测量误差与测量结果处理.ppt

第二章 测量误差与测量结果处理 本章知识将对测量当中的误差概念、来源、类 别以及测量数据的处理等进行学习。 本章主要知识点 1 误差的概念及表示方法（重点） 2 误差的分析和处理（重难点） 3 测量数据的处理（重难点） 4 误差的合成与分配（难点、略） 第一节 误差的概念及表示方法 2.1.1 常用测量术语 1、一次测量和多次测量 一次测量：对一个被测量进行一次测量的过程， 也称必须测量。 多次测量：对一个被测量进行不止一次的测量， 可观测结果的一致性。 2、等精度测量和非等精度测量 等精度测量：测量条件保持不变的多次测量。 非等精度测量：测量条件不能维持不变情况下的 多次测量。 3、真值、最佳值、实际值、约定真值 真值：被测量本身的真实值，用A0表示，通常真 值是不可知的，实际中通常用最佳值来代替。 最佳值：在理想情况下，在排除系统误差的前提 下，进行无数次测量的算术平均值就是真实值。 将满足一定测量精度的、有限次测量的算术平均 值就是最佳值，也称为实际值、实际真值或者相 对真值，用A表示。 实际值：满足规定准确度要求，用来代替真值使 用的量值。常用高一等级或数级的计量标准所测 得的量值作为实际值。 约定真值AS：法令形式定下来的实物基准。 4、示值 也称为测量值或者指示值，是指测量器具的读数 装置所指示出来的被测量的数值，用表示。 5、测量误差 测量结果与被测真值的差异，通常可以分为绝对 误差和相对误差俩种。 6、测量准确度 测量结果与真值一致的程度，用准确度等级描述 。 7、测量精密度 误差（或者测量值）分布的密集或离散程度。 8、标称值 测量器具上标定的数值，例如砝码上的标定值。 2.1.2 测量误差的来源 测量的目的是得到被测量的真实结果（真值）， 但真值往往很难获取。测量值与真值间的差异称 为测量误差。 对客观事物认识的局限性、测量工具不准确、测 量手段不完善、环境影响或者测量工作中的疏忽 等都会产生测量误差，误差是不可避免的。例如 ： 1、前次测量和后次测量的结果不一致； 2、不同仪器测量时测得的结果间存在差异； 3、同一个人、同一台仪器的俩次测量误差不同； 4、对同一被测量采用不同方法测量也存在误差。 有测量就有误差，误差存在于一切科学实验和测 量的全过程，不含误差的测量是不存在的。 测量误差并不可怕，重要的是我们要知道实际测 量的精确程度和产生误差的原因。 研究误差的目的，归纳起来可有如下几个方面： 1、正确认识误差的来源和性质以减小测量误差； 2、正确处理测量数据，以得到接近真值的结果； 3、合理地制定测量方案，组织科学实验，正确地 选择测量方法和测量仪器； 4、在设计仪器时，需要使用误差理论进行分析并 适当控制可能的误差因素，以减小测量误差。 误差的来源分主要有 仪器误差：也称设备误差，因设计、制造、装配 的不完善以及仪器使用过程中的元器件老化、零 部件损坏等引入的误差。 使用误差：也称操作误差，指对测量设备操作不 当造成的误差。 人身误差：由于测量人员的感觉和运动器官不完 善、固有习惯等产生的误差。 环境误差：也称影响误差，由于各种环境因素与 要求的测量条件不一致所造成的误差。 方法误差：测量方法不完善（不当）或测量原理 不严密所引起的误差，也称理论误差。 2.1.3 测量误差的分类 1、按照误差的表示方法分可以分为： 绝对误差、相对误差、引用误差（用于表 示仪器时） 2、按照误差的性质分可以分为： 系统误差、随机（偶然）误差、疏失（粗 大）误差 3、按照测量误差的来源可以分为： 仪器误差、使用误差、人身误差、环境误 差、方法误差 2.1.4 测量误差的表示方法 1、绝对误差：测量结果与被测量的真值间的差值 。 因A0不可知或难以获取，常用实际值A来代替。 即： 与绝对误差大小相等、符号相反的量值为修正值。 即： 修正值是由上一级标准(基准)检定或由生产厂家 以表格、曲线或者公式的形式给出。测量时利用 修正值可得被测量的实际值。 绝对误差含正负号， 可以表示偏大或者偏小 例2.1.1 已知被测电压真值U0为100V，用电压表 测量指示值(示值)u为101V，则其绝对误差为? 例2.1.2 用晶体管毫伏表10mV挡测量时示值8mV， 8mV处修正值是-0.03mV，被测电压的实际值为? 例2.1.3 已知俩被测电压实际值U1= 100V和U2= 5V ，指示值(示值)分别为u1=101V和u2=6V，则其绝 对误差分别为? 俩者的测量准确程度相同吗? 2 相对误差 绝对误差可以反映测量误差的大小和方向，但不能 说明测量的准确程度，因此引入相对误差。相对误 差有3种不同的表示形式： 实际（值）相对误差：绝对误差与被测量的实际 值的百分比值。 示值相对误差：绝对误差与读数值（指示值）的 百分比。 满度（相对）误差或引用误差：仪器量程内最大 绝对误差与测量仪器满度值（量程上限）的百分比 。 常用来定义仪表的准确度等级，用s表示。按m值 分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0共7级。 例如，1.0级表示仪表最大满度相对误差值不超过 1.0%，仪表等级越大，测量准确度就越低。 例2.1.4 要测量一个40V左右的电压，有两块电压 表，其中一块量程为50V、1.5级，另一块量程为 100V、1.0级，问应选用哪一块表测量比较合适？ 解：第一块电压表测量的绝对误差为： 结论：因为要测量的是同一个被测量，故只要比较两块表 测量时产生的绝对误差即可。 U150V(1.5%)=0.75V 第二块电压表测量的绝对误差为： U2100V(1.0%)=1.0VU1 答：应选用第一块电压表测量。 例.1.5 测量两个电压，分别得测量值为 U1x=103V，U2x=12V，实际值为U1=100V，U2=10V， 求两次测量的绝对误差和实际相对误差。 解：两次测量的绝对误差、相对误差分别为: U2=U2xU2 =1210=2V A1=3/100=3% A2=2/10=20% U1=U1x-U1=103100=3V 例2.1.6 已知某被测电压为80V，用1.5级100V量程 的电压表测量，可能产生的最大绝对误差为多少？ 解：因为xxmaxxms 所以xmax=1.5%100=1.5V 结论：两个不同的测量对象，绝对误差不能衡量准确程度 。 例2.1.7 用电压表校准万用表时测得的两个电压值 100V、50V，而用万用表测得的值分别是90V、40V， 求两次测量的绝对误差、修正值、实际相对误差？ 解：根据题意知，电压表的测量值（校准值）是更 高精度等级的测量值，可作为实际值，因此： UA1=100V Ux1=90V UA2=50V Ux2=40V U1=90V100V=10V C1=U1=10V A1=U/UA1100%=-10V/100V100%=-10% A2=U2/UA2100%=-10V/50V100%=-20%S)。 微差法实际上是将被测量x与已知标准量S比较， 但是不要求俩者完全相等，只要求二者接近即可 ，其差值可由小量程仪表读出（或指示出与该差 值成比例的量）。 绝对误差: 相对误差: 因为:并令: 可得: 由于所以很小,使得仪器相 对误差对测量误差影响大大减小. 解: 例2.2.1 设US=100V，Ux=99V，仪表相对测量误差 US/US=5%，标准US的误差小的可以忽略不计，求 测量电压Ux的相对误差。 补偿法：补偿法相当于部分替代法或不完全替代 法。常用在高频阻抗、电压、衰减量等的测量中。 谐振法测电容 例2.2.2 如图为谐振法测电容原理图，当电压表电 压达到最大值是产生谐振，则 因Cx与f0、L、C0有关， 它们的准确度都会影响 Cx的准确度，因此Cx的 测量准确度很难提高。 补偿法测电容 先断开Cx，调节标准电 容Cs使电路谐振，设此 时电容为Cs1，此时有 而后保持信号源频率不变，接入Cx，重新调整标 准电容达到谐振，设此时电容为Cs2，则有 Cx仅与标准电容有关，因而测量准确度要高的多。 对照法(或交换法)：利用交换被测量在测量系统 中的位置或测量方向等，设法使两次测量中，误差 源对被测量的作用相反，取两次测量值的平均值作 为测量结果。 可很大程度消除系统误差的影响，特别适用于平衡对称 结构的测量装置中，并通过交换法可检查其对称性是否良 好。 第一次平衡 第二次平衡 上两式相乘、开方得： 例：在电桥中采用交换法测电阻例：在电桥中采用交换法测电阻 交叉读数法：交叉读数法是对照法的一种特殊形 式。以LC谐振电路为例，其谐振曲线如图 因在谐振点fx=f0附近曲 线平坦，电压变化小， 很难准确判断谐振状态 ，因而引入一定的方法 误差： 若U/U0=2%，Q=100， 则误差f/fx为110-3。 改用交叉读数法，测出两个失谐频率f1和f2，则 （3）消除或削弱系统误差的其他方法 利用修正值或修正因数加以消除 根据校正曲线、校正数据或校正公式进行修正。 随机化处理 对同一被测量利用多台仪器测量取平均值。 智能仪器中系统误差的消除 （a）、直流零位校准 测量输入端直流短路时的输出电压，并存下测得的 数据，实际测量中将测得值与其相减即可。 （b）、自动校准 测量仪器各种电路因素引起的系差用微处理器实现 自动校准。 2.2.2 随机误差的判断和处理 1 随机误差（偶然误差或随差）的定义及产生原因 随机误差：对同一量值进行一系列等精度重复测量 时，测量结果出现无规律随机变化的误差。 主要由影响微弱、变化复杂而又互不相关的多种因 素共同造成。是多因素微小误差的总和，原因有 测量仪器中零部件配合不稳定或有摩擦,仪器内部 部件产生噪声等； 温度及电源电压的频繁波动,电磁场干扰、地基振 动等； 测量人员感觉器官的无规则变化，读数不稳定等 原因引起的误差均可造成随机误差。 2 随机误差的特点 （1）在多次测量中，绝对值小的误差出现的次数 比绝对值大的误差出现的次数多。 （2）在多次测量中，绝对值相等的正误差与负误 差出现的概率相同，即具有对称性。 （3）测量次数一定时，误差的绝对值不会超过一 定的界限，即具有有界性。 （4）随机误差的算术平均值随测量次数的增加而 趋近于零，正负误差具有抵偿性。 采用多次测量求平均可以削弱随机误差。只要测量 次数足够多，随机误差的影响就可以足够小。 随机误误差的平均值值: 3 随机误差分散程度的计算 在统计学里，一组测量数据可由总体平均值或分散 程度来描述。算术平均值说明了测量值的总体平均 大小，测量数据的分散程度一般用方差和标准差来 表示，表示测量结果的精密程度。 若设测量次数为n，每次测量值为xi，实际值为A 算术术平均值值随机误误差 当n时， 但是实际应用中测量无 数次是不可能的，当测 量次数足够大时，可近 似认为算术平均值就是 实际值。 剩余误误差: 当n时，残差的代数和等于零。 随机误差反映了实际测量的精密度，即测量值的分 散程度，但因其具有抵偿性而不能用其算术平均值 来衡量测量值的精密度。 通常用方差或标准差来表示测量值的精密程度。 实际中，由于真实值或实际值很难获取，因此随机 误差的定义也过于理想化，因此定义 等式两边求和得 样样本方差（简简称方差）： 标标准误误差（均方根误误差，也称标标准偏差或标标准 差） 平均误误差 随机误差落在区间 的概率为68.3% 极限误误差 随机误差落在区间 的概率为95.4% 随机误差落在区间 的概率为99.7% 实际中测量为有限次，随机误差用残差代替，标准 差用其估计值来代替。 标标准差估计值计值 算术术平均值值的标标准差 或者 贝塞尔 公式 若在相同条件下将同一被测量分成m组，每组重复n 次测量，则每组测得值都有一个算术平均值。由于 随机误差的存在，这些算术平均值也具有分散性 实际中不再区分，直接写成 2.2.3 粗大误差的判断和处理 1 粗大误差的定义和产生原因 粗大误差：指在一定的测量条件下，由于操作不当 、测量失误等原因造成，测量值明显偏离实际值所 造成的测量误差，又称为疏失误差或粗差。 通常由于读数错误、记录错误、操作不正确、测量 条件的意外改变等因素造成的，明显歪曲测量结果 。 2 测量结果置信概率与置信区间 置信概率（或称置信度）：用来描述测量结果在数 学期望附近某一确定范围内的可能性有多大，一般 用百分数表示。这个确定的范围称为置信区间，即 是极限误差的范围。 极限误差：定义为一个随机误差的极限值。通常用 标准差的若干倍表示。显然，对于同一测量结果， 所取置信区间愈宽，则置信概率愈大，反之愈小。 3 可疑数据的剔除方法 莱特准则：在测量数据为正态分布、且测量次数足 够多时，如果某个测量数据的剩余误差的绝对值满 足条件： 可以认为该测量值是可疑数据，应剔除。 4 测量结果（不含系差与粗差）的表示 2.2.4 测量误差一般处理原则 1、利用粗大误差判断原则，首先判断和剔除测量 数据中的粗大误差； 2、若系统误差远远大于随机误差的影响时，可忽 略随机误差，按系统误差进行处理； 3、若系统误差极小或已得到修正，按随机误差处 理； 4、系统误差与随机误差相差不大，二者均不可忽 略时，应分别按不同的办法处理，然后估计其最终 的综合影响。 第三节 测量误差的表示和处理 2.3.1 测量结果的评价 对测量结果可采用正确度，精密度和准确度三种 评价方法。 准确度：表示测量结果中系统误差大小程度； 精密度：表示测量结果中随机误差的大小程度， 简称为精度；一般用标准（偏）差来表示； 精确度：测量结果系统误差与随机误差的综合， 表示测量结果与真值的一致程度； 例2.3.1 用一块0.5级的电压表测量电压，当量程 为10时，指针落在大于8.5的附近区域，这时 测量数据应取几位？ 解: 可见，测量值应为8.51、8.52、8.53等，即小数点 后面取俩位。 2.3.2 测量数据的处理 1误差位对齐法 测量误差的小数点后面有几位，则测量数据的小数 点后面也取几位。 例2.3.2 某直流50V量程的万用表，其分辨力(刻度 盘能准确读出的最小数值或最小刻度)为1V，则： 32.7V和32.75V俩种读数那一个是恰当的? 32.7V是恰当的。 结论：上例中32.7V被称为测量记录值，最后一位称为欠 准数字。欠准数字后面再有数字是无意义的。 2有效数字表示法 有效数字：指测量数值中，从左边第一位非零数 字算起到含有存疑数字为止的所有数字。 一般数据最后一位是欠准确度的估计数字，称为 存疑数字。有效数字的位数表达了测量的准确度 ，不能多写也不能少写。 例2.3.3 请问0.03560的有效数字是几位？3000V可以 改写成3KV、3.0KV、3.00KV、3.000KV吗? 答:0.03560有效数字是4位。 3000V只能改写为3.000KV。 电子测量中，如果未标明测量误差或者仪器分辨力( 由此在测量数据中多估读一位即可得记录值)，通常 认为有效数字具有不大于欠准数字(最后一位)+0.5 单位的误差，称为0.5误差原则。 例2.3.4 试分别判断下列数字的最大误差,0.0453V 、0.453V、0.43V、40.67? 答：它们的最大误差分别为： 0.00005V、0.0005V、0.005V、0.005。 有效数字舍入规则规则 ：当测量数据中有多余的有效数 字时，这些数字是没有意义的，需要对测量结果超 过保留位数的多余数字要进行舍入处理。舍入规则 如下： （1）当被舍的数字大于5时，则舍去5向前进一位； （2）当被舍的数字小于5时，直接舍去不进位； （3）当被舍的数字刚好为5时，其前一位为奇数时 舍5进位，反之舍5不进位； 例2.3.5 将下列数字保留到小数点后一位:12.34、 12.36、12.35、12.45. 解:结果分别为:12.3、12.4、12.4、12.4。 有效数字运算规则规则 ：当需要对几个测量数据进行运 算时，要考虑有效数字保留多少位的问题，以便不 使运算过于麻烦而又能正确反映测量精度。 计算结果位数的保留原则上取决于各参与计算的数 据中精度最差的那一项。 （1）加法运算：以小数点后位数最少的为准（若无 小数点，则以位数最少的为准），计算时各数据位 数可比其多取一位（安全数字）进行计算。 （2）减法运算：当相减两数相差较远时，原则同加 法运算，当两数很接近时，可能带来很大的相对误 差，因此第一要选用测量方法，尽量避免减法运算 ，第二在运算中多取一些有效数字。 （3）乘除法运算：以有效数字位数最少的为准，其 余参与运算的数字及结果的有效数字位数与之相等 。 为保证必要的精度，参与乘除法运算的各数及最终 运算结果也可以比有效数字位数最少的数多取一位 。 （4）乘方、开方运算：运算结果比原数多保留一 位有效数字。例如： 2.3.3 测量结果的处理（等精度测量） 当对某一量进行等精度测量时，测量结果中可能包 含系统误差、随机误差以及粗大误差，为给出正确 合理的测量结果，应进行如下数据处理： 1、将测量数据按先后次序列表。 2、求算术平均值： 3、计算每一次测量值的剩余误差： 4、计算标准差估计值： 5、按莱特准则判断粗大误差，即根据剔除坏值。 6、若有系统误差，则修正或消除后重新测量。 7、求算术平均值的标准差估计值： 8、写出测量结果的表达式： 例2.3.6 对某电压进 行16次等精度测量， 如表所示 xivivi(vi)2 1205.300.00+0.090.0081 2204.94-0.36-0.270.0729 3205.63+0.33+0.420.1764 4205.24-0.06+0.030.0009 5206.65+1.35 6204.97-0.33-0.240.0576 7205