建模典型实例详解讲义.doc

第三章一. 基本概念：因为人类所从事的一切生产或社会活动均是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或审美取向的支配下进行的，经常面临求解一个可行的甚至是最优的方案的决策问题。可以说，最优化思想是数学建模的灵魂。而最优化方法作为一门特殊的数学学科分支有着广泛的实际应用背景。典型的最优化模型可以被描述为如下形式：其中表示一组决策变量，通常在实数域内取值，称决策变量的函数为该最优化模型的目标函数；为维欧氏空间的某个子集，通常由一组关于决策变量的等式或不等式刻画，形如：这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式、为约束条件，而称满足全部约束条件的空间中的点为该模型的可行解，称，即由所有可行解构成的集合为该模型的可行域。称为最优化模型的（全局）最优解，若满足：对均有，这时称处的目标函数值的为最优化模型的（全局）最优值；称为最优化模型的局部最优解，若存在，对，均有。（全局）最优解一定是局部最优解，但反之不然，其关系可由下图得到反映：上图为函数在区间上的一段函数曲线（由Mathematica绘制），如果考察最优化问题，从图中发现它有三个局部最优解、，其中是全局最优解，最优值为“”。二. 最优化问题的一些典型的分类：优化方法涉及的应用领域很广，问题种类与性质繁多，根据不同的原则可以给出不同的分类。从数学建模的角度，对最优化问题的一些典型分类及相关概念的了解是有益的。根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题为函数优化问题；若一个最优化问题的全部决策变量均离散取值，则称之为组合优化问题。比方一些最优化问题的决策变量被限定只能取整数值，即为组合最优化问题，这类优化问题通常被称为整数规划问题，另外大多网络规划问题属于组合最优化问题。当然，也有许多应用问题的数学模型表现为混合类型的，即模型的部分决策变量为连续型的，部分决策变量为离散型的；另外当谈论一个最优化问题是函数优化问题还是组合优化问题时，还需结合我们对这一问题的思考方式来进行确定，比方后面介绍的线性规划问题的求解，既有将其作为一个组合优化问题而开发的算法，也有将其作为一个函数优化问题而开发的算法；另外的一种分类方式是根据问题中目标、约束条件函数的形式或性质来加以划分的：若一个最优化问题的目标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之为线性规划问题，否则称之为非线性最优化问题。线性规划问题的研究，理论和方法都已发展的相当成熟，方法被广泛应用于生产和管理等领域；而对非线性最优化问题，根据建模和算法设计的需要还有更进一步的分类；在生产、经济与管理等领域中遇到的大量最优决策问题，对一个方案的评价是多角度多指标的，反映在数学模型中，优化的目标是关于决策变量的一个函数组，我们称之为多目标规划问题。比如导弹的设计，既要其射程远，又要消耗燃料少，还要命中率高等；又如选择新厂的厂址，除了要考虑地价、原料采购的运费等经济指标外，还需考虑对环境的污染等社会因素。三. 最优化问题最优解的一阶必要条件：这里对形如 的最优化问题的一阶必要性条件作简单介绍，它一方面可以将最优化问题和方程组问题做某种形式的联系，另一方面它在最优化问题数值求解算法的设计有重要的意义。定理：设为最优化问题的（局部）最优解，若满足：1） 、在均可微；2） 、分别表示、在的梯度向量，向量组线性无关；则，满足：1） ；2） 对于，均有且。例、求解如下非线性规划:。解：目标函数的梯度向量（函数）为，而约束条件相当于有三个：、，它们分别对应梯度向量（函数）、；令、并要求。解之得四组解：1） ；2） ；3） ；4） ；计算每个点的目标函数值，发现为（全局）最优解，最优目标函数值为。特别，对于无约束最优化问题，其一阶最优化条件如下：定理：设为最优化问题的（局部）最优解，若在均可微，则在的梯度向量为零向量，即。3.2 无约束最优化方法 在这里我们只是对一些典型的最优化算法作简单介绍，以期那些初次接触数值计算方法的学习者能对最优化算法的设计思想有概貌性了解，能编写一些简单的最优化算法以处理学习中遇到的问题。而希望对最优化方法有更深入的学习或者欲处理相对复杂的最优化问题，需要参考更为专门的书籍或借助有关数学软件。一一维搜索：1 0.618法（黄金分割法）：设单变量函数在区间上有定义，若存在一点，使得在区间上严格单调减，在区间上严格单调增，则称是区间上的（下）单峰函数。显然是在区间上的唯一的极小值点。对（下）单峰函数，有如下基本性质：性质1：设是区间上的（下）单峰函数，是在区间上的唯一的极小值点，对任意，若，则必有；性质2：设是区间上的（下）单峰函数，是在区间上的唯一的极小值点，对任意，若，则必有；若，则必有。根据（下）单峰函数所具有的性质，对在某区间上的（下）单峰函数可采用法（黄金分割法）进行搜索其在区间内的极小值点。方法只需计算函数值，用途很广。0.618法：这里设为区间上的单峰函数，（即黄金分割数，算法由此得名），步1：令，以及精度要求；步2： 若，输出：为近似最优解，为近似最优目标函数值，停止；步3： 若，转步2；步4：，转步2；易知，按照如上算法，每次迭代，只需计算一个点的函数值，均使解的存在区间以 的比率缩小；而在所有固定分划比的区间分割法中，以上特点为黄金分割法所独有，其余，每次迭代，需计算两个点的函数值。从计算相同的函数值数目而使最优解的存在区间长度所能达到的缩小比率考虑，黄金分割法在所有固定分划比的区间分割法中是最优的，这里将黄金分割法连续迭代两次，最优解的存在区间长度所能达到的缩小比率为，而其它所有具有固定分划比的区间分割法每次迭代所达到的缩小比率小于。因此黄金分割法在所有固定分划比的区间分割法中是最优的。例：用法求解，解的初始存在区间取，这里要求在近似解的误差不超过。解：用0.618法编程求解，经29步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为。2 牛顿法与抛物线法：在所有函数中，讨论二次多项式函数的极小（大）值问题最为典型。对一元二次多项式，当时，易知是无约束最优化问题的最优解。而对一般函数最优解的求解，可以利用对一些点处目标函数的函数值、一阶或二阶导数值构造目标函数在一点局部或者在一定范围内的二次多项式逼近模型，以逼近模型的最优解作为求解原最优化问题的一个迭代点。称这类方法为（二次）插值法。对一元函数，二次多项式逼近模型的建立通常有四种方式：其一是利用函数在一点处函数值、一阶及二阶导数值；其二是利用三个不同点的函数值；其三是利用两个不同点的函数值以及它们中一点的一阶导数值；其四是利用两个不同点的一阶导数值以及它们中一点的函数值。这里只介绍前两种，而称基于第一种方式构造的算法为牛顿法，称基于第一种方式构造的算法为抛物线法。设为的某算法的迭代点列，在牛顿法中，迭代公式采用：而在抛物线法中，迭代公式采用：当函数具有比较好的解析性质时，牛顿法与抛物线法通常比法的效果更好。例：分别用牛顿法、抛物线法求解，在选用牛顿法时初始点取，在选用抛物线法时初始点取且服从均匀分布的一组随机数，这里要求在近似解处一阶导数的绝对值不超过。解：用牛顿法编程求解，经29步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为以下为整个迭代点列：用抛物线法编程求解，经22步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为以下为整个迭代点列：二多元函数的无约束最优化方法：对于多元函数的无约束最优化问题的数值求解，这里只介绍“最速下降法”和“牛顿法”。前者体现了“一维搜索”在多元函数的最优化问题数值求解中的应用，同时也是下降算法中最典型的代表；而后者，可以被视为一元函数最优化问题的牛顿法求解的推广，其每一步基本迭代均采用在当前迭代点处的二阶Talor展式作为原目标函数的一个局部逼近模型进行求解。1最速下降法：设为的某算法的迭代点列，为目标函数在点处的负梯度方向，迭代公式采用：这里，步长因子为（一元函数）最优化问题的（近似）解，可采用一维搜索进行求解。例：用最速下降法求解，初始点取，这里要求在近似解处目标函数梯度的模不大于。解：用最速下降法编程求解，经28步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为以下为整个迭代点列：2牛顿法：设为的某算法的迭代点列，为目标函数在点处的梯度向量，为目标函数在点处的Hessian矩阵，牛顿法的迭代公式采用：特别当正定时，为的解。例：用牛顿法求解，初始点取，这里要求在近似解处目标函数梯度的模不大于。解：用牛顿法编程求解，经12步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为以下为整个迭代点列：第四章: 存贮模型4.1 不允许缺货的确定性贮存模型工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。不论是原料、商品，还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料、商品存得太多，贮存费用（比方仓库租赁费、资金占用须支付银行的信贷费用等）高；存得太少则无法满足需求。在此我们设想是在为一个商店老板制定一个好的进货策略。一、 模型假设：1 假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为（吨）；2 商店采用周期进货策略：每隔时间（天）进货（吨）；且假设每次进货是在存货全部售出后即刻进行，不允许缺货，即；3 每次进货需支付订货费（等一次性费用），在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用； 4 以表示在时刻该货物的存量；二、 模型建立根据假设，不难得到如下最优化问题：可以进一步化简，得，即本模型本质上只有一个独立的决策变量，其中目标函数表示在进货周期为时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用。三、 模型求解令，即，得最优的进货周期，进而得每次的进货量（即经济理论中著名的经济订货批量公式）。四、 点评从模型的解可以发现，当订货费越高，需求量越大时，一次订货量应越大；当贮存费越高，一次订货量应越小。这些关系是符合常识的，但仅凭常识是不能得到准确的依从关系。4.2 允许缺货的确定性贮存模型 我们经常遇到这样的情形：当我们到一家商店中购买一件物品时，被店员告知该物品缺货在本节我们讨论一个允许缺货的确定性贮存模型，和前面介绍的不允许缺货的确定性贮存模型相比，容易发现当一家商店由于缺货而支走顾客而失去销售机会，从而使利润减少；减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，因此在建模时引入“缺货费”。一 模型假设：1 假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为（吨）；2 商店采用周期进货策略：每隔时间（天）进货（吨）；且假设每次进货是在存货全部售出之后进行，允许缺货，即；3 每次进货需支付订货费（等一次性费用），在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用；在缺货期间需对由于错失销售机会而承担损失，每天单位时间（天）单位（吨）货物需支付缺货费；4 以表示在时刻该货物的存量，当时表示缺货量；二 模型建立根据假设，不难得到如下最优化问题：可以进一步化简，得，即本模型有两个独立的决策变量、，其中目标函数表示在进货周期为、进货量为时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用，为、的一个二元函数。三 模型求解令，解之可得最优的进货周期，进而得每次的进货量。四 点评将本模型的解和前面一节不允许缺货的模型的解进行比较，发现进货周期变长，而一次进货量却有所减少，即确实存在一段时间，商店是处在缺货状态下的。如果我们关心的是一家有盈利的商店，其盈利的源泉在于销售收入，即其盈利行为发生在有货供应的时段内，而在缺货期内只能错失销售机会，因此，定性判断，若以一次进货量取，商店将进货周期缩短到，其盈利会增加。即对经营单一商品的以盈利为目的的商店不应当允许缺货。这与本模型及其解答存在矛盾，问题发生在什么地方？在追求利润最大化与成本最小化之间是有差别的，前者是一种积极的经济行为目标，后者相对消极，只有假定总的销售收入（产值）相同时，二者才是等价的；如果在假定二者一致的前提下，若，即可得要么不允许缺货，要么永不进货（即放弃经营该产品）的结论在自由市场的条件下，这样的结论更为实用，而本节模型及其解答只有当商家在对一种商品的经营具有垄断地位时才有实用意义。在自由市场的条件下，人们在日常生活中遇到某些商品在某家商店缺货的现象，本节模型是不能给出回答的，而其原因在于通常的商店经营的商品并非单一，顾客的流量是有很大随机性的。读者可以试着考虑在假定顾客的需求量确定的前提下，同时经营两种以上商品的最优进货策略问题。4.3 随机贮存模型报童的诀窍前面讨论了两个确定性的贮存模型，即假定顾客对某种商品的需求量是准确预测的前提下给出的，而实际的情形远为复杂顾客对某种商品的需求量是服从某些规律的随机变量，因此应当有区别于前面两个模型的处理方法。一 模型假设1 考虑一种报纸的买进，假定某个报童在某个街区卖报，而该街区居民在一天中对这份报纸的需求量是随机的。表示随机变量的概率密度函数（即假定该种报纸的需求量通常是一个比较大的量，可以视之为一连续变量；若视为离散变量处理，以表示居民在一天中对这份报纸的需求量为时的概率）；2 报童在每天早晨以价格买进份报纸，以价格卖出，经过一天出售，将剩余报纸以价格退给报商，通常。二 模型建立影响报童一天的利润有两个因素：，当取定，报童一天的利润，因为是一随机变量，因此同样是一随机变量，按照期望值准则，可得当报童在早晨购进份报纸其可以获得的利润的期望值：将之作为决策变量的目标函数，最大化即构成报童卖报的最优化模型。三 模型求解令，可得最优性条件为。可以如下理解：、分别为一份报纸在卖出时所得利润和在卖不出去时所受损失；、分别表示顾客对报纸的需求量不足和超过的概率，假设购进份报纸是最优的，那么考虑购买份报纸，多增加的那一份报纸所能给报童带来利润与损失从数学期望的角度将是“接近”相等的。读者可以给出视为离散变量处理时，模型的描述与模型解的最优性条件。4.4 随机贮存模型策略 由于顾客对一种商品的需求是随机的，因此在实际生活中，还有一种进货策略策略被广为采用：商店老板每隔一定时间要对商品的存货进行清点，只有当存货数量不足时才决定进货，且一次进货的订货量取与当前存货数量的差值。一 模型假设1 假设商店经营的商品单一，商店采用周期进货策略：每隔一定时间，比方一周，商店老板要对商品的存货进行清点，以决定是否进货。只有当存货数量不足时才决定进货，且一次进货的订货量取与当前存货数量的差值，表示进货量；2 顾客在一周时间内对该物品的需求量是一随机变量，表示随机变量的概率密度函数；3 商店在一周可能支付的费用有：每次的订货费，其取值与进货数量无关；每件商品在一周的贮存费。、分别表示一件商品的购进价格和售出价格；4 商店在一周的销售活动全部集中在一周的周初，因此商店须为剩余商品支付一周的贮存费用；二 模型建立首先考虑的确定，设当前存货数量，且决定进货，这时进货数量成为决策变量。和报童卖报一样，的取值应当在期望值的意义上使得利润最大化。为进货数量取，而需求量为时商店在下周的利润。取其数学期望，得：若记，则。三 模型求解令，得最优性条件： ，其经济意义和对报童购报的诀窍导出的最优性条件的解释是类似的，不在赘述。我们也直接从最优性条件获得，不论当前存货数量取何值，只要决定进货，那么最优的订货量总是使得下期起初的货物量达到确定的值： ，即应满足。按照前面的进货策略，根据当前存货数量，要么选择进货，这时下周销售利润的期望；要么选择不进货，这时下周销售利润的期望。显然，若时，应当选择不进货。如图所示，函数在上通常为一单峰曲线，可得，也即关于变量方程在内的解。四 点评在本章涉及的四个贮存模型均被归结为最优化问题，或成本最小化，或利润最大化，这并非偶然，因为人类所从事的一切生产或社会活动均是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或审美取向的支配下进行的，因此，当可行方案不唯一的前提下，总是在某中评价指标下选择最优的方案。可以说，最优化思想和方法是数学建模的灵魂。另外，在两个随机性模型分析中，目标函数选择利润函数，其避免了在“允许缺货的贮存模型”讨论中的许多含糊的地方。第五章 几个经济模型5.1 实物交换模型一 问题分析与模型假设:1 讨论甲、乙双方，限于A、B两种物品；2 以、分别表示甲方、乙方拥有A、B两种物品的量，以、分别表示甲方、乙方相应的满意程度，称之为满意度函数；3 以、分别表示甲方、乙方在交易前拥有A、B两种物品的量。二 模型建立：显然甲、乙双方均希望通过交易以得到更大的满意度，即从甲方的角度，应极大化，从乙方的角度，应极大化，当然还应考虑一些约束条件，我们一并归结为如下多目标最优化问题：三 模型求解：作定性的分析，满意度函数、应具有如下性质：1 满意度函数连续、非负，且对各自变量单调递增，即；2 考察满意度函数的等值线（族），这里称之为甲方的无差别曲线（族），应满足：对不同的二常数，无差别曲线与不交；若将视为一隐函数，变量对于变量单调递减；曲线为下凸的，即在通常情况下，人们当在拥有一种物品（A）的量相对多时，倾向以较多的这种物品（A）来换取较少的另一种物品（B）。3 而满足如上特点的函数类有很多，比如（其中为参数）、（其中为参数）、（其中为参数）等。进而可得，问题的一个有效解须满足的必要条件：1 ，；2 ，即；3 ，。所有有效解构成一段有限曲线段，称之为交换路径。5.2 经济增长模型问题：大到一个国家的国民产值，小到一个企业中某种产品的生产量，其值通常取决于相关的生产资料和劳动力等重要因素。而这些量之间究竟存在何种依赖关系，进而劳动生产率提高的条件是什么？一 模型假设1 生产量，只取决于两个重要因素：生产资料（厂房、设备、技术革新等）和劳动力（数量、素质等），即；另外，这几个量又是随着时间的变化而不断改变的，因此也把它们视为时间的函数：、，在劳动生产率增长的条件的讨论中，服从指数增长规律，相对增长率为常数，而的增长率正比于生产量，即将按照某一固定比率用于生产（资料）性扩大再生产投资；2 劳动生产率可由生产量与劳动力之比来表征。定性分析，关于均单调增，即二 模型建立与求解1 道格拉斯（Douglas）生产函数在附表中美国马萨诸塞州18901926年生产资料指数、劳动力指数与总产量指数的一组统计数据，取1899年为基年，即，以此为参照，也许我们很难直接从表上发现什么，但若定义，并作的散点图，发现基本上服从正比例关系，利用数据拟合，可得。这一结果并非偶然，事实上它被后来更多地区或国家的统计数据所肯定：存在常数，。当然常数取值通常和相应地区或国家的经济发展阶段以及主要产业类型等因素有关。 进而可得：，即（这里），它是著名的Cobb-Douglas生产函数。由此不难得到，即生产量、生产资料和劳动力三者的相对增长率服从简单的线性规律。其中系数分别为产量对劳动力、生产资料的弹性系数，说明产量增长主要靠劳动力的增长；说明产量增长主要靠生产资料的增长。附表：美国马萨诸塞州18901926年数据-90.950.780.7241.221.221.30173.611.862.09-80.960.810.7851.271.171.30184.101.931.96-70.990.850.8461.371.301.42194.361.962.20-60.960.770.7371.441.391.50204.771.952.12-50.930.720.7281.531.471.52214.751.902.16-40.860.840.8391.571.311.46224.541.582.08-30.820.810.81102.051.431.60234.541.672.24-20.920.890.93112.511.581.69244.581.822.56-10.920.910.96122.631.591.81254.581.602.3401.001.001.00132.741.661.93264.581.612.4511.041.051.05142.821.681.95274.541.642.5821.061.081.18153.241.652.0131.161.181.29163.241.622.002 劳动生产率增长的条件：根据模型假设，劳动生产率，其持续增长的条件应为恒成立。考虑我们讨论的几个主要经济变量通常均恒取正值，故可以等价地用劳动生产率的相对增长率来刻划。将代入，得，两边同时取对数，然后对求导，可得：令之恒取正值，得等价条件：恒成立，即对生产资料投入的相对增长率恒大于劳动力的相对增长率。同样根据模型假设，、为如下初值问题的解，得，。因此，就这一具体经济增长模式，其恒取正值的充分必要条件为，其经济意义为：只要在初始时，对生产资料的相对增长率大于劳动力的相对增长率，就能保证劳动生产率的不断增长，反之，劳动生产率只会不断降低。三点评在本文中Cobb-Douglas生产函数的给出，是通过对大量统计数据分析的基础上得到的。统计分析方法是一类重要的数学建模途径：首先对一些变量或他们的导出变量之间的关系，根据统计数据作定性的分析判断，比方文中提及的借助对一些变量统计数据的散点图的直观表现作定性分析，然后在用数据拟合等方法给出相应变量间的具体函数依赖关系。另外一类建模方法这里称之为机理分析方法，尽管一些变量间的依赖关系难于把握，但它们的某些导出变量之间所服从的规律却是相对简单的，比方一些变量的变化率、相对变化率等。这样，我们通常首先得到的是我们所关心的变量的一些微分方程（组）或积分方程（组），然后通过解析的或数值的方法给出具体的解，这样的例子可参考几个人口增长模型的建立。另外，尽管Cobb-Douglas生产函数的导出在本文中介绍的是采用统计分析方法的途径，但对其最终形式的表现，我们注意到有如下特点：其中，且。若用财富的单位来统一考察生产量、生产资料和劳动力等三个量，生产函数的形式符合量纲齐次原则。量纲分析是20世纪初被提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，而其方法的核心思想量纲齐次原则，要求当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲一致。事实上，对经济增长条件的讨论，后来学者的研究工作对生产值（量）的影响因素已不局限于只对生产资料和劳动力两个量的考虑，而是将像对科技进步、对教育的投入等比较重要的量作为独立的生产要素加以讨论，所用模型是对Cobb-Douglas生产函数的扩展，而上述量纲齐次原则被先验地利用起来。5.3 多人合作分益模型与公理化方法建模问题：设想n个人从事某项经济活动, 对于他们之中若干人组合的每一种合作 (特别, 单人也视为一种合作), 都会得到一定的效益, 当人们之间的利益是非对抗性的, 合作中人数的增加不会引起效益的减少, 这样, 全体n个人的合作将带来最大效益. n个人组成的集合及各种可能合作的效益就构成n人合作对策, 而一个重要的问题是如何将合作收益合理的分配给每个人, Shapley L. S.应用公理化方法在1953年给出了解决该问题的一种方法Shapley值.一 模型假设1 个人或合作主体地位平等，其利益非对抗；2 对于他们之中的任何一种组合均被视为某种合作且可创造一定的收益，合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样，全体个人的合作将带来最大的效益，而个人单干时所收到的整体效益最小。二 模型建立根据模型假设，合作收益是集合的幂集合上的一个实值函数,满足： 1） ；2） 对任意，均有。称任何满足如上性质的函数为n人合作对策的特征函数。以表示对应合作收益的一个合作对策的分配算法，表示第个人按照算法从最大的合作效益中分得的份额。我们的目标是构造尽可能合理的分配算法。三 模型求解Shapley值：许多类似的问题的解答，合理性有赖于特定的价值体系。在这里我们给出三条准则Shapley公理：1） 对称性：设均为n人合作对策的特征函数，若存在上的一置换（即到自身的一个一一映射，可以理解为的一全排列），使得（这里，必有。它可以被理解为每人的分配只与他在合作中发挥的作用有关，而与他被赋予的记号无关；2） 有效性：若某成员，对均有，则；另外。该公理表示，若某成员对于他参加的任何一个合作都不会带来效益，那他不应当从全体合作的收益中获得报酬，而各成员所分得的报酬之和应等于全体合作的收益；3） 可加性：设均为n人合作对策的特征函数，不难证明：对均有同样为n人合作对策的一个特征函数，此时应有。该公理表示当同时进行两项合作时，而各成员所分得的报酬应等于两项合作分别分配的收益之和。Shapley利用逻辑推理的方法证明，存在唯一的满足以上三条公理的效益分配算法：表示集合中元素的个数。四 点评这里并不打算讨论Shapley值的推导和给出过程,而是试图对其结果作一些后验的分析,发现这个结果完全可以避开构造和求解方程组,而只作一些适当的理性思考就可给出.事实上,在利益分配中容易出现矛盾通常是因为你发现分配规则是由别人制订的,而类似的规则由你同样也能够制订,你和你的合作伙伴的力量是相对均衡的.相反,当你面对大自然时,你只能适应,很少表现不满.为此,每个人都可将他的合作伙伴视为客观世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然随机呈现在你面前的一次机会,你可以乘其之便从中最大限度获得地获得好处.为此给出中的一个全排列其中, 则可表示出现在 面前可供其选择的合作机会,若 加入, 则可增加收益若将增加的这部分收益全部给 ,显然从 的角度看, 他应相当满意.然而这种机会的出现是随机的, 恰出现在之前, 而恰好出现在之后的概率为. 在具有随机性的客观世界面前, 只能取走所有可能合作增加效益的平均值数学期望.从这个例子说明, 对实际问题的重视, 可以为理论研究挖掘丰富多彩的素材, 而就后来对结果所作的分析, 我们也看到科学研究同样不排斥近乎玄的想象力, 纯粹计算、求解并非构成数学的全部, 合理的想象可以直接给出漂亮的结果.5.3 多人合作分益模型与公理化方法建模问题：设想n个人从事某项经济活动, 对于他们之中若干人组合的每一种合作 (特别, 单人也视为一种合作), 都会得到一定的效益, 当人们之间的利益是非对抗性的, 合作中人数的增加不会引起效益的减少, 这样, 全体n个人的合作将带来最大效益. n个人组成的集合及各种可能合作的效益就构成n人合作对策, 而一个重要的问题是如何将合作收益合理的分配给每个人, Shapley L. S.应用公理化方法在1953年给出了解决该问题的一种方法Shapley值.一 模型假设3 个人或合作主体地位平等，其利益非对抗；4 对于他们之中的任何一种组合均被视为某种合作且可创造一定的收益，合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样，全体个人的合作将带来最大的效益，而个人单干时所收到的整体效益最小。二 模型建立根据模型假设，合作收益是集合的幂集合上的一个实值函数,满足： 3） ；4） 对任意，均有。称任何满足如上性质的函数为n人合作对策的特征函数。以表示对应合作收益的一个合作对策的分配算法，表示第个人按照算法从最大的合作效益中分得的份额。我们的目标是构造尽可能合理的分配算法。三 模型求解Shapley值：许多类似的问题的解答，合理性有赖于特定的价值体系。在这里我们给出三条准则Shapley公理：4） 对称性：设均为n人合作对策的特征函数，若存在上的一置换（即到自身的一个一一映射，可以理解为的一全排列），使得（这里，必有。它可以被理解为每人的分配只与他在合作中发挥的作用有关，而与他被赋予的记号无关；5） 有效性：若某成员，对均有，则；另外。该公理表示，若某成员对于他参加的任何一个合作都不会带来效益，那他不应当从全体合作的收益中获得报酬，而各成员所分得的报酬之和应等于全体合作的收益；6） 可加性：设均为n人合作对策的特征函数，不难证明：对均有同样为n人合作对策的一个特征函数，此时应有。该公理表示当同时进行两项合作时，而各成员所分得的报酬应等于两项合作分别分配的收益之和。Shapley利用逻辑推理的方法证明，存在唯一的满足以上三条公理的效益分配算法：表示集合中元素的个数。四 点评这里并不打算讨论Shapley值的推导和给出过程,而是试图对其结果作一些后验的分析,发现这个结果完全可以避开构造和求解方程组,而只作一些适当的理性思考就可给出.事实上,在利益分配中容易出现矛盾通常是因为你发现分配规则是由别人制订的,而类似的规则由你同样也能够制订,你和你的合作伙伴的力量是相对均衡的.相反,当你面对大自然时,你只能适应,很少表现不满.为此,每个人都可将他的合作伙伴视为客观世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然随机呈现在你面前的一次机会,你可以乘其之便从中最大限度获得地获得好处.为此给出中的一个全排列其中, 则可表示出现在 面前可供其选择的合作机会,若 加入, 则可增加收益若将增加的这部分收益全部给 ,显然从 的角度看, 他应相当满意.然而这种机会的出现是随机的, 恰出现在之前, 而恰好出现在之后的概率为. 在具有随机性的客观世界面前, 只能取走所有可能合作增加效益的平均值数学期望.从这个例子说明, 对实际问题的重视, 可以为理论研究挖掘丰富多彩的素材, 而就后来对结果所作的分析, 我们也看到科学研究同样不排斥近乎玄的想象力, 纯粹计算、求解并非构成数学的全部, 合理的想象可以直接给出漂亮的结果.5.4 投入产出分析模型问题：大到国家甚至整个国际社会，小到一家企业，我们均可以将其视为一个经济体系来加以考察。一个国家其国民经济的各个组成部分间、一家企业的不同车间部门或产品间，投入与产出存在怎样的相互依存关系，对其进行合理准确的建模分析为管理者做出科学的决策有着非常重要的意义。特别对于一家大型的工业制造企业，其部门数、原料与产品种类通常都比较多，且不同部门不同产品的间的技术经济联系非常紧密，生产计划、产品价格的科学制定，原材料的顺利采购等均直接关系企业的效益。投入产出法最早是有美国经济学家瓦西里列昂剔夫在20世纪30年代初提出的，迄今已发展为一个内容相当丰富并有着广泛应用的方法体系。本文只介绍体系中最基本的一个方法模型。一 模型假设考虑一家大型的工业制造企业，按照产品来划分其组成部门：1 种自产产品，种外购原料，其中自产产品有一部分是供应市场需求的，也有一部分是在生产其它产品时作为原料而被中间消耗；2 每一种产品的生产均有稳定的技术条件：、分别表示生产单位第种产品需要消耗的第种自产产品、第种外购原料的量，分别称之为对自产产品、外购原料的直接消耗系数，它们均为常数，与产品的产量无关；3 、分别表示在某一时期自产产品的总产（向）量、最终产出（供应市场需求的）（向）量、对自产产品的直接消耗（向）量，以及对外购原料的直接消耗（向）量。二 模型建立若记、，分别称之为对自产产品、外购原料的直接消耗系数矩阵，根据模型假设，可得如下数学模型：模型中第一个方程是一平衡模型方程，而后两个分别称之为中间（对自产产品的）消耗、原始（对外购原料的）消耗函数模型。显然，模型中所涉及的变量所服从的关系是线性的，称之为线性投入产出模型。三 模型求解从所建模型可得，若矩阵可逆（表示阶单位矩阵），则有，即考虑中间消耗，一家企业在接到的市场需求定单后，需要组织的实际生产总量和为此需准备的外购原料量。特别当各种外购原料的单位价格已知的情况下，还可以算出各种产品的理论成本。矩阵可逆吗？其逆矩阵如何计算？下面给出理论回答。定理：对于方阵，若1） （此时称矩阵非负，记为）；2） 、，（此时称向量非负，记为），使得则：矩阵可逆，且。证明：（只须证明在题设条件下收敛即可）这里记，因为矩阵非负，容易得非负且单调增，；另一方面，有界（即指有界）:由已知具有特点: ,. 又, 所以, 即各分量间有一致的关系. 考虑二次间接消耗.依此类推, ,即对任意,我们有，即. 特别. 推出. 所以为有界数列. 因此当时必收敛, 即收敛.记，称之为对自产产品的完全消耗系数矩阵，而以上定理也被称为完全消耗系数的存在性定理。四 点评以下是一张简单的投入产出表（外购原料部分略）, 它是投入产出分析模型应用的基础：中 间 产 出最终产出总产出12n合计中间投入12n假定一个企业或经济部门生产n种产品, 这n种产品又在生产中同时又被作为原料, 该投入产出表反映这一产业在某一生产周期内的统计结果: 表示第i种产品在生产第j种产品时作为原料企业自己消耗的数量, 表示在该周期中企业自己消耗第i种产品的数量, 则表示作为投放市场的最终产出部分, 则表示第i种产品的总产量.表示生产每单位第j种产品消耗掉第i种产品的数量, 即直接消耗系数,直接消耗系数矩阵反映了一个企业的产品生产工艺.而由此得到的直接消耗系数矩阵，通常自然地满足完全消耗系数的存在性定理的题设条件。以下给出完全消耗系数的经济意义解释：考虑中间（对自产产品的）消耗函数模型, 显然为得到原料, 企业须先投入, 称之为二次间接消耗向量, 依此类推, 可有三次间接消耗, 四次间接消耗, 依此得到一个无穷链条, 为生产, 须投入,称之为完全消耗向量, 根据完全消耗系数的存在性定理该无穷和式收敛，而不会是和向量的某一分量趋于无穷大, 使得生产没有意义。借助线性代数的特征值理论, 同样可以给出完全消耗系数的存在性定理的证明, 然而作为对一个很典型的经济问题的研究, 该论证方式对模型内在的经济意义揭示很少,而本文的论证过程充分利用了投入产出表的特点,其过程非常简明,避免了一些相当专业化的理论，这也部分揭示了多数实际应用问题具有许多好的性质。第六章 军事模型6.1 核武器竞赛问题：甲乙双方（两国），均将对方视为假想敌，在某种“国家安全”的定义下发展核武器，展开核军备竞赛。问题：在这场核军备竞赛中，双方拥有的核武器会无限增长呢，还是存在某种平衡状态？一 模型假设1 分别以、表示甲乙双方拥有的核武器数目，这里视之为非负实数（即连续型变量），以、表示甲乙双方对对方施行一次致命性打击所需的核武器数目；2 甲乙双方的“国家安全”概念均采用保守定义：即在招到对方“倾泻性”核打击后，保证有足够的核武器被保存下来以给对方致命的还击；3 分别以、（）表示甲乙双方，其一枚核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的概率，这里假定不同核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的机会是相对独立的。二 模型建立定性分析模型：应当存在二函数、，分别表示当甲乙双方拥有的核武器数目为、时，对方在遵照模型假设中所给出的有关“国家安全”概念，乙方、甲方所应拥有最少的核武器数目。即当甲方拥有的核武器数目为时，须有时，乙方才会确认自己是安全的。显然，、均应当为单调增函数。这里称为双方安全区，是核军备竞赛的稳定区域。问：是否为空集？若为空集，即说明核军备竞赛是没有尽头的，其终究构成人类持久和平愿望的最大威胁。所附四图仅仅是在双方安全曲线满足单调增函数的条件下给出的四种可能情形，有阴影存在的区域表示存在双方安全区。但实际当中应当是哪一种呢？定量分析模型：在前述模型假设的基础上，不难得到：，即、分别为甲乙双方的安全曲线，而上面附图的后三幅给出的三种可能的典型情形，显然第四幅表示与两者至少有一个满足时方可出现。 在模型中涉及到的几个参数的取值，比如影响的主要因素可以考虑双方的国土、一枚核弹爆炸的破坏力，以及各自的防空能力。三 模型分析通过定量分析模型得到的结果表明，核武器竞赛是不容乐观的，要么不存在稳定区域，要么稳定区域是一有界区域。也即表明建立在本文“安全概念”基础上的核武器竞赛从根本上应当撇弃，因为即使在稳定区域非空，由于某一方（或双方）不克制的态度最终导致核武器竞赛的灾难性后果。这一结果与我们对当前国际上一些有核国家在发展核武器的现状有一定距离，考察本模型，应当注意的是在第二条模型假设中提到的“安全概念”，事实上，一个和平国家在发展核武器时所遵循的原则是在遭到强大敌国的全面入侵，核武器应当作为一种先发性威慑力量而进行有效阻止而不应当作为一种后发性的在已遭到毁灭性打击后的纯粹报复行为。事实上在保留模型假设二中提到的“安全概念”，对其余假设作更为贴近问题真相的改进只能导出对核武器竞赛的前途更加悲观的结论。四 点评本例是在作了相当程度的简化假设下考虑了核武器竞赛问题，我们很难期望模型能对所考虑问题给出比较乐观的指导意义，但其整个建模过程却对我们有很大的启发：1 定性分析与定量分析：在对一个应用问题分析，通常包括定性分析与定量分析这样两个有机统一的环节，定性分析是数学建模的初级阶段，在这一环节着力解决2 随机性模型：3 建模的最终目的在于应用：6.2 战争模型一问题分析影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。总以、表示甲乙交战双方在时刻的兵力，不妨视为双方的士兵人数，、表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然。在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化主要有如下三个因素：1 战斗减员率，它取决于双方的兵力，不妨以、分别表示甲乙双方的战斗减员率；2 非战斗减员率，比方由于疾病或逃跑等因素导致一个部队减员，它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数分别对应甲乙双方；3 增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以表示。由此，可以得到一般的战争模型：而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投诚或被歼灭）的一方为败。以下分正规战和游击战来讨论。二 正规作战模型模型假设：1 不考虑增援，忽略非战斗减员；2 甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上。因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比关系，以、分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力。若以、分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以、分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有、。模型建立：根据模型假设，得正规作战的数学模型：模型求解：从模型方程得到，进而得该模型的解满足：不难发现，甲方获胜的充要条件为，即。进一步可得甲方获胜的充要条件为，从其形式，可以发现一种用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战斗力的评价函数可取为，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、士兵一次射击的（平均）命中率（士兵的个人素质）、士兵数的平方均服从正比例关系，这样在三个因素中只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，显然要选士兵数的增加，它可以带来部队综合战斗力四倍的提升。因此，正规作战模型又被称为平方率模型。三 游击作战模型模型假设：1 不考虑增援，忽略非战斗减员；2 甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的。因此，甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会越大，显然二者服从正比例关系，这样对方投来的一枚炮弹的平均杀伤力（期望值）也会服从正比例关系增加；3 若以、分别表