江苏专版高考数学复习三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质试题理.docx

第1讲三角函数的图象与性质高考定位高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数yAsin(x)的图象与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.真 题 感 悟 1.(2013江苏卷)函数y3sin的最小正周期为_.解析利用函数yAsin(x)的周期公式求解.函数y3sin的最小正周期为T.答案2.(2011江苏卷)函数f (x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f (0)_.解析因为由图象可知振幅A，所以周期T，解得2，将代入f (x)sin(2x)，解得一个符合的，从而ysin，f (0).答案3.(2014江苏卷)已知函数ycos x与ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_.解析根据题意，将x代入可得cossin，即sin，2k或2k(kZ).又0，)，.答案4.(2017全国卷)函数f (x)sin2xcos x的最大值是_.解析f (x)sin2xcos x，f (x)1cos2xcos x，令cos xt且t0，1，yt2t1，则当t时，f (x)取最大值1.答案1考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在(kZ)上单调递增；在(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)2.三角函数的常用结论(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得.(2)yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得.(3)yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换(1)ysin xysin(x) ysin(x)yAsin(x)(A0，0).(2)ysin x ysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0).热点一三角函数的图象【例1】 (1)(2017南京、盐城模拟)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，则_.(2)(2016苏、锡、常、镇调研)函数f (x)Asin (x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则f 的值为_.解析(1)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度后，得到y3sin的图象.由所得函数是偶函数，得2k，kZ，则，kZ.由0得k1，.(2)根据图象可知，A2，所以周期T，2.又函数过点，所以有sin1，而0，所以，则f (x)2sin，因此f 2sin1.答案(1)(2)1探究提高(1)对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.(2)已知图象求函数yAsin(A0，0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】 (2017连、徐、宿模拟)若函数f (x)2sin(2x)的图象过点(0，)，则函数f (x)在0，上的单调递减区间是_.解析由题意可得f (0)2sin ，即sin ，又00，在函数y2sin x与y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则_.(2)设函数f (x)Asin(x)(A，是常数，A0，0).若f (x)在区间上具有单调性，且f f f ，则f (x)的最小正周期为_.(3)(2017全国卷改编)设函数f (x)cos，给出下列结论：f (x)的一个周期为2；yf (x)的图象关于直线x对称；f (x)的一个零点为x；f (x)在上单调递减，其中错误的是_(填序号).解析(1)由得sin xcos x，tan x1，xk (kZ).0，x (kZ).设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1，x2，则|x2x1|.又结合图形知|y2y1|2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，(x2x1)2(y2y1)2(2)2，(2)212，.(2)由f (x)在上具有单调性，得，即T；因为f f ，所以f (x)的一条对称轴为x；又因为f f ，所以f (x)的一个对称中心的横坐标为.所以T，即T.(3)函数f (x)cos的图象可由ycos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f (x)在上先递减后递增，第个结论错误.答案(1)(2)(3)探究提高此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.命题角度2三角函数图象与性质的综合应用【例22】 (2017山东卷)设函数f (x)sinsin，其中03，已知f 0.(1)求；(2)将函数yf (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值.解(1)因为f (x)sinsin，所以f (x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f 0，所以k，kZ，故6k2，kZ.又03，所以2.(2)由(1)得f (x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.探究提高求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为yAsin(x)B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.【训练2】 已知函数f (x)cossin2xcos2x.(1)求函数f (x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)设函数g(x)f (x)2f (x)，求g(x)的值域.解(1)f (x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.则f (x)的最小正周期为，由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数图象的对称轴方程为x(kZ).(2)g(x)f (x)2f (x)sin2sin.当sin时，g(x)取得最小值，当sin1时，g(x)取得最大值2，所以g(x)的值域为1.已知函数yAsin(x)B(A0，0)的图象求解析式(1)A，B.(2)由函数的周期T求，.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比ysin x的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整体代入求解.(1)令xk(kZ)，可求得对称轴方程；(2)令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标；(3)将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号.3.函数yAsin(x)B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B(一角一函数)的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题 .一、填空题1.(2016山东卷改编)函数f (x)(sin xcos x)(cos xsin x)的最小正周期是_.解析f (x)2sin xcos x(cos2xsin2x)sin 2xcos 2x2sin，T.答案2.(2015浙江卷)函数f (x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_.解析f (x)sin 2x1sin，T，由2k2x2k，kZ，解得：kxk，kZ，单调递减区间是，kZ.答案(kZ)3.(2016北京卷改编)将函数ysin图象上的点P向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin 2x的图象上，则t_，s的最小值为_.解析点P在函数ysin图象上，则tsinsin.又由题意得ysinsin 2x，故sk，kZ，所以s的最小值为.答案4.函数f (x)Asin(x)的部分图象如图所示，则将yf (x)的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为_.解析由图象知A1，T，T，2，由sin1，|得f (x)sin，则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为ysinsin.答案ysin5.(2017泰州调研)已知函数f (x)2sin(0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x)在1，1上的单调递增区间为_.解析因为函数f (x)的最大值为2，所以最小正周期T2，解得，所以f (x)2sin，当2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ时，函数f (x)单调递增，所以函数f (x)在x1，1上的单调递增区间是.答案6.(2017苏州模拟)已知函数f (x)sin(x)(0，0)的图象关于直线x对称，且f 0，则取最小值时，的值为_.解析由，解得2，故的最小值为2.此时sin0，即sin0，又0，所以.答案7.(2017苏中四校联考)将函数f (x)2sin的图象至少向右平移_个单位长度，所得图象恰好关于坐标原点对称.解析将函数f (x)2sin的图象向右平移(0)个单位长度，得到y2sin是奇函数，则2k，kZ，即，kZ，当k0时，取得最小正数.答案8.已知0，函数f (x)sin在上单调递减，则的取值范围是_.解析由2kx2k，kZ且0，得x，kZ.取k0，得x，又f (x)在上单调递减，且，解之得.答案二、解答题9.(2017浙江卷)已知函数f (x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f 的值；(2)求f (x)的最小正周期及单调递增区间.解(1)f (x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，则f 2sin2.(2)f (x)的最小正周期为.由正弦函数的性质，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数f (x)的单调递增区间为，kZ.10.(2017南通调考)已知函数f (x)4sin3xcos x2sin xcos xcos 4x.(1)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f (x)在区间上的最大值和最小值.解f (x)2sin xcos xcos 4xsin 2xcos 2xcos 4xsin 4xcos 4xsin.(1)函数f (x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.所以f (x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为0x，所以4x.此时sin1，所以sin，即f (x).所以f (x)在区间上的最大值和最小值分别为，.11.设函数f (x)sinsin2xcos2x.(1)求f (x)的最小正周期及其图