厦大数学建模论文数码相机定位.doc

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 厦门大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 许世杰 2. 刘辰晨 3. 蔡鸿祥 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 谭忠 日期： 2008 年 9 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题 数码相机定位摘要本文主要针对数码相机的空间定位、相机的标定、空间点在二维和三维互相转换的问题，提出了以下四个模型以及改进算法：模型一：是通过类比于质心的求法，对图像进行二值化和分析，提取像素点的坐标和像素的个数，根据公式 可得圆心像坐标。代入第二问数据就可以求得各圆心在像平面的坐标为：像平面坐标系（单位：像素）以光学中心为原点，xy平面平行于像平面的坐标系（单位：毫米）A（322.033，188.550）A(-50.255174,-54.087249,417.195767)B（422.001，195.942）B(-23.809206,-52.131667,417.195767)C（633.888，212.201）C(33.568280,-47.830370,417.195767)D（581.733，502.050）D(18.447857,28.849259,417.195767)E（283.286，500.613）E(-60.506323,28.468915,417.195767)经过对投影前后在同一条直线A，B,C三点的交比不变以及他们是否仍然在同一条直线来进行的分析，准确性为95，可认为模型相对准确。经过对误差的分析，发现模型相对较为稳定。模型二：通过利用模型一得出的点的坐标在三个坐标系之间的相互转换求出投影矩阵M，从而得到数码相机的各种内外参数。模型三：采用具有反馈机制、并且可以进行自我学习与调整的神经网络作为分析相机相对位置的算法。并根据其不足提出了神经网络的改进算法：动量自适应学习率BP神经网络的权值修正算法，使得整个模型学习速率更低，得到的结果也更加准确可信。模型四: 利用遗传算法在解决多参数,非线性的复杂函数的优化问题方面的优势并结合matlab编程，求出数码相机外参数，进而建立两部固定相机相对位置的数学模型，其中以残差为目标函数，F=Maxf-f()为适应度函数。该算法的收敛速度虽然较慢，但数据的可依赖度很高。关键词 ：二值化 系统标定 神经网络 遗传算法 一、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 图 1 靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。图 2 靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。图3 靶标的像请你们：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024768；（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、问题分析本问题涉及到的是由三维空间映射得到的二维图像经处理后还原为三维空间立体图形的问题。这四个问题是相互关联的，第一问是建立模型来求解靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，第二问是将已知的照相机的内部参数代入第一问建立的模型中来获得圆心在该相机像平面的像坐标值。第三问是对第一问所建立模型进行精度和稳定性进行检验。第四问也是在第一问模型的基础上进行进一步的扩展。所以只有建立第一问的模型，求出圆心在该相机像平面的像坐标，第四问模型才能建立，并且第一问的模型还要兼顾到第二问的所给的数据，否则将得再建立一个新的模型才能求解。第一问可以通过建立图像坐标系、摄像机坐标系与世界坐标系及他们之间的转换关系来建立像平面系与数码相机坐标系中坐标的对应关系的模型。但是缺乏照相机相关的内，外部的参数，第二问不能直接代入数据进行求解，但是第四问模型的基础。为此，本文建立了一个新的数学模型，他建立的基本思想是仿照质心的求法，对图像进行分析，利用像素和其坐标信息进行建模，这样只要将第二问的数据代入就能得到只要圆心在该相机像平面的像坐标。对第一问建立的模型的验证，本文是通过投影前后，在同一条直线A，B,C三点的交比不变以及他们是否仍然在同一条直线来进行的。由第一问的模型所得到的靶标像平面坐标，通过模型2可以得到数码相机的外部参数，就可以建立靶标的数学模型。 三、模型假设与符号说明A 模型假设1 假设两部相机参数完全相同；2 假设在拍摄时无畸变发生以及无外界情况干扰。B符号说明XYZ 世界坐标系，也成真实或现实坐标系统，是一般三维物体的参照坐标系XCYCZC 摄像机坐标系，以摄像机为中心制定的坐标系，以摄像机的光学轴为Z轴u v 摄像机像平面坐标系，其与摄像机坐标系的xy面平行。(xn,yn) 椭圆的中心像坐标 四、模型建立及求解模型一：1 模型建立：圆在成像后为椭圆，圆心对应的即是椭圆的中心，因此求圆的圆心在相机像平面的像坐标即求成像后的椭圆的坐标。我们定义：npix：属于椭圆集合的所有像素点的总个数；sumx：属于椭圆集合的所有像素点的横坐标累加值；sumy：属于椭圆集合的所有像素点的纵坐标累加值；我们可以通过以下式子求得椭圆的中心像坐标其中(a,b)：二值化后，属于椭圆集合的像素点的像坐标；f(a,b)：像坐标为(a,b)的像素的灰度值。对于二值化后属于椭圆集合的像素，显然f(a,b)1；：图像的pq阶矩阵；由上可得：由此我们知道，要求椭圆中心的像坐标，我们只需知道npix、sumx、sumy即可。2模型算法：我们作以下两个假设：（1）.椭圆集合相互之间无重合或交错、遮断，且近邻背景区域灰度或彩色均匀，无强烈噪声；（2）.能够采用有效的边缘检测方法和严格的判别标准，准确地检测到处于相邻两行j行和j1行的椭圆边缘上左右两个像素点，其像坐标分别为(xj,yj)、（xj,yj)和(xj-1,yj-1)、(xj-1,yj-1)表示，显然yj=j，yj-1=j-1；我们知道椭圆有一些重要的几何性质：11. 椭圆集合是凸集合，对于任意和任意实数，连线性质2.椭圆曲线L为连线光滑曲线，假设为L上两点，其平面坐标分别为(，则当两点距离够近时：由以上性质我们可以知道，对于j行，有：npix=sumx=sumy=对于j1行，则在j行像素基础上，累加像素数npix，像面横坐标值sumx和纵坐标值sumy分别为：npix=npix+sumx=sumx+sumy=sumy+经过计算我们可以的出npix、sumx、sumy。然后根据式子我们就可以得到椭圆中心的像坐标，在经过转化即可得到：坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面的圆心的像坐标。3模型求解：经过读图，我们可以得到A点所在椭圆的点坐标见下x起始坐标x终止坐标x坐标个数yx坐标和y起始坐标y终止坐标y坐标个数xy坐标和31633116147517618120020280381031233625148810017720428281533430833932149103521772052928255393063413615011646174209362836894304343401511294017121040284762030234443152138891672134728589303023454415314234167214482869144299347491541582716521753287101232973505415517469164218552881050529635156156181161612195928911210295353591571911616022061290115902943536015819410159221632911197029235463159203491592216329211970291355651602099515922163293119702913546416120640158222652941235029035768162219981572236729512730289358701632264515622368296128862883587116422933156224692971311028735973165235791552247029813265287358721662322015522470299132652863607516724225153225733001379728735973168235791532267430114023286360751692422515322674302140232843627917025517152227763031440228336280171258001522277630414402283363811722616315222877305146302823638217326445149228803061508028236483174268091492298130715309281364841752709014922981308153092813648417627090149229813091530928136484177270901492298131015309281364841782709014922981311153092813648417927090149229813121530928136484180270901492308231315539280365861812773514923082314155392803658618227735149231833151577028036586183277351472308431615834280365861842773514723084317158342803658618527735147230843181583428036586186277351472308431915834280365861872773514723084320158342803658618827735147230843211583428036586189277351472308432215834280365861902773514723084323158342803658619127735147230843241583428036586192277351472308432515834280365861932773514723084326158342803658619427735147230843271583428036586195277351472298332815604280365861962773514722983329156042803658619727735147229833301560428036586198277351482298233115457280363841992700614822982332154572813638320026726148228813331522828136383201267261482288133415228281363832022672614822881335152282813618120326001148227803361500028136181204260011472278133715147281361812052600114722781338151472823607920625359147227813391514728236079207253591502267734014476282360792082535915022677341144762823607920925359150224753421402528435774210237171512247434313875285355712112272015222473344137242863546921222080152223723451350028735367213214401532227034613125287353672142144015322270347131252873536721521440154221683481275028935365216208651552216734912596289352642172051215522066350123752903506121819520156218633511178129134959219188801562176235211563291348582201853115721660353111902923475622117892158215583541081729434754222173071602145535510285296345502231602516121353356991129734347224150401632114935791632993424422514102164210473588789300341422261346116620843359804130233534227108291662074236078333053363222810256169204363616714308333262298333172202313625797313327152304800175199253634675179195173643179由此我们可以求出npix5754、sumx1852980、sumy1084918sumx/npix=322.033sumy/npix=188.55同理，我们可以得到B，C，D，E点在像平面的像坐标。（具体过程数据见附录）结果为：npixsumxsumysumx/npixsumy/npixA575418529801084918322.033188.550B50392126464987353422.001195.942C43342768941919680633.888212.201D352320494451768723581.733502.050E432012237962162646283.286500.613即各圆心在像平面的坐标为：A（322.033，188.550）B（422.001，195.942）C（633.888，212.201）D（581.733，502.050）E（283.286，500.613）(坐标单位为像素，原点为左上顶点)在图中表示为：通过转换成坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面的圆心的像坐标为：A (-50.255174,-54.087249,417.195767)B (-23.809206,-52.131667,417.195767)C (33.568280,-47.830370,417,195767)D (18.447857,28.849259,417.195767)E (-60.506323,28.468915,417.195767)（单位mm）4模型检验（稳定性与精度讨论）：对于上述模型，所求得的五个像平面上的圆心点的像坐标分别为A322.0334188.5502B422.0012195.9423C638.8881212.2012D581.7329502.0502E283.2861500.6125（单位为像素）由上图可以得到，A、B、C三点组成的AB与BC两条线段的斜率几乎一致，可以说明，AB与BC在同一条直线上。我们验证模型的准确性的思路是：检验在同一条直线的两条有限线段AB与AC在世界坐标系与像坐标系中的长度比值是否相同。若比值相同或者误差在一定范围内，则说明模型准确度较高，反之则说明模型在某些方面需要进一步完善。在世界坐标系中，由已知条件可知，|AB|=30,|AC|=100,即d1=|AB|AC|=3:10=0.3000。而在像平面坐标系中，通过上述求得的坐标，可知|AB|100.2407，|AC|317.7362，则比例为d2=|AB|BC|=0.3155，可见其相对误差为4.9128，可见模型相对较为准确，但仍需要改进。为了检验模型是否具有稳定型，并再次检验改模型的误差，我们在模型正确的前提下，在给定靶标的边上再取四个点（每条边取一个，使得边被分为两个具有一定比例的线段），（10，50）、（50，30）、（0，50）、（50，40），使得所截线段比例分别为2：3、4：1、1：1和9：1。在像坐标中，由该模型可知，其上的点与靶标上的点一一对应。则通过次此比例可求得对应的四点坐标为（0.0387，50.3331）、（30.5442，32.4944）、（21.0292，28.6591）和（59.4813，20.2133），而通过模型求得的四点坐标为（0.0361，53.2456）、（31.5320，34.7694）、（19.9443，26.4431）和（57.5445，18.9833），四点坐标的最大误差分别为6.72、7.00、7.73和3.26。可见，模型的误差在一定范围内发生变动，但不会超出某一数值，可见模型相对比较稳定。下面我们简要分析分辨率对模型精度的影响。当分辨率降低时（例如从1024768降低至800600），投影点边缘的像素会变得更低，以致于使得边缘模糊化，降低了点边缘像素的可读性，使精度总体下降。模型二1.模型准备：图像坐标系、摄像机坐标系与世界坐标系摄像机采集的图像以标准电视信号的形式输入计算机，经计算机中的专用数模转换板变换成数字图像。每幅数字图像在计算机内为MN数组，M行N列的图像中的每一个元素(称为象素)的数值即是图像点的亮度2(或称灰度)。如图2所示，在图像上定义直角坐标系u，v，每一象素的坐标(u，v)分别是该象素在数组中的列数与行数。所以，(u，v)是以象素为单位的图像坐标系的坐标。由于(u,v)只表示象素位于数组中的列数与行数，并没有用物理单位表示出该象素在图像中的位置，因而，需要再建立以物理单位(本题为毫米)表示的图像坐标系。该坐标系以图像内某一点O1为原点，x轴与y轴分别与u，v轴平行，如图2所示。 (u,v)表示以象素为单位的图像坐标系的坐标，(x，y)表示以毫米为单位的图像坐标系的坐标。在xy坐标系中，原点O1定义在摄像机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心处，但由于摄像机制作的原因，也会有些偏离(本题模型中不予以考虑)，若O1在u，v坐标系中的坐标为，每一个象素在x轴与y轴方向上的物理尺寸为dx，dy，则图像中任意一个象素在两个坐标系下的坐标有如下关系： 图2为方便使用，我们用齐次坐标与矩阵形式将上式表示为 其逆关系可写成 摄像机成像几何关系如图3表示。其中O点称为摄像机光心，Xc轴和Yc轴与图像的x轴与y轴平行，Zc轴为摄像机的光轴，它与图像平面垂直。光轴与图像平面的交点，即为图像坐标系的原点，由点O与Xc，Yc，Zc轴组成的直角坐标系称为摄像机坐标系。OO1为摄像机焦距。由于摄像机可安放在环境中的任何位置，我们在环境中还选择一个基准坐标系来描述摄像机的位置，并用它描述环境中任何物体的位置，该坐标系称为世界坐标系它由Xw，Yw，Zw轴组成。摄像机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵R与平移向量t来描述。因此，空间中某一点P在世界坐标系与摄像机坐标系下的齐次坐标如果分别为(Xw，Yw，Zw，1)T与(Xc，Yc，Zc，1)T，于是存在如下关系：其中R为33正交单位矩阵；t为三维平移向量；0(0,0,0)T；M1为44矩阵。 图32.模型建立空间任何一点P在图像上的成像位置可以用针孔模型近似表示，即任何点P在图像上的投影位置p，为光心O与P点的连线OP与图像平面的交点。这种关系也称为中心射影或透视投影。由比例关系有如下关系式：其中，(x，y)为p点的图象坐标；(Xc,Yc,Zc)为空间内点P在摄像机坐标系下的坐标。我们用齐次坐标与矩阵表示上述透视投影关系：将(1)与(2)代入上式，我们得到以世界坐标系表示的P点与其投影点p的坐标(u,v)的关系：其中，；M为34矩阵； 完全由决定，由于只与摄像机内部结构有关，我们称这些参数为摄像机的内部参数；完全由摄像机相对于世界坐标系的方位决定，称为摄像机外部参数，我们要为摄像机定标，所要做的就是确定某一摄像机的内外参数。由（7）可见，如果已知道摄像机的内外参数，就已知道投影矩阵M，对任何空间点P，如已知它的坐标Xw=(Xw,Yw,Zw,1)T,就可以求出它的图象点p的位置(u,v)。我们首先对M矩阵进行求解。将（7）改写成 其中，为空间第i个点的坐标；为第i点的图像坐标；为投影矩阵M的第i行j列元素。（10）包含三个方程：将上式中的第一项除以第三项,第二项除以第三项分别消去后,可得如下两个关于的线性方程：上式表示，如果标定块上有n个已知点，并已知它们的空间坐标(i=1,2,n)与它们的图象点坐标 (i=1,2,n)，则我们有2n个关于M矩阵元素的线性方程，下面用矩阵形式写出这些方程：由（7）可见，M矩阵乘以任意不为零的常数并不影响与(u,v)的关系，因此，在（11）中可以指定=1，从而得到关于M矩阵其他元素的2n个线性方程，这些未知元素的个数为11个，记为11维向量m，将（11）简写成 KmU其中，K为（11）左边2n11矩阵；m为未知的11维向量；U为（11）右边的2n维向量；K，U为已知向量。当2n11时，我们可用最小二乘法求出上述线性方程的解为m向量与=1构成了所求解的M矩阵。由上可见，由空间6个以上已知点与它们的图像点坐标，我们可以求出M矩阵。本题中，我们用已知的ABCDE五点再加上靶标中心点求解。求出M矩阵后，可由(7)所表示的关系算出摄像机的全部内外参数。但是，我们所求得的M矩阵与(7)所表示的矩阵M相差一个常数因子，这一点可以从解 (11)时指定中看出。虽然我们已指出，指定并不影响投影关系，但在分解M矩阵时必须考虑。我们将(7)中M矩阵与摄像机内外参数的关系写成其中，为由(11)求得的M矩阵的第i行的前三个元素组成的行向量；为M矩阵第i行第四列元素；为旋转矩阵R的第i行；分别为平移向量t的三个分量。由上式可得比较上式两边可知：，由于是正交单位矩阵的第三行，1，因此，我们可以从求出 再由以下式子可求得： 其中表示向量积运算符。由以上求出的参数可进一步求出以下参数： 综上所说，由空间6个以上已知点以及它们的图像点坐标，我们可求出M矩阵，并可按上述式子即可求出全部内外参数。3模型求解：由matlab编程3（见附录），可得M投影矩阵为51.805162 -612.537515 290.648242 -89.021404 -170.317892 497.968757 60.671301 -131.014365 -0.987058 0.246764 -3.895403 1.000000在ZC矩阵已知的情况下，可通过的等价关系计算出标靶上任意一点坐标与像平面上点的对应关系。 下面两个模型用于第四问，即确定两台相机相对位置模型的建立。模型三 神经网络BP神经网络：BP网络采用反馈机制，采用输出信号对输入信号产生影响来实现网络的自我调整与学习。其算法的基本思想是梯度下降法，通过自适应来修改相应藏书的权值，以使得实际输出值与期望输出值的误差均方值最小。神经网络有效的避开了非线性算法繁琐步骤的缺陷，从而可以快速有效的解决非线性映射的问题。根据透视投影原理，左右图像中同一点的像坐标与世界坐标是一一对应的，并且两者由于畸变等因素存在着非线性关系。如果用神经网络去解决这种非线性关系，那么许多不确定的因素（比如畸变因素）就可以被包含进来并得以合理的拟合与解决。得到这种隐含的映射关系后，一旦空间一点在左右摄像机中的像坐标，就可以利用训练好的网络求出其相对世界坐标系的三维坐标。BP网络有以下特点4：1 BP网络是一种多层网络，包括输入层、隐层和输出层；2 层与层之间采用全互联方式，同一层神经元之间不连接；3 权值通过学习算法进行调节；4 神经元激发函数为S函数；5 学习算法由正向传播和反向传播组成；6 层与层之间的连接是单向的，信息的传播是双向的。单隐层BP网络结构如下图所示： 网络的逼近如下图所示：BP算法的学习过程由正向传播和反向传播组成。在正向传播过程中，输入信息从输入层经隐层逐层处理，并传向输出层，每层神经元的状态只影响下一层神经元的状态。如果有输出层不能得到期望的输出，则转至反向传播，将误差信号按连接通路反向计算，由梯度下降法调整各层神经元的权值，使误差信号减小。（1） 正向算法：设输出节点k与隐层节点j之间的权值为，输出层作用函数为f，则输出信号可表示为 。由逼近图可知，网络输出与理想输出之间的误差为e(k)y(k)yn(k)，而误差性能指标函数为 E12e(k)2。（2） 反向算法：采用，调整各层间的权值。如上文所述，采用梯度下降法。输出层与隐层之间的连接权值的学习算法为： ，其中为学习效率，。隐层与输入层连接权值的学习算法为： 。为了提高训练速度并且避免陷入最小解，需要考虑上次权值变化对本次权值变化的影响，即加入动量因子，此时权值为。对于本实例来说，网络输入为点在像平面的坐标（x,y,z），输出则为点的世界坐标（XW,YW,ZW）,两者的关系可表示为，其中，f表示神经网络精确逼近的非线性函数。利用这两点间的对应关系对神经网络进行训练，将非线性映射关系存储于神经网络的连接权值和阈值中，从而可以得到精度较高的空间点坐标。网络标定的大致过程为：（1） 采集合适的点在像平面的点的像坐标作为样本输入；（2） 以点的世界坐标作为样本输出对神经网络进行训练；（3） 在网络实现收敛后，其输出能够反映出训练样本的特征。此时，将非标定样本输入已收敛的神经网络中，可以得到其对应的世界坐标。采用人工神经网络进行标定，是将相机拍摄的几何图形以及两种坐标的非线性映射关系存储于神经网络的连接权值和阈值中，从而得到两台相机的相对位置关系，使得模型具有比较稳定、外延拓展型好的特点。模型四 遗传算法由前三问的模型的求解，我们可以得到足够多的点的世界坐标和相应的像坐标，由此就能求出照相机的内部和外部的参数，根据R=R1R2-1和t=t1-R2-1t2就能求出两个数码相机之间的几何关系。因此，由靶标给出两部固定相机相对位置问题就转化为求数码相机的外部参数。数码相机参数的求解是一个多参数，非线性优化的问题。用一般的矩阵来求解会很复杂，而遗传算法在这方面具有独特的优势，并且可以用matlab方便，快速地求出解。本文就是采用遗传算法来建模。遗传算法是借鉴生物的自然选择和遗传进化机制而开发出来的一种全局优化自适应概率搜索算法。6它使用群体搜索技术，通过对当前群体施加选择、交叉、变异等一系列遗传操作产生新一代的群体，并逐步使群体进化到包含或接近最优解状态。以下就是用遗传算法建模的分析过程和步骤：Step1：决策变量及目标函数决策变量包括立体视觉系统数学模型中所有的摄像机内部和外部参数，总共24个。利用前三问求出的标定点三维坐标(Xw,Yw,Zw)与由模型计算得到的三维坐标(Xw,Yw,Zw)之间的残差来建立如下的目标函数：其中N代表标定点的数量； 代表视觉测量系统中所有的参数。简单记为：因此，用遗传算法进行摄像机标定的目的，是要找到一个由所有摄像机参数构成的最优组合来定义立体视觉三维测量系统，使f()的值最小。Step2：编码将函数优化问题的解空间转换成遗传算法的搜索空间的过程称为编码。 二进制编码方法具有编码、解码过程容易操作以及交叉、变异等遗传算子便于实现等优点，是遗传算法中常用的一种编码方法。将分别代表变量的二进制编码串连接在一起，组成一个共 204 位的二进制编码长串，它代表目标函数优化问题的染色体编码。Step3：解码解码是编码的逆过程，将编码所表示的数值从搜索空间转换到解空间。首先将204位长的二进制编码串分拆成24个分别表示不同变量的二进制编码串，然后把它们分别转换成相应的十进制代码。并根据下式求出实际决策变量的值。实际决策变量的值=十进制数*搜索精度+决策变量的下界Step4：选择选择过程是利用解码后求得的各个体适应值大小,淘汰一些较差的个体而选出一些比较优良的个体。适应度函数是遗传算法进化的指导准则，用来度量个体在优化过程中可能达到或接近于最优解的优良程度。立体视觉系统摄像机标定是一个求目标函数f()的全局最小值问题，因此，适应度函数F()由f()经以下转换得到：Step5：交叉与变异选择算子在遗传算法中以个体的适应度评价为基础来对群体中的各个个体进行优胜劣汰操作。目的是为了保持基因稳定、增强全局收敛能力和计算效率。在采用回放式随机采样方式的比例选择方法中，个体被选中的概率与其适应度大小成正比。设群体的规模大小为M，第i个个体的适应度Fi，则个体被选中的概率 pi为：交叉算子在遗传算法中起着重要的作用，是产生新个体的主要方法。算法中采用了如图3所示的单点交叉方法。变异算子相对交叉算子来说，只是产生新个体的一种辅助方法，但也不可忽视，因为它可以改善遗传算法的局部搜索能力，保持群体中个体的多样性，避免出现早熟现象。为了不破坏太多已有的较好模式，变异概率pm的值取得较小。交叉操作如图4所示。 最后只要设置一下停留代数，遗传算法中群体规模的大小，交差概率和变异概率，7分别调用附录中的matlab函数8，就能得到一组变量值作为目标函数的近优解，从而求出数码相机的相关的参数，如果外参数分别用与表示，则表示C1摄像机与世界坐标系之间的相对位置，表示C2摄像机与世界坐标系的相对位置。对任意一点P，如它在世界坐标系、C1坐标系与C2坐标系下的非齐次坐标分别为xw,xc1,xc2，则将上式中xw消去后得到因此，两个摄像机之间的几何关系可用以下R和t表示：进而求出两部固定相机相对位置。五 模型的评价与改进模型一有效而简洁的求得了五个像坐标系上的圆心坐标，但由于算法是建立在有效的边缘检测方法和严格的判别标准，准确地检测到处于相邻两行的假设上面，未考虑边缘模糊情况下导致不能准确地检测相邻两行的像素，从而引起一定的误差（4.9128），但总体上说，模型依然可行。模型二从数学角度出发，缜密的证明并得到关于两坐标系中对应点的非线性关系，并可通过软件求解复杂矩阵运算从而得到相应点的具体坐标。但模型一和模型二有一个共同需要改进的地方。忽略相机的畸变会使得量模型均具有较大的误差。下面，我们引入了畸变系数，对两模型进行改进。摄像头镜头畸变分为径向畸变、切向畸变以及薄棱镜畸变三种。下面我们引入畸变程度以及畸变系数两种参数对模型进行修正。（1） 径向畸变 其中是图像像素在像平面坐标系的坐标，根据真空模型得到规一化的投影值，为畸变系数。（2） 切向畸变 其中、为切向畸变系数，为像点的实际坐标。（3） 薄棱镜畸变其中为薄棱镜畸变系数。由上述可知，图像平面理想坐标点为：模型三利用神经网络有效的避开了非线性算法繁琐步骤的缺陷，从而可以快速有效的解决非线性映射的问题。而且，神经网络的自我学习与调节能力使得其可以忽略畸变等外界因素带来的影响而得到较为精确的坐标点。但由于其收敛缓慢等缺点，故而提出动量自适应学习率BP神经网络的权值修正算法5。其采用动量法和学习率自适应调整的策略，从而提高了学习速度并且增加了算法准确率。动量法权值调整算法为其中为第k步的权值，D(k)为第k步时的负梯度，mc为动量因子。加入的动量项相当于阻尼项，它减小了学习过程中的震荡趋势，从而改善了收敛性。另外，自适应调整学习率的权值调整算法为通过连续两次迭代判断其梯度方向是否相同，可以使学习率减半。将上述两种方法结合起来，就得到动量自适应学习率BP神经网络的权值修正算法为模型四利用遗传算法能方便的解决用传统优化方法很难解决的多参数。非线性的复杂函数的优化问题，但是第四问中包含24个变量，收敛速度比较慢，减少编码长度又会对结果的精度造成影响。通过改进遗传算法，使之具有变量搜寻区间的自适应调整能力，在保持染色体编码长度不变的情况下，收敛速度和编码精度的要求。参考文献1左爱秋 吴江宁等，基于几何特性的椭圆中心像坐标的快速求取，信号处理，第十六卷第二期：108111，200