2013届高三数学二轮复习课件专题7第2讲推理与证明.ppt

1能利用归纳 和类比等进行简单 的推理 ，了解合情推理在数学发现 中的作用 2掌握演绎推理的基本模式，并能运用 它们进 行一些简单 推理 3了解直接证明的两种基本方法：分析 法和综合法了解间接证明的一种基本方 法：反证法 推理证明是数学的基本思维过 程，也是人 们学习和生活中经常使用的思维方法， 从内容编排上看，推理和证明是新课标 的新增内容，但从知识结 构上看，这些内 容渗透于其它数学知识中，几乎涉及数学 的方方面面 在历年的高考中，推理与证明有举足轻 重的地位、选择题 、填空题，解答题均 有体现，考查方式主要是(1)给定命题的 证明问题 ，证明方法高考中不单独命题 ，而是将其融合在诸如立体几何，解析几 何、函数、数列、不等式等内容中加以考 查(2)类比型问题 (3)归纳 、猜想、证 明问题 (文科学生对数学归纳 法不作要求) 1合情推理 当前提为真时，结论 可能为真的推理叫 合情推理归纳 推理和类比推理是数学中 常用的合情推理 (1)归纳 推理 根据一类事物的部分对象具有的某种性质 ，推出这类 事物的所有对象都具有这样 性质的推理，叫做归纳 推理(简称归纳 ) 简言之，归纳 是由特殊到一般的推理 (2)类比推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或 一致)性，推测其中一类事物具有与另一 类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类 比推理(简称类比)简言之，类比推理是 由特殊到特殊的推理 2演绎推理 (1)演绎推理的定义 根据一般性的真命题(或逻辑规则 )导出特 殊性命题为 真的推理叫做演绎推理简 言之，演绎推理是由一般性命题到特殊性 命题的推理 (2)演绎推理的特点 当前提为真时，结论 必然为真 (3)演绎推理的一般模式“三段论” 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论 根据一般原理，对特殊情况做 出的判断 3直接证明 (1)直接证明 从命题的条件或结论 出发，根据已知的 定义、公理、定理，直接推证结论 的真 实性的证明称为直接证明综合法和分 析法是直接证明中最基本的两种方法，也 是解决数学问题时 常用的思维方法 (2)综合法 从已知条件和某些数学定义、公理、定理 等出发，经过 逐步的推理论证 ，最后达 到待证的结论 ，这种证明方法叫综合法 也叫顺推证法或由因导果法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等，Q表示所要证明的结论 ，则综 合 法可用框图表示为： (3)分析法 从要证明的结论 出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为 判定一个明显成立的条件(已知 的条件、定理、定义、公理等)为止这 种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执 果索因法 用Q表示要证明的结论 ，则分析法可用框 图表示为： 4间接证明 (1)反证法的定义 一般地，由证明pq转向证明：綈 qrt，t与假设矛盾，或与某个真 命题矛盾从而判断綈q为假，推出q为 真的方法，叫做反证法 (2)反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下 得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛 盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定 理、公式或已被证明了的结论 ，或与公 认的简单 事实等矛盾 5数学归纳 法(理) 一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取 第一值n0时命题成立；(2)在假设当n k(kN，且kn0)时命题成立的前提下， 推出当nk1时题 命题也成立，那么可 以断定，这个命题对 n取第一个值后面的 所有正整数成立 例1 (2009湖北)古希腊人常用小石子在 沙滩上摆成各种形状来研究数比如： 他们研究过图 (1)中的1,3,6,10，由于 这些数能够表示成三角形，将其称为三角 形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16， 这样 的数为正方形数下列数中既是三角 形数又是正方形数的是( ) A289 B1024 C1225 D1378 答案 C 评析 (1)归纳 推理分为完全归纳 和不完 全归纳 ，由归纳 推理所得的结论虽 然未 必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体 到抽象的认识 功能，对科学的发现 是十 分有用的观察、实验 ，对有限的资料 作归纳 整理，提出带有规律性的说法， 乃是科学研究的最基本的方法之一 (2)在本例中，由归纳 出三角形数所具 有的特点，由归纳 出正方形数具有的规 律，只需代入验证 即可 根据以上事实，由归纳 推理可得： 当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x) _. 分析 “观察、类比”是解决本题的基本 思路，由于直线OE、OF在图形上的“对 称性”在其方程上也必然有某种“对称性”， 观察直线OE的方程和题目中给出的直线 OF的部分信息，它们的共性是y的系数一 样，那就只有x的系数具备“对称性”，这 样就可大胆、合理地进行解答了 例3 已知数列an中，a11，a22， 且an1(1q)anqan1(n2，q0) (1)设bnan1an(nN*)，证明数列bn 是等比数列； (2)求数列an的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值， 并证明：对任意的nN*，an是an3与an 6的等差中项 分析 解答本题第(1)问可根据bnan1 an(nN*)将已知等式变形构造出bn与bn 1的关系式第(2)问可用叠加法求an，第 (3)问先由a3是a6与a9的等差中项求出q， 并利用an的通项公式和q的值，推证an an3an6an(nN*) 解析 (1)证明：由题设an1(1q)an qan1(n2)，得 an1anq(anan1)，即bnqbn 1(n2) 又b1a2a11，q0，所以数列bn是 首项为1，公比为q的等比数列 评析 综合法与分析法是直接证明中的 姊妹证明方法，通过情况下，运用分析法 ，由果寻因，找到一个正确的结论 或已知 条件，然后运用综合法正确推理书写，不 管是何种方法，都要以事实为 基本推理依 据. (2011北京理，20)若数列An：a1，a2， ，an(n2)满足|ak1ak|1(k1,2， ，n1)，则称An为E数列记S(An)a1 a2an. (1)写出一个满足a1a50，且S(A5)0的 E数列A5； (2)若a112，n2000，证明：E数列An 是递增数列的充要条件是an2011. 解析 (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数 列A5. (答案不唯一.0,1,0,1,0也是一个满足条件 的E数列A5) (2)必要性：因为E数列An是递增数列， 所以ak1ak1(k1,2，1999) 所以An是首项为12，公差为1的等差数列 所以a200012(20001)12011. 充分性：由于a2000a19991， a1999a19981， a2a11， 所以a2000a11999，即a2000a11999. 又因为a112，a20002011， 所以a2000a11999. 故ak1ak10(k1,2，1999)，即 An是递增数列 综上，结论得证. 分析 (1)先求公差d，再求an与Sn. (2)用反证法证明 评析 有些命题和不等式，从正面证如 果不好证，可以考虑反证法凡是含有“ 至少”“唯一”或含有其它否定词的命题，适 宜用反证法即“正难则 反” 反证法属于间接证法，其步骤是“三步曲” ： (1)假设：作出与命题结论 相反的假设； (2)归谬 ：在假设的基础上，经过 合理的 推理，导出矛盾的结果； (3)结论 ：肯定原命题的正确性 分析 根据反证法的步骤作出证明 例5 (2010江苏，23)已知ABC的三 边长 都为有理数 (1)求证：cosA是有理数； (2)对任意正整数n，求证cosnA是有理数 假设当nk(k1)时，coskA和 cosAsinkA都是有理数 当nk1时，由 cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA， sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskA cosAsinkA)(sinAsinA)coskA (sinAsinkA)cosA， 由和归纳假设，知cos(k1)A与 sinAsin(k1)A都是有理数 即当nk1时，结论成立 综合、可知，对任意正整数n，cosnA 是有理数 评析 数学归纳 法为那些变形、转化较 为困难的问题 提供了一种可供推理解决 的方法用数学归纳 法证明不等式时， 在把nk的不等式经为 nk1的不等式 成立的命题时 ，比较法、综合法、分析 法、放缩法等不等式证明的方法仍然是常 用的；用数学归纳 法证明整除性问题 和 几何问题时 ，要注意寻找当元素n增加1 时，代数式或几何元素是如何增加的，做 到有目标地变形 解析 易知fn(x)x2(3ann2)x 3n2an(x3an)(xn2) 令fn(x)0，得x3an，xn2. 若3an0，fn(x)单调递增； 当3an0，fn(x)单调递增 故fn(x)在xn2取得极小值 若3ann2，仿可得，fn(x)在x3an取 得极小值 若3ann2，则fn(x)0，fn(x)无极值 当a0时，a10，则3a132，由知，a43a334. 因3a43642，由知，a53a4324. 由此猜想：当n3时，an43n3. 下面先用