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蔡高厅高等数学同步讲义第1课 前言一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程第一章 函数第一节 函数的概念一、区间、邻域第2课 第一节 函数的概念二 函数的概念三 函数的几个简单性质1 函数的有界性第3课 三、函数的几个简单性质1、函数的有界性2、函数的单调性3、函数的奇偶性4、函数的周期性四、复合函数、反函数1、复合函数第4课 复合函数例题2、反函数2.初等函数一、基本初等函数二、初等函数第5课三、双曲函数第二章、极限 13：501.数列的极限一、数列极限的定义第6课 (接上节)数列极限的定义、例题二、收敛数列的两个性质1、定理一（唯一性）第7课 例题2、定理二（有界性）2、函数的极限一、自变量x趋于一个定值x0的f(x)的极限（只是谈及）第8课（接一讲：自变量x趋于一个定值x0的f(x)的极限）分析，定义，几何意义，例题第9课 左极限和右极限的定义，极限存在的条件二、自变量x趋于无穷大的函数f(x)的极限三、无穷小量和无穷大量1、无穷小量2、无穷大量第10课 第二章 极限第二节 函数的极限三、无穷小量与无穷大量注意2点例题2、无穷大3、无穷小与无穷大的关系四、海涅定理例题第11课 第三节 函数极限的性质和极限的运算 （本章重点）一、极限值与函数值的关系1、极限值的唯一性2、极限值与函数值的同号性3、有界性第12课 二、极限与无穷小的关系 f(x)=A+a(x)三、无穷小的性质1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小2.有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小推论：常数与无穷小的乘积仍是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小3.无穷小与有界函数的商仍是无穷小第13课 四、极限的四则运算、limf(x)+limg(x)=A+B、limf(x)g(x)=AB、limf(x)g(x)=AB、f(x)(x),AB第14课 例题第四节 极限存在准则，两个重要极限 16:00一、准则1 夹挤准则例1第15课 例2 重要极限之一二、准则2 单调有界准则 25：30例1 重要极限之二第16课 例题第五节 无穷小量的比较 39：00第17课第五节 无穷小量的比较例题等价无穷小代换定理注意：加减不可替换，乘除可替换第六节 连续函数 34：00一、函数连续性的定义第18课 一、函数连续性的定义 左连续，右连续二、函数的间断点 24：30第19课 三、初等函数的连续性1、连续函数的和、积、商的连续性2、反函数与复合函数的连续性1) 反函数的连续性：单调且连续2）复合函数的极限第20课 2、反函数与复合函数的连续性3）复合函数的连续性3、初等函数的连续性 13:30 初等函数在定义域内连续。第21课 四、连续函数在闭区间上的性质1、最大、最小值定理 06:062、有界性定理3、零值点定理4、介值定理fenderdj写道：问下 零值定理为什么要求是闭区间要f(a),f(b)存在且异号，方便描述。若是开区间，就要说明f(x)在a的右极限和b的左极限存在且异号。第22课 第3章、导数与微分第一节导数概念一、两个实例二、导数定义第23课 三、导数的几何意义 11:48（求曲线上某点的切线方程和法线方程）四、函数的可导性与连续性关系 32:49第24课 证明可导与连续性关系的逆命题不成立五、几个基本初等函数的导数公式 14:451、常数2、幂函数3、正弦、余弦函数4、对数函数第25课 第二节函数的微分法一、函数的和、差、积、商的求导法则（只讲到和、差、积）第26课 续上（函数商的求导法则）推导出tanx,cotx,secx,cscx的导数公式二、反函数的导数 23:30推导出反三角函数的导数公式arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx,第27课 求指数函数的导数三、复合函数的导数 5:33复合函数的求导法则第28课 例题四、高阶导数(7)多做练习第29课 第三节、隐函数、参量函数的导数一、隐函数的导数 隐函数的求导，包括幂指函数的求导第30课 取对数微分法 例2二、参量函数的导数 05:10三、*极坐标系下曲线的切线的斜率(38)第31课 例1：求心形线.某一点处切线的斜率四、相关变化率(550)两个例子第四节、函数的微分(24)一、微分的概念第32课 二、可微与可导的关系（互为充要条件）微分的几何意义三、微分公式1、基本初等函数的微分公式2、函数的和、差、积、商的微分公式四、复合函数的微分公式微分形式不变性第33课 第四章、微分中值定理 导数的应用第一节、微分中值定理一、Rolle定理(罗尔定理) 6二、Lagrange定理(拉格朗日定理)分析第34课Lagrange定理的证明利用它做证明题。第35课 三、Cauchy定理(柯西定理)四、Taylor定理(泰勒定理)(2330)其证明(未证完)第36课 Taylor定理继续证明f(x)的n阶Maclaurin公式麦克劳林公式Peano型余项第37课 第二节、罗必塔法则一、0/0型不定式法则I推论I第38课 二、8/8型(7)法则II(不证，超出范围)推论II三、其它类型未定式(2430)0.8型、8-8型、00型,18型,80型解决方法：化为0/0或8/8型第39课 第三节、函数的增减性与极值1、函数单调增、减的必要条件2、函数单调增、减的充分条件第40课 例2、3二、函数的极值、及求法(21)一、函数单调增、减的必要充分条件2、函数单调增、减的充分条件二、函数的极值及求法1、极值的必要条件第41课 极值存在的充分条件第一充分条件第二充分条件(37)第42课 例3第四节、函数的最大、小值(11)例（未完）第43课 例（续）利用函数的最值可以证明不等式例3第五节、函数的凹凸性、拐点函数的凹凸性的定义函数的凹凸性的判别第44课判定拐点的方法第六节、函数图形的描绘 （42）第45课一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘(34)第46课例子：作图(续)第七节、曲率(1430)一、弧的微分光滑曲线有向光滑曲线弧长的度量一、弧微分第47课二、曲率及其计算公式(3)直线的曲率为0圆的曲率为1/R第48课例1例2第五章、不定积分(21)第一节、不定积分概念 25一、原函数与不定积分第49课 二、不定积分的几何意义(9)三、不定积分性质四、不定积分的基本公式基本积分表第50课几个例子第二节、换元积分法(20)一、第一换元法第51课 第一换元积分法的几个例子第52课 二、第二换元法(0)第53课第二换元法的例子（5）第三节、分部积分法(42)第54课 分部积分法的证明分部积分法的几个例子第55课 第四节、几类函数的积分法一、有理函数的积分第56课 部分分式(和)的积分第57课 二、三角函数有理式的积分举例三、两种无理函数的积分第一类第58课 第二类第六章、定积分(16)第一节、定积分概念一、实例1、曲边梯形的面积分割作积求和取极限第59课估计是二、定积分的定义上册59讲asf音频：/f/5886928.html第60课 三、定积分的几何意义例1、利用定积分的几何意义来求定积分值例2、应用定积分的定义来求定积分值第二节、定积分性质、定积分中值定理一、定积分性质(24)1、2、3、第61课 定积分性质456二、定积分中值定理（38）1、定积分第一中值定理第62课 1、定积分第一中值定理2、定积分第二中值定理第三节、定积分与原函数的关系(35)一、变上限的定积分第63课 (继)二、牛顿莱布尼兹公式(Newton-Leibniz)第64课举例第四节、定积分计算法(32)一、定积分的换元积分法第65课证明(定积分的换元积分法)举例第66课 例二、定积分的分部积分法(13)第67课第六节、广义积分、T-函数（咖玛函数）(0)一、无穷限的广义积分(440)二、无界函数的广义积分(41)第68课 三、T函数(咖玛函数)(2120)第69课 第七节、定积分在几何上的应用(6)一、定积分元素法二、平面图形面积(29)1、直角坐标情形第70课 例子2、极坐标的情况(15)三、求立体的体积(34)1、平行截面面积为已知的立体的体积第71课 例子2、旋转体的体积(12)第72课 四、平面曲线的弧长1、直角坐标的情形2、极坐标的情形(25)第73课 五、旋转体的侧面积第八节、定积分在物理上的应用(30)一、变力做功第74课 例子电荷做功抽水做功弹簧弹性力做功(19)二、引力(35)例第75课 续例三、液体的侧力(2920)推出公式第76课例子四、函数值的平均值(22)算术平均值例子(3733)=定积分全部结束=第77课 第七章、空间解析几何矢量代数1.空间直角坐标系一、空间点的直角坐标第78课 二、空间中两点间的距离例1例22.矢量代数(24)一、矢量概念二、矢量运算1.矢量加法第79课2.矢量减法(10)3.矢量与数的乘法第80课 三、矢量的坐标表达法1.矢量在轴上的投影(6) 投影定理（32）第81课 2.矢量的坐标表达式第82课 3.矢量的模和方向余弦(9)四、二阶及三阶行列式基本知识(30)1.二阶行列式2.三阶行列式第83课 五、数量积，矢量积(19)1.两矢量的数量积第84课 2.两个矢量的矢量积(15)第85课 例1例2(35)例3第86课 3.平面及其方程一、曲面方程的概念例1例2例3二、平面的点法式方程(26)例1例2第87课 例3三、平面的一般式方程四、平面的截距式方程(4420)第88课五、两平面夹角(230)例1六、平面外一点到平面的距离4.空间直线及其方程一、空间曲线及其方程第89课二、直线的对称式和参量式方程例1三、直线的一般式方程例2四、直线的相互关系五、直线与平面的夹角第90课 例3例4习题：7-4 1,3,4,5,6,7,8,11,135.曲面与方程一、柱面(36)例1第91课 二、旋转曲面例1例2习题：7-5 1,3,4,6,8第92课 6.二次曲面一、椭球面二、抛曲面第93课 三、双曲面(12)1.单叶双曲面2.双叶双曲面例1习题：7-6 1,2,3第94课7.空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程例1例2二、空间曲线的参量方程例3第95课 三、空间曲线在坐标面上的投影曲线例1例2例3=高数上册完=第96课 第8章、多元函数微积分1.多元函数概念一、平面点集的基本知识1.邻域2.区域3.聚点第97课 4.n维空间(5)二、多元函数的概念例1例2第98课 二元函数的几何意义例1例2习题：8-1 1,2,4,7,8(1)(4)(6)三、二元函数的极限第99课 例1二元函数极限的四则运算(15)例2例3四、二元函数的连续性第100课 在有界闭区域上连续的多元函数性质1.最大、最小值存在性定理2.介值定理2.偏导数一、偏导数概念(25)第101课例1例2例3例4二元函数偏导数的几何意义二、高阶偏导数(42)第102课 例5例6习题：8-2 1(1)(4)(5)(8)(9),2(4)(5)(7),9,11,12,13,153.全微分一、全微分概念(28)第103课 例全微分定义定理1 可微的必要条件（38） 可微-偏导存在 习题：8-3 1(1)(5)(7)(9)(10)第104课 二、可微的充要条件例1定理2 可微的充分条件(26)证明第105课 （续证）例1总结4.多元复合函数微分法一、多元复合函数微分法(21)定理证明第106课 复合函数结构示意图例1例2例3例4例5第107课 一、多元复合函数微分法（续）二、全微分形式不变性(415)三、多元复合函数的高阶偏导数（本节核心、重点内容）例1例2(40)习题：8-4 17,18,19,20,22,23第108课 例35.隐函数的微分法(21)隐函数：（定义）一、一个方程所确定的隐函数隐函数存在定理1例1第109课 一、一个方程所确定的隐函数（续）例2隐函数存在定理2 (1540)例1(30)例2(40)第110课二、方程组所确定的隐函数隐函数存在定理3例1(22)例2(3430)习题：8-4 17,18,19,20,22,238-5 1,2,3,6,7,8,9,10,14,15,18,20,21第111课 6.方向导数，梯度一、方向导数定理证例1第112课 二、梯度梯度定义例1例2(32)7.偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线和法平面(43)第113课 （续前节）例1例2(2230)习题：8-6 2,3,4,5,7,98-7 2,3,4,6,8二、曲面的切平面和法线(35)证明第114课 结论定义切平面曲面的法线法线的方程例1例2第115课 例3(1)证明：8.多元函数的极值和求法(15)一、二元函数的极值和求法二元函数极值定义1、极值存在的必要条件2、极值存在的充分条件(39)第116课 求二元函数极值的步骤例1(8)二、求二元函数的最大值、最小值(19)例2(26)习题：8-7 11,13,14,18,20,22,23第117课 8.多元函数的极值和求法(续)例三、条件极值(2230)-Lagrange系数法解决条件极值的方法，有两种：第118课 解决条件极值的方法（续）例1(20)习题：8-8 1(2)(4),2,4,5,9,10,15,16,18第9章、重积分(37)1、二重积分的概念、性质一、实例1、曲顶柱体体积第119课 1.二重积分的概念、性质（续）2、平面薄板质量二、二重积分定义(29)第120课 三、二重积分性质(340)1、2、3、4、5、估值定理（介值定理）(14)6、中值定理2.二重积分的计算(22) - 化为两次单积分的计算一、在直角坐标系下第121课 （续）计算二重积分步骤例1例2第122课 （续）例3例4例5(36)习题：9-1 2(1)(4),3(2)(3)9-2 1(3)(4)(5),2(2)(3),3(1)(3)(4)(6)(8)(9),4(3)(4)第123课二、在极坐标下1、二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式2、极坐标下的累次积分(34)第124课 例1(4)例2例3(2518)例4(40)习题：9-2 5(1)(2)(4),6(2)(3),7(1)(2)(3)(5)(7)第125课 例5(220)3.三重积分(2030)一、三重积分定义二、三重积分性质(3830)1、2、3、第126课 4、(430)5、6、例14.三重积分的计算(21)一、直角坐标系下(23)第127课例1例2例3 (36)习题9-4 1（1）(2)(4) 2(1)(2)(3)(4)第128课 二、在柱面坐标系下例1 (2711)例2第129课 续例2三、球面坐标系下例1 42习题：9-4 3(1)(2)(3)(5)第130课 在球面坐标系下，三重积分化为三次积分例1 4例2 20习题： 9-4 4(1)(2)(3)(5) 5(3)(5)第131课 第五节 重积分的应用一、重积分在几何上的应用1、封闭曲面所围立体的体积例1例22、曲面的面积(3431)第132课 例1 0414例2 1308二、重积分在物理上的应用(29)1、物体的质量2、物体的重心(35)习题9-5 1(1)(2)(3) 2(1)(2)(5)第133课 （2010.8.7）1平面薄板的重心2空间立体的重心例1 2826第134课 续例1例2 3203物体的转动惯量 25第135课 例1例2 17习题9-5 6,7,8,10,12,14第十章 曲线积分与曲面积分(27)例1第一节 第一类曲线积分第136课一、第一类曲线积分的概念和性质二、第一类曲线积分的计算(13)1、设空间曲线L由参量方程给出证明第137课例1例2 830例3 1850习题10-1 2,3,5,7,10,11,15第二节 第二类曲线积分 2450一、矢量场的概念矢量场、曲线方向的规定二、第二类曲线积分概念、性质（4330）例第138课 概念 1956性质1，2，3第139课 三、第二类曲线积分的计算 930第140课例1例2 1130例3 2824第141课 四、两类曲线积分的关系两类曲线积分可以互相转化第三节 格林（Green）公式(19)一、格林公式证明(36)第142课 证明 续例1(37)第143课例2例3(21)二、平面曲线积分与路径无关的条件(44)第144课证明第145课证明 续注意 (20)例1 (28)第146课例2例3(30)第四节 第一类曲面积分(41)一、第一类曲面积分的概念、性质第147课 性质1、2、3二、第一类曲面积分计算（本节重点问题）(20)例1 (38)第148课例2第五节 第二类曲面积分(21)（和曲面的方向有关）一、有向曲面的概念第149课 二、第二类曲面积分的定义两类曲面积分的关系(38)第150课三、第二类曲面积分计算法例1 (28)第151课例2第六节 高斯公式 曲面积分与曲面积分无关的条件(33)一、高斯公式第152课 证明例1 (20)例2 (29)第153课 二、曲面积分与路径无关的条件 （不考）定理：证明（略）第七节 斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关的条件一、斯托克斯公式(9)证明（略）例1 (21)二、空间曲线积分与路径无关的条件(40)（不考）第154课第11章 级数第一节 常数项级数一、级数基本概念级数、级数的部分和、级数收敛例1、讨论几何级数的敛散性 (21)例2、(32)例3、(3539)二、级数的基本性质(40)性质1、推论第155课 性质2、性质3、性质4、性质5(一个必要条件，可用来证发散)第156课 三、正项级数敛散性判别法正项级数：定义、收敛的充要条件1、比较判别法 (11)例1 讨论P级数的敛散性例2 根号里有平方第157课 例3 例4定理：比较判别法的极限形式例1例2例3第158课 2、比值判别法例1、例2、例3 很不错，是比值与比较两个判别法的综合第159课 3、根值判别法例1 (14)例2 (17)4、积分判别法(20)例1 例2小结 (38)四、任意项级数敛散性的判别法 (42)1、交错级数第160课萊布尼茲定理例1 (21)2、绝对收敛，条件收敛第161课例13、绝对收敛级数的两个性质 (23)第二节 幂级数 (31)函数项级数基本概念函数项级数收敛域，发散域第162课 一、幂级数及其收敛域阿贝尔定理 收敛域第163课收敛半径的求法定理例1 (22)例2 (30)例3 (32)例4 (35) 缺项则用比值判别法第164课 例题5二、幂级数的性质 (10)四则运算性质分析运算性质例1 (34)例2 (42)第165课 第三节 函数的幂级数展开一、泰勒级数 泰勒展开式（幂级数展开式）定理1 n阶导数存在是展开为幂级数的必要条件定理2 余项极限为0是幂级数展开的充要条件 (31)第166课 二、函数展开为幂级数1、直接展开法例1 (10)例2 (23)2、间接展开法 (35)（1）逐项求导法例1 （2）逐项积分法 (40)例2第167课（3）变量代换法 (6)例3例4（4）四则运算法例5 (17)（5）求和函数法例6 (29)第168课 例6 续三、求幂级数的和函数 (1034) 记住几个重要的基本和函数例1 (17)例2例3求数项级数的和例4第169课 四、欧拉公式五、幂级数在近似计算上的应用第170课 第五节 付里叶级数 (35)一、三角函数系的正交性 (41)第171课二、傅立叶级数 (16)Dirichlet定理 (39) - 收敛条件例1 (43)第172课 例1 续例2 (28)第173课 三、正弦级数、余弦级数1、奇、偶函数的傅立叶级数证明例1 (22)例2 (28)2、把函数展开成正弦级数或余弦级数 (41)第174课例1 (630)四、以2l为周期的周期函数的傅立叶级数 (13)第175课 第12章 微分方程第一节 微分方程基本概念例1 (6)例2 (10)第176课 第二节 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程 (38)第177课可化为齐次的方程 (20)三、一阶线性方程 (33)第178课 例1例2四、伯努利方程 (14)五、全微分方程 (27)第179课 1、用曲线积分法2、用不定积分法例1 (19)六、一阶微分方程应用举例 (29)例1 （冷却问题）例2 （44）第180课 例2 续（1）瞬态法（2）微量法第181课 第三节 可降阶的高阶方程一、yn=f(x)型的方程二、y=f(x,y)型的方程三、y=f(y,y)型的方程第182课 第四节 线性微分方程解的结构一、线性齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构定理 (37)第183课 定理3第五节 常系数线性微分方程 (12)一、常系数线性齐次方程 (16)第184课 例题1、2、3 （三种情况一样一个）、4（多重）二、常系数线性非齐次方程 (35)第185课求解两种情况例1 (34)第186课 例2、3、4第二种情况 (含有sin cos的情形) (30)例1 (36)第187课 例2、3小结 (34)第188课三、常系数线性微分方程应用举例 (21)第189课 四、欧拉方程 (1430) 前言名称：高等数学总学时：196学时，6学时/周 教学过程一学年内容：一元、多元函数的微分学和积分学，矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程目的：掌握高等数学的基本知识，基本理论基本计算方法，提高数学修养 培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力，辩证的思想方法 培养学生的空间想象能力 培养学生分析问题和解决问题的能力 为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础第一章函数第一节函数的概念一区间、邻域自然数集-N，整数集-Z，有理数集-Q，实数集-R建立数轴后 建立：某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设a,b,ab,则称实数集，x|axb称为一个开区间记为（a,b）即(a,b)=x|ax0）则称实数集x|a-x0-邻域N（a，）的半径第二课去心邻域：把N 的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N = =N 二、函数概念例1设圆的半径为x ，它的面积A= 当x在 内任取一个数值（ ）由关系式A= ，就可以确定一个A的值，面积的对应数值例2设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形。每一边对应的圆心角 周长 (正内接n边形的边数为n，正内接n边形的周长为Sn)当边数n在自然数集N( )任取一个数，通过关系式 就有一个Sn对应确定数值。函数定义，设有数集X,Y,f是一个确定对应法则 ，通过对应法则f都有唯一一个 与x对应，记为 ，或f（x）=y，则称f为定义在x上的函数，其中X称f的定义域，常记为 x-自变量，y-因变量当x遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集 称Vf为函数的值域。注意：（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围x所确定的，把“对应法则f”，“定义域”称为函数定义的两个要素。（2）函数的值域是定义域和对应法则而确定（3）确定函数定义域时，注意 函数有实际意义，依据实际问题是否有意义来确定 如果函数不表示某实际问题，自变量所能取得的使函数y=f（x）成立的一切实数所成的数值函数的几何意义设有函数y=f（x），定义域为Df。 对应函数值y=f（x）在xoy面上得点（x，y），当x遍取一切实数时，就得到点集P 点集P称为函数y=f（x）的图形三、函数的几个简单性质1.函数的有界性若 ，s.t.| , 则称y=f(x)在区间I上有界例如：y=sinx 在I= 上有界 在 上有界否则，称f（x）在区间I上无界，即对任何任何证书M0（无论变多大），总 则称f（x）在I上无界例如：y= 在（0,1）内无界，证，对给定的M,(不妨设M1)(无论多大)必存在 使 =2MM三，函数的几个简单性质1.函数的有界性函数的上界，下界：若 （不局限于正数）s.t. ，称函数f(x)在区间I上有上界，任何一个数NM,N也是f(x)的一个上界。若 ，s.t. 称f(x)在区间I上有下界，Q0S.t. 因此f(x)有下界-M,也有上界M 设f(x)在区间I上既有下界m，也有上界N即 如果m=N=0 f(x)在I上有界如果m，N不同时为零，取M=max|m|N|0 即 在区间I上是有界的2.函数的单调性若f(x)在