(第1节)单自由度系统的强迫振动.ppt

第三章第三章 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 本章将主要讨论振动系统由外部持续激 励所产生的振动，称为强迫振动。 系统对外部激励的响应取决于激励的类 型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为: 简谐激励； 叠加原理：对于线性系统，可以先分别求 出对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得 出总响应。 非周期性激励。 周期性激励； 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 如图3.1-1所示的二阶线性有 阻尼的弹簧-质量系统。这一系 统的运动微分方程为 这个单自由度强迫振动微分方程 的全部解包括两部分。一是通解 x1，二是特解x2，即 在小阻尼情况下，通解x1为衰减振动，称为瞬态 振动；特解x2表示系统在简谐激励下产生的强迫 振动，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动。 (3.1-1) 图 3.1-1 微分方程及解的形式 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 微分方程的求解 式中X为强迫振动的振幅，为相位差，是两个 待定常数。 将式(3.1-2)代入式(3.1-1)，得 为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下 设特解为(3.1-2) (3.1-3) (3.1-4) 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 微分方程的求解 将式(3.1-4)代回式(3.1-3)，整理后得 该方程对于任意时间t都应恒等于零，有 由此可得(3.1-5) (3.1-6) 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 微分方程的求解 为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与 式(3.1-6)的分子分母同除以k，得如下变化形式 (3.1-7) 式中 。 (3.1-8) 得特解为 这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。 (3.1-9) 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点： (1) 在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振 动的频率与激励频率相同，但稳态响应的相位 滞后于激励相位。 (2) 强迫振动的振幅X和相位差都只决定于系统 本身的物理性质和激励的大小与频率，与初始条 件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。 (3) 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有 重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会 产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影 响机器及仪表的精度。 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 关于解的讨论 可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式 (3.1-10) (3.1-11) 引入符号： 频率比； 振动系统零频率挠度； 放大因子。 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 关于解的讨论幅频特性曲线 放大因子与频率比的关系： 当频率比1时，趋于零， 振幅可能非常小。 当激励频率与振动系统频率 很接近时，即1时，定义为共 振，强迫振动的振幅可能很大 ，比X0大很多倍，唯一的限制 因素是阻尼。 图 3.1-2 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 关于解的讨论共振 由式(3.1-10)可见，在=1时，有 实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在=n处 ，而发生在 (3.1-12) (3.1-13) (3.1-14) 将式(3.1-10)对(或)进行微分，令结果等于零,即 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 关于解的讨论共振 据此，放大因子与振幅为（振幅最大时） (3.1-15) (3.1-16) 有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率 ，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共 振。 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 关于解的讨论相频频特性曲线 相位差与频率比的关系： 在1时，相位差，即 在高频范围内，响应与激励接 近于反相位。 在=1，即共振时，相位差 /2，这时与阻尼大小无关 ，这是共振时的一个重要特征 。图 3.1-3 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 关于解的讨论共振时的响应 再研究当激励频率与系统固有频率n相等(即共振 )时的响应情况。在方程(3.1-1)中，令c=0，=n，有 根据微分方程理论可知： 当=n时，微分方程(3.1-17)的 特解为 (3.1-17) (3.1-18) 这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限 地增大，如图3.1-4所示。 图 3.1-4 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1) 共振现象是工程中需要研究的重要课题，工程中通 常取0.751时，则MX/me 趋近于1，即 Xme/M，而不趋向 于零。 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 解：取铅垂坐标轴x与y，分别以物体 与支承静止时的平衡位置为原点，向 上为正。其运动微分方程为 或者改写成为 例3.1-3 作为承受简谐激励的另一个例子，是当支承产生 简谐运动的情况。在许多情况下，系统产生强迫振动是 由于支承的运动。如图3.1-8所示的系统，假定物体m只 能沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为， 求系统的响应。 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 设支承的位移y与振动系统中的质量m的强迫振动响应x 表示为 把上面的式子代入振动微分方程得 为了便于比较，把上式右端项改写为 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 代回整理得 这个方程对于任意时间t都应恒等于零，所以sin（t- ）和cos（t-）前面括号内的量都必须分别等于零， 有 因此 3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 以为横坐标，X/Y为纵坐标，可以作出不同阻尼系数情 况下的幅频