解析几何课件(吕林根+许子道第四版)

1、解析几何课件(第四版)吕林根 许子道等编第四章第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论第一章第一章 向量与坐标向量与坐标第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.1 向量的概念向量的概念1.3 数乘向量数乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影 1.5 标架与坐标标架与坐标1.7 两向量的数性积两向量的数性积1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.8 两向量的矢

2、性积两向量的矢性积第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程 2.2 曲面的方程曲面的方程2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程 2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 平面的方程平面的方程3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置3.4 空间直线的方程空间直线的方程3.6 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置3.7 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置第四章第四章 柱面锥面旋转曲面柱面锥面旋转曲

3、面 与二次曲面与二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋转曲面旋转曲面4.2 锥面锥面 4.4 椭球面椭球面 4.5 双曲面双曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论5.1 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类 5.5 二次曲线的主直径和主方向二次曲线的主直径和主方向 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或称或称矢量矢量.向量向量(

4、(矢量矢量) )既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量的几何表示：向量的几何表示：|a21MM| |向量的模向量的模：向量的大小向量的大小. .或或以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.a21MM或或两类量两类量: 数量数量(标量标量):可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段有向线段的方向表示有向线段的方向表示向量向量的方向的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示向量向量的大小的大小,1M2M a1.1 1.1 向量的概念向量的概念所有的零向量都相等所有的零向量都相等. .ab模为模为1 1的向量的向量. .零向量：零向量： 模为

5、模为0 0的向量的向量. .0单位向量：单位向量：21MMeae或或 定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .记为记为ba 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向两个模相等，方向相反的向量叫做互为量叫做互为反向量反向量. .BA互为反矢量互为反矢量与与ABaa 的的反反矢矢量量记记为为a a零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线. . 定义定义1.1.4 1.1.4 平行于同一直线的一组向量平行于同一直线的一组向量叫做共线向量叫做共线向量. . 定义定义1.1.5 1.

6、1.5 平行于同一平面的一组向量平行于同一平面的一组向量叫做共面向量叫做共面向量. .零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面. .abOAB这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则. .OBOA 、OBOAOC 定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向量如果把两个向量 为邻边为邻边组成一个平行四边形组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量，那么对角线向量 bacbacOBBOOABbABaOAOba 的和，记做的和，记做与与叫做两矢量叫做两矢量的矢量的矢量到另一端点到另一端点，从折线的端点，从折线的端点得一折线得一折线，接连作矢量接连作矢量为始

7、点为始点，以空间任意一点，以空间任意一点、设已知矢量设已知矢量定义定义,1 . 2 . 11.2 1.2 向量的加法向量的加法OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa法则推广法则推广求和求和相加可由矢量的三角形相加可由矢量的三角形有限个矢量有限个矢量naaa,21.,12112121122111nnnnnnnnAAAAOAOAaaanaOAAAOAaAAaAAaOAO 的的和和，即即个个矢矢量量就就是是于于是是矢矢量量由

8、由此此得得一一折折线线开开始始，依依次次引引自自任任意意点点OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则向量减法向量减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab.2 . 2 . 1bacbacacbacb 的差，并记做的差，并记做与与叫做矢量叫做矢量时，我们把矢量时，我们把矢量，即，即的和等于矢量的和等于矢量与矢量与矢量当矢量当矢量定义定义1,.a bc 例设互不共线的三矢量与 ，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零矢量,0,0a b cABCABaBCb CAcABBCCA AAabc 证 必要性 设三矢量 ，可以构成三

9、角形，即有，那么即0,0,.abcABa BCbACabACccACc CAa b cABC 充分性 设，作那么所以从而 是的反矢量，因此 ，所以 ，可构成一个三角形ABC, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 1.3.1,00.aaaaaaa定义实数 与矢量 的乘积是一个矢量，记做它的模是；的方向，当时与 相同，当时与相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘1.3 1.3 数乘向量数乘向量定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：

10、)()(aa a)( （2 2）第一分配律：）第一分配律：aaa )(baba )(0.ababa设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使定定理理两个向量的平行关系两个向量的平行关系（3 3）第二分配律：）第二分配律：证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ab 即有即有.同向同向与与此时此时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即同方向的单位向量，同方向

11、的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aea按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，aeaa| .|aeaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量果是一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1设设AM是三角形是三角形ABC的中线，求证的中线，求证:证证 1()2AMABAC 如图如图 因为 ,AMABBM AMACCM 2()(),AMABACBMCM 所以 但 0,BMCMBMMB 因而 2AMABAC 即 1()2AMABAC ABCM(图1.11)例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点用向量方法证

12、明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证证 设设ABC两边两边AB，AC之中点分别为之中点分别为M，N，那么那么MNANAM 1122ACAB 1()2ACAB 12BC 所以所以/MNBC 且且12MNBC .,1 . 4 . 12122112121的线性组合的线性组合叫做矢量叫做矢量所组成的矢量所组成的矢量与数量与数量由矢量由矢量定义定义nnnnnaaaaaaaaaa .,)14 . 1(01 . 4 . 1唯一确定唯一确定被被并且系数并且系数，的线性组合，即的线性组合，即是是线性表示，或者说线性表示，或者说可以用矢量可以用矢量线的

13、充要条件是线的充要条件是共共与矢量与矢量，那么矢量，那么矢量如果矢量如果矢量定理定理rexexrererere .共线矢量的基底共线矢量的基底称为用线性组合来表示称为用线性组合来表示这时这时e1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解.,24 . 1,2 . 4 . 1212121212121唯一确定唯一确定被被并且系数并且系数）（的线性组合，即的线性组合，即可以分解成可以分解成或者说向量或者说向量线性表示，线性表示，可以用向量可以用向量共面的充要条件是共面的充要条件是与与不共线，那么向量不共线，那么向量如果向量如果向量定理定理reeyxeyexreereereere

14、e .,)34 . 1(,3 . 4 . 1321321321321321唯一确定唯一确定被被并且其中系数并且其中系数的线性组合，即的线性组合，即可以分解成向量可以分解成向量任意向量任意向量线性表示，或说空间线性表示，或说空间可以由向量可以由向量任意向量任意向量不共面，那么空间不共面，那么空间如果向量如果向量定理定理reeezyxezeyexreeereeereee .,21叫做平面上向量的叫做平面上向量的基底基底这时这时ee 例例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,321叫做空间向量的基底叫做空间向量的

15、基底这时这时eee.,.,3211321321321关系式关系式线性表示的线性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了三点重合三点重合下只需证下只需证两组对边中点分别为两组对边中点分别为其余其余它的中点为它的中点为线为线为的连的连的中点的中点对边对边一组一组设四面体设四面体证证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD ),(211AFAEAP 连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以有 又因为又因为AF是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211e

16、ABAE 而而),(41)(2121213213211eeeeeeAP 从而得从而得)3 , 2(),(41321 ieeeAPi同理可得同理可得321APAPAP所以所以.,321三点重合，命题得证三点重合，命题得证从而知从而知PPP.,)44 . 1, 0,)1(2 . 4 . 12122112121关的向量叫做线性无关关的向量叫做线性无关性相性相叫做线性相关，不是线叫做线性相关，不是线个向量个向量那么那么（使得使得个数个数在不全为零的在不全为零的，如果存，如果存个向量个向量对于对于定义定义nnnnnaaanaaanaaann . 0 aa线性相关的充要条件为线性相关的充要条件为一个向量一

17、个向量推论推论.线性相关线性相关量，那么这组向量必量，那么这组向量必一组向量如果含有零向一组向量如果含有零向推论推论.5 . 4 . 1相关相关那么这一组向量就线性那么这一组向量就线性分向量线性相关分向量线性相关如果一组向量中的一部如果一组向量中的一部定理定理.,24 . 4 . 121组合组合向量是其余向量的线性向量是其余向量的线性充要条件是其中有一个充要条件是其中有一个线性相关的线性相关的时，向量时，向量在在定理定理naaan .6 . 4 . 1是它们线性相关是它们线性相关两向量共线的充要条件两向量共线的充要条件定理定理.7 . 4 . 1件是它们线性相关件是它们线性相关三个向量共面的充

18、要条三个向量共面的充要条定理定理.8 . 4 . 1线性相关线性相关空间任何四个向量总是空间任何四个向量总是定理定理x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系. 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限2、坐标面与卦限坐标面与卦限 空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(

19、yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C称为称为点点M的坐标的坐标，x称为横坐标称为横坐标, y称为纵坐标，称为纵坐标， z称为竖坐标称为竖坐标.),(zyxM记为记为3、空间点的直角坐标、空间点的直角坐标 xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM xyzoijk以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.rOMr kzj yi xr 称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.rN.,kzORj yOQi xOP 设设NMPNOPOROQOP4 4、空

20、间向量的坐标、空间向量的坐标 显然，显然，MOMr kzj yi x ),(zyx向量的坐标向量的坐标：,zyx , , rx y z记为OMr 向径：向径：.,kzj yi x在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：r(点点M关于原点关于原点O)xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM rN),(Mzyx既表示点既表示点5、利用坐标作向量的线性运算、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,xyzaaaa ,xyzbbbb,xxyyzzabababab,xxyyzzaba

21、babab,xyzaaaa;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 定理1.5.1 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标。定理1.5.2 两向量和的坐标等于两向量对应坐标的和。定理1.5.3 数乘向量的坐标等于数与向量对应坐标的积。定理1.5.4 两非零向量共线的充要条件是对应坐标成比例。解解111,AMOMOAxxyyzz 222,MBOBOMxxyyzz 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 1 1 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两为两已知点，而在已知点，而在AB直线上的

22、点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为两部分为两部分AM、MB，使它们的值的比等，使它们的值的比等于某数于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点坐标，求分点坐标. ABMxyzo6、线段的定比分点坐标、线段的定比分点坐标由题意知：由题意知：MBAM 111,xxyyzz222,xxyyzz1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 空间一点在轴上的射影空间一点在轴上的射影u AA 过过点点A作作轴轴 u的的垂垂直

23、直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影. 1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影空间一向量在轴上的射影空间一向量在轴上的射影uOMM 向量向量r在轴在轴 u上的上的射射影影. e .轴上的分向量轴上的分向量在在称为向量称为向量则向量则向量uOMrMO 为为则称则称设设 , eMO uurrj)(Pr或或记为记为关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.11.6.1）ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 由此定义，由此定义，,xyzaa aa设则,Prajaxx ,Prajayy .Praja

24、zz 定理定理1 1的说明：的说明：射影为正；射影为正；射影为负；射影为负；射影为零；射影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上射影相等；相等向量在同一轴上射影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.21.6.2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.31.6.3） ajajuuPrPr 例例 1 1 设设

25、kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求向量，求向量pnma 34在在x轴轴上的上的射射影及在影及在y轴上的轴上的射影射影向量向量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.FM1M2s 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积ab ,Prcos|

26、bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的乘积乘积. .向量向量a与与b的的数量积数量积记记为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角) 定义定义关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .

27、|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 )0, 0( ba数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba （3 3）若）若 为数为数： ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 ,

28、0(zR),(zyxM rNOMr 由勾股定理由勾股定理OMr 222OROQOP.,kzORj yOQi xOP 由由,zORyOQxOP 有有222zyxr 向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式OROQOP向量的模与空间两点间距离公向量的模与空间两点间距离公式式xyzo),(222zyxB),(111zyxA),(111zyxA设设),(222zyxB为空间两点为空间两点. . ? ABdOAOBAB 由由222111, ,xyzx y z212121,xx yy zz 212212212zzyyxxAB 空间两点间距离公式空间两点间距离公式ABd 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角

29、的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在规定它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 方向角与方向余弦的坐标表示式非零向量非零向量 的的方向角方向角：r非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo M 由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用

30、来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .),(zyxOMr 设设xyzo ),(zyxM 0222 zyx当当 时，时，,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征NoImage|rr ).cos,cos,(cos 上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向的方向余弦为坐标的向量就是与量就是与 同方向的单位向量同方向的单位向量 rr.re rzryrx, cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbb

31、aaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为：证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(1. 引例引例 设设O点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点, ,力力F作用于杠杆上作用于杠杆上点点P处处, ,求力求力 F对支点对支点O的力矩的力矩. . 根据物理学知识根据物理学知识, ,力力F对点对点 O的力矩是向量的力矩是向量M, ,其大其大小为小为 |sinMdOP FF|sinF dFOP . . 其中其中d为支点为支点O

32、到力到力F的作用线距的作用线距离离, ,为矢量为矢量F与与OP 的夹角的夹角. .力矩力矩M的方向规定为：的方向规定为：OP , ,F, ,M依次符合依次符合右手螺旋法则右手螺旋法则. . O F d P 1.8 1.8 两向量的矢性积两向量的矢性积因此因此, ,力矩力矩 M是一个与向量是一个与向量OP和向量和向量 F有关的有关的向量向量, ,其大小为其大小为|sinOPF, ,其方向满足： （其方向满足： （1 1）同时垂）同时垂直于向量直于向量OP和和 F； （； （2 2） 向量） 向量 OP, , F, , M依次符合右依次符合右手螺旋法则手螺旋法则. . 2 2 向量积的定义向量积的

33、定义 定义定义2 2 两个向量两个向量a和和b的叉积 （也称为向量积）的叉积 （也称为向量积）是一个向量是一个向量, ,记作记作 a b, ,并由下述规则确定：并由下述规则确定： （1 1） sin( , )a ba ba b （2 2）a b的方向规定为的方向规定为: : 注：注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于b, ,并且按顺序并且按顺序 , ,a b a b符符 合右手螺旋法则合右手螺旋法则. . b a c=a b 若把若把a, ,b的起点放在一起的起点放在一起, ,并以并以a, ,b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形, ,则向量则向量a与与b叉积的模叉积的模 sina

34、ba b 即为该平行四边形的面积即为该平行四边形的面积. . 向量向量积的运算规律：积的运算规律： a b a b 定理定理 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的两个非零向量平行的充分必要条件是它们的向向量量积为零向量积为零向量. . 3 3. . 向量积的坐标表示向量积的坐标表示 设设123aaaaijk, ,123bbbbijk, ,注意到注意到 0i ijjkkaa , ,ijk, ,j ki, ,k ij 应用应用向量向量积的运算规律可得积的运算规律可得 2 33 23 11 31 22 1()()()a ba ba ba ba ba babijk. . 为了便于记忆为了便于记忆,

35、,可将可将 a b表示成一个三阶行列式表示成一个三阶行列式, ,计计算时算时, ,只需将其按第一行展开即可，只需将其按第一行展开即可， 即即 123113a baaabbbijk. . 定义定义 设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式 1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义： 向量的混合

36、积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba 已知已知2 cba， 计算计算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例1解解由由立立体体几几何何知知，四

37、四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB ,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程取定相应坐标系后取定相应坐标系后平面上的点平面上的点一一对应一一对应二元有序数组二元有序数组).,(yx空间上的点空间上的点一一对应一一对应三元有序数组三元有序数组).

38、,(zyx 将图形看作点的轨迹，本章将建立轨迹与方程的将图形看作点的轨迹，本章将建立轨迹与方程的对应。对应。2.1 平面曲线的方程 曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线上曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线上点的坐标点的坐标 应满足的制约条件，一般用方程表应满足的制约条件，一般用方程表示为示为yx与).(, 0),(xfyyxF或:0),(,1 . 1 . 2与曲线有关系若之后当平面上取定了坐标系定义=yxF;),() 1坐标必是曲线上某一点的满足方程的yx满足这个方程，曲线上任一点的坐标),()2yx.,0),(叫这方程的图形而这条曲线叫做这条曲线的方程则yxF.也说成“点满足方程”“点

39、的坐标满足方程”有由定义, 1 . 1 . 2, 0),(0),(),() 111111yxFyxFyxM上在曲线点.)2条曲线两个同解方程表示同一即是在给定的坐标系要求其方程给定曲线:,.,程来表示的方用关于其坐标下，将曲线上点的特性yx圆的方程圆的方程.222Ryx.),00(R半径，圆心.)()(222Rbyax.),(Rba半径，圆心注注 同一轨迹在不同坐标系下，一般有不同的方程同一轨迹在不同坐标系下，一般有不同的方程. 曲线的参数方程曲线的参数方程 在解几中在解几中,曲线常表现为一动点运动的轨迹曲线常表现为一动点运动的轨迹,但运动的但运动的规律往往不是直接反映为动点坐标规律往往不是直

40、接反映为动点坐标 间的关系间的关系yx与而是表现为动点位置随时间而是表现为动点位置随时间 变化的规律变化的规律. t 当动点按某种规律运动时当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也将随与它对应的向径也将随时间时间 的不同而改变的不同而改变, 这样的向径称为变向量这样的向径称为变向量, 记作记作t记作向量函数的是变数则称的一个完全确定的值量的每一个值对应于变向若变数,),()(),(trtrrbtattr.),(btatrr(2.1-3)(2.1-3).改变的模与方向一般也随之变化时，显然当rt写成可则为设平面上取定的坐标系)31 . 2(,;21eeO).()()()(21btaetyetxt

41、r(2.1-4)(2.1-4).,)()()(的函数分别是的坐标是，ttrtytx为曲线的则称表达式完全确定过通的某一值而这向径可由点的向径总对应着以它为终在这曲线上的任意点反过来的终点总在一条曲线上表示的向径由的一切允许值若取定义)41 . 2(,)41 . 2()(,;)()41 . 2(,)(2 . 1 . 200btatttrbtat.向量式参数方程xoyA)(arB)(br)(),(tytxP)(tr叫做一条即)41 . 2(t若曲线的向量式参数方程,的内变动时在)(,trba就描出终点)(),(tytxP).(如右图这条曲线来)(tr因曲线上点的向径所以的坐标为),(),(tytx

42、程有曲线的坐标式参数方).(),(),(btatyytxx(2.1-5)(2.1-5)即可得普通方程若可能中消去从)()51 . 2(t. 0),(yxF滑动地滚动，求圆一个圆在一直线是上无例1.圆周上的一点的轨迹,轴上滚动的圆在设半径为取直角坐标系解xaoxy这时有置的位圆心移到点到与直线的切点移滚动经一段时间的如图恰在原点开始时点,),(CAOPPCrAa.CPACOAOPr轴所成的有向角对于是设xCPCACP),(为,)cos()sin()2sin()2cos(jaiaajaiCP则,)cos1()sin(jaiar(2.1-6)(2.1-6),2(),(CPi,jaACiaOAaAPO

43、A所以又(2.1-6)(2.1-6).(,参数程点轨迹的向量式参数方是P数方程点的坐标式参得由点坐标设PyxP)61 . 2(),().(),cos1 (),sin(ayax(2.1-7)(2.1-7)的一段的普通方程时点轨迹在得消去时取0,0P.2arccos2yayayaax(2.1-8)(2.1-8).)71 . 2(复杂得多此方程要比参数方程在一周前后点周时当圆在直线上每转动一P,全相因此曲线是由一系列完的运动情况是相同的,.),(曲线叫旋轮线或摆线如图同的拱形组成oxy.),(,2旋轮线的方程求内或内摆线的轨迹叫内旋轮线某一定点动圆周上的滚动而小圆在大圆内无滑动不动设大圆小圆半径为已

44、知大圆半径为例Pba可得内旋轮线的向量适当选择坐标系与参数解jbbabbaibbabbarsinsin)(coscos)(式参数方程(2.1-9)(2.1-9).)(为参数式中数方程为则内旋论线的坐标式参点的坐标为设),(yxP).(,sinsin)(,coscos)(bbabbaybbabbax(2.1-10)(2.1-10)可简化为时当特殊地,4,ba .sin,cos33ayax(2.1-11)(2.1-11).sin,cos33ayax(2.1-11)(2.1-11).(如图线此曲线称为四尖点星形oxy.,3求线头的轨迹切线放出来的部分成为圆的使来以把线从圆周上解放出后向反方向旋转将线

45、头拉紧上把线绕在一个固定圆周例oxyARPBr点轨迹的向量参数可得适当选择坐标系与解P式参数方程,)cos(sin)sin(cosjRiRr(2.1-12)(2.1-12).为参数其中数方程为参则可得该轨迹的坐标式点的坐标为设),(yxP).cos(sin),sin(cosRyRx(2.1-13)(2.1-13)叫圆的渐伸线表示的曲线或由,)131 . 2()121 . 2(.,廓曲线在工业上常被采用为齿这种曲线或切展线方程的互化曲线的参数方程与普通.,要工具一个重是解析几何联系实际的曲线的参数方程.,) 1 (t数关键在于消去参时化参数方程为普通方程并不是所有参数方程都能化成普通方程. 此时

46、,还应注意 同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程,如 .32,31.2,1tytxtytx与. 3 yxt后都表示同一直线在消去不仅要选择适当时化普通方程为参数方程,)2(yx,),(而且还要给出参数与参数不是唯一的的参数.系二者之一之间的函数关.142222为参数方程化椭圆例byax代入原方程得，设解cos1ax ，sinby则令，若取,sintby，sincosbyax，可变形为tbytaxsincos则椭圆的参数方程为参数且所以取,).(.sincosbyax，代入原方程得，若令解btxy2,202222tabbtaxx ，取时因第二式已包含第一式),0,0(xt,22222tabbt

47、ax,)(222222tabtabby从而得可得椭圆另一形式的换在以上二式中以tt参数方程).(.)(,22222222222ttabtabbytabbtax.,)3(程应该等价注意两种不同形式的方必须通方程互化时在曲线的参数方程与普.,线不完全一样因而导致两者表示的曲化能发生变往往由于变数允许值可在两者互化时, 1, 122yRxxy如则参数方程为若令,cosx).20(,2cos2,cosyx., 31, 11,方程不等价故参数方程与原由上式知yx参数方程则可得与原方程等价的若令, tx ).(, 12,2ttytx.,24tytx再如第一象限故方程表示的曲线只是因, 0, 0yx.的部分

48、因表示整条抛物线后得普通方程而消去.2xyt较分析，此时应直接对两方程比此两方程不等价.可得所求普通方程.02yxy.,7必在同一等轴双曲线上的垂心求证点是等轴双曲线上任意三设例HPQRRQP数方程为设已知等轴双曲线的参如图证,)0(,ttcyctxxyoPQR H为的坐标可以分别取则其上任意三点RQP,),(),(),(332211tcctRtcctQtcctP则的坐标的垂心若),(00yxHHPQR，QRPH 0)()(23102310tctctcyctctctx),(1032110ctxtt tcty即，得根据同理PRQH ,),(2032120ctxtt tcty得,20102010c

49、txctxctycty,20200ctxcctyy即.200cyx从而得线即已知的等轴双曲线此双曲上在双曲线的垂心即,),(200cxyyxHPQR).0(,ttcyctx练习题练习题).3(7;5277；P.10) 3)(2( 878；P曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那么，方程那么，方程0),( zyxF就叫做曲面就叫做曲面 S的的方程方程，而曲面而曲面S就叫

50、做方程的就叫做方程的图形图形 2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程例例 1 1 已知已知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求线段，求线段AB的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程. 设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解例例 2 2 求与原点求与原点O及及)4 , 3 , 2(0M的距离之比为的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面方程的点的全体所组成的曲面方程. 解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0

51、 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.例例 3 3 建立球心在点建立球心在点),(0000zyxM、半径为、半径为R的球面方程的球面方程. 解解设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 当当 A2+B2+C2-4D 0 时时, 是球面方程是球面方程.由上述方程可得球面的一般

52、式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：），经过配方又可得到：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c

53、 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上方法称为以上方法称为截痕法截痕法.xozyxozyyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM 三、母线平行与坐标轴的柱面方程三、母线平行与坐标轴的柱面方程从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于 z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线 C:0),( yxF.

54、（其他类推）（其他类推）实实 例例12222byax椭圆柱面，椭圆柱面，z12222bzax双曲柱面双曲柱面 ，ypxy22抛物柱面，抛物柱面，z母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴12222 byaxabzxyo椭圆椭圆zxy = 0y12222 bzaxo 双曲双曲pxy22 zxyo抛物抛物 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：2.4 2.

55、4 空间曲线的方程空间曲线的方程例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 632122zxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，632 zx表示平面，表示平面， 632122zxyx交线为椭圆交线为椭圆.例例2 2 方程组方程组 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部

56、点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 例例 3 3 如果空间一点如果空间一点M在圆柱面在圆柱面222ayx 上以角上以角速度速度 绕绕 z轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度 v沿平行于沿平行于 z轴轴的正方向上升（其中的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点都是常数），那么点 M构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线试建立其参数方程试建立其参数方程 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取

57、时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMn

58、MM 0必有必有00 nMMn 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程3.1 3.1 平面的方程平面的方程,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx例例 1 1 求过三点求过三点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6,

59、 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx例例 2 2 求过点求过点)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByA

60、xCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示0 DCzByAx（A,B,C不同时为零）不同时为零）平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzB