2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算学案.docx

3.2.2复数代数形式的乘除运算1掌握复数代数形式的乘、除运算(重点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点)3理解共轭复数的概念(易混点)基础初探教材整理1复数的乘法法则及运算律阅读教材P58至“例2”以上内容，完成下列问题1复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2复数乘法的运算律对任意z1，z2，z3C，有(1)交换律：z1z2z2z1.(2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)(3)乘法对加法的分配律：z1(z2z3)z1z2z1z3.已知a，bR，i是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_.【解析】因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，a，bR，所以解得所以abi12i.【答案】12i教材整理2共轭复数阅读教材P59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z的共轭复数用表示，即zabi(a，bR)，则abi.若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x_，y_.【解析】由题意可得【答案】11教材整理3复数的除法法则阅读教材P59“探究”以下至P60“例4”以上内容，完成下列问题设z1abi(a，bR)，z2cdi(cdi0且c，dR)，则i(cdi0)i是虚数单位，复数_.【解析】2i.【答案】2i 小组合作型复数代数形式的乘除法运算(1)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3B2C2D3(2)已知复数z满足(z1)i1i，则z()A2iB2iC2iD2i(3)计算：_.【精彩点拨】(1)利用复数的乘法运算法则进行计算(2)利用复数的除法运算法则进行计算(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减【自主解答】(1)(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.(2)(z1)ii1，z11i，z2i，故选C.(3)1i.【答案】(1)A(2)C(3)1i1复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)2利用某些特殊复数的运算结果，如(1i)22i，31，i，i，i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程再练一题1(1)复数等于()AiBiC.iD.i(2)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_(3)计算：_.【解析】(1)i.(2)因为z(52i)22520i(2i)22520i42120i，所以z的实部为21.(3)i.【答案】(1)A(2)21(3)i共轭复数及其应用已知复数z的共轭复数是，且z4i，z13，试求.【精彩点拨】【自主解答】设zxyi(x，yR)，则由条件可得即解得或因此z32i或z32i.于是i，或i.1已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解2关于共轭复数的常用结论(1)z|z|2|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数再练一题2已知复数z满足z2iz42i，求复数z.【解】设zxyi(x，yR)，则xyi，由题意，得(xyi)(xyi)2(xyi)i(x2y22y)2xi42i，解得或z13i或z1i.探究共研型in的值的周期性及其应用探究1i4n，i4n1，i4n2，i4n3(nN)的结果分别是什么？【提示】1，i，1，i.探究2in(nN)有几种不同的结果？【提示】四种：1，i，1，i.探究3inin1in2in3(nN)结果是多少？【提示】inin1in2in3in(1ii2i3)i(1i1i)0.(1)计算：2 016；(2)若复数z，求1zz2z2 016的值【精彩点拨】将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解【自主解答】(1)原式1 008i1 008ii1 008ii4252i1.(2)1zz2z2 016，而zi，所以1zz2z2 0161.1要熟记in的取值的周期性，即i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值2如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解再练一题3在上例(2)中，若z，求1zz2z2 016的值【解】zi.1zz2z2 0161.1设复数z满足(1i)z2i，则z()A1iB1iC1iD1i【解析】z1i.【答案】A2复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】zi(1i)1i，复数z对应复平面上的点是(1,1)，该点位于第二象限【答案】B3复数z的共轭复数是() 【导学号：81092049】A2iB2iC1iD1i【解析】z1i，1i.【答案】D4已知a为实数，是纯虚数，则a_.【解析】，因为是纯虚数，所以a10且a10，即a1.【答案】15计算：.【解】法一：2i.法二：ii2i.学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知复数z2i，则z的值为()A5B.C3D.【解析】z(2i)(2i)22i2415，故选A.【答案】A2i是虚数单位，复数()A1iB1iC.iDi【解析】1i，故选A.【答案】A3z1，z2是复数，且zz0，则正确的是()AzzBz1，z2中至少有一个是虚数Cz1，z2中至少有一个是实数Dz1，z2都不是实数【解析】取z11，z22i满足zz0，从而排除A和D；取z1i，z22i，满足zz0，排除C，从而选B.【答案】B4若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z()A12iB12iC12iD12i【解析】法一：设zabi(a，bR)，则2z2a2biabi3abi32i.由复数相等的定义，得3a3，b2，解得a1，b2，z12i.法二：由已知条件2z32i，得2z32i，解组成的关于z，的方程组，得z12i.故选B.【答案】B5已知复数z，是z的共轭复数，则z() 【导学号：81092050】A.B.C1D2【解析】法一：zi，i.z.法二：z|z|.z|z|2.【答案】A二、填空题6若(xi)i12i(xR)，则x_.【解析】由题意，得xi2i，所以x2.【答案】27复数的共轭复数是_【解析】2i，其共轭复数为2i.【答案】2i8复数的模为，则实数a的值是_【解析】，解得a.【答案】三、解答题9若z满足z1(1z)i，求zz2的值. 【导学号：81092051】【解】z1(1z)i，zi，zz2i2i1.10已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若wzai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围【解】(1)z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.(2)w2(4a)i，复数w对应的向量为(2,4a)，其模为.又复数z所对应向量为(2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得208aa220，a28a0，所以，实数a的取值范围是8a0.能力提升1若z12i，则()A1B1CiDi【解析】因为z12i，则12i，所以z(12i)(12i)5，则i.故选C.【答案】C2设z的共轭复数为，z1i，z1z，则等于()A.iB.iC.D.【解析】由题意得1i，z1z(1i)(1i)2.【答案】C3对任意复数zxyi(x，yR)，i为虚数单位，则下列结论正确的是_|z|2y；z2x2y2；|z|2x；|z|x|y|.【解析】对于，xyi(x，yR)，|z|xyixyi|2yi|2y|，故不正确；对于，z2x2y22xy