解析|cos BAN,|cos BAN表示在方向上的投影,又|2,的最大值是4.13已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1e12e2,b23e14e2,则b1b2_答案6解析由题设知|e1|e2|1,且e1e2,所 b1b2(e12e2)(3e14e2)3e122e1e28e223286.重点班选做题14.(2012江苏)如图,在矩形ABCD中,AB,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是_答案解析以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,则B(,0),E(,1),D(0,2),C(,2)设F(x,2)(0x),由xx1,所以F(1,2),(,1)(1,2).15.如图所示,若D是ABC内的一点,且AB2AC2DB2DC2.求证:ADBC.证明设a,b,c,d,e,则aec,bed.a2b2(ec)2(ed)2c22ec2edd2.由已知a2b2c2d2,c22ec2edd2c2d2,即e(cd)0.dc,e(dc)0.即ADBC.1(2014福建)在下列向量组中,可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0),e2(1,2)Be1(1,2),e2(5,2)Ce1(3,5),e2(6,10)De1(2,3),e2(2,3)答案B解析方法一:若e1(0,0),e2(1,2),则e1e2,而a不能由e1,e2表示,排除A;若e1(1,2),e2(5,2),因为,所以e1,e2不共线,根据共面向量的基本定理,可以把向量a(3,2)表示出来,故选B.方法二:因为a(3,2),若e1(0,0),e2(1,2),不存在实数,使得ae1e2,排除A;若e1(1,2),e2(5,2),设存在实数,使得ae1e2,则(3,2)(5,22),所以解得所以a2e1e2,故选B.2(2016课标全国)已知向量(,),(,),则ABC()A30B45C60 D120答案A解析由两向量的夹角公式,可得cosABC,则ABC30.3(2017课标全国,文改编)已知两个非零向量a,b满足|ab|ab|,则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab答案B解析两边平方求解由|ab|ab|,两边平方并化简得ab0,又a,b都是非零向量,所以ab.4(2016天津)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE2EF,则的值为()A B.C. D.答案B解析如图以直线AC为x轴,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(0,0),C(1,0),B(,),F(1,),(1,),(,),选B.5(2014新课标全国,文)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则()A. B.C. D.答案A解析()()(),故选A.6(2014福建,文)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()A. B2C3 D4答案D解析利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点,所以点M是AC和BD的中点由平行四边形法则知2,2,故4.7(高考真题湖北卷)设a,b,c是单位向量,且abc,则ac的值为()A2 B.C3 D.答案B解析由|a|b|c|1,bca,两边平方得b2(ca)2,1112ac,ac.8(2014新课标全国)设向量a,b满足|ab|,|ab|,则ab()A1 B2C3 D5答案A解析由条件可得(ab)2 10,(ab)26,两式相减,得4ab4,所以ab1.9(高考真题辽宁卷)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|答案C解析因为,则向量与是方向相同的单位向量,所以a与b共线同向,即使成立的充分条件为C项10(高考真题四川卷)如图,正六边形ABCDEF中,()A0B.C. D.答案D11(高考真题全国卷)设向量a,b满足|a|b|1,ab,则|a2b|()A. B.C. D.答案B12(高考真题全国卷)若平面向量,满足|1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为,则与的夹角的范围是_答案,解析|sin,sin,.13(高考真题江苏卷)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,ADAB,BEBC.若12(1,2为实数),则12的值为_答案解析(),12,1,2,故12.14(高考真题重庆卷)若向量(1,3),|,0,则|_答案2解析方法一:设(x,y),由|,知.又x3y0,所以x3,y1,或x3,y1.当x3,y1时,|2;当x3,y1时,|2,则|2.方法二:由几何意义知,|就是以,为邻边的正方形的对角线长,所以|2.15(高考真题北京卷)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示若cab(,R),则_答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,1),B(6,2),C(5,1),所以a(1,1),b(6,2),c(1,3)由cab可得解得所以4.16(2017课标全国,文)已知向量a(1,2),b(m,1)若向量ab与a垂直,则m_答案7解析(ab)a,(ab)a0.a(1,2),b(m,1),ab(m1,3)(ab)a(m1)230,解得m7.17(2017山东,理)已知e1,e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60,则实数的值是_答案解析e1,e2是互相垂直的单位向量,e1e20.设ae1e2,则a2(e1e2)23e122e1e2e224.|a|2.设be1e2,则|b|2e122e1e22e2221.|b|.ab(e1e2)(e1e2),a,b的夹角为60,cos60.18(2017课标全国,理)已知向量a,b的夹角为60,|a|2,|b|1,则|a2b|_答案2解析|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos60(2|b|)2222222244412,|a2b|2.1(高考真题福建卷)已知向量a(x1,2),b(2,1),则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0答案D解析ab2(x1)20,得x0,故选D.2(高考真题安徽卷)设向量a(1,0),b(,),则下列结论中正确的是()A|a|b| BabCab Dab与b垂直答案D解析由题意知|a|1,|b|,ab10,(ab)bab|b|20,故ab与b垂直3(高考真题天津卷)在ABC中,A90,AB1,AC2.设点P,Q满足,(1),R.若2,则()A.B.C. D2答案B解析设a,b,则由已知得ab0,|a|1,|b|2,并且a,(1)b,所以(1)ba,ab,所以(1)ba(ab)(1)1aba2(1)b24(1)342,所以,选B.4(高考真题安徽卷)已知向量a、b满足(a2b)(ab)6,且|a|1,|b|2,则a与b的夹角为_答案5(2015江苏)已知向量a(2,
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