2010年湖北黄冈中学高三数学《专题十六开放性与探究性问题》.ppt

2010年湖北黄冈中学 第一课时：范围与轨迹的探究： 课前导引 第一课时：范围与轨迹的探究： 课前导引 第一课时：范围与轨迹的探究： 课前导引 B 第一课时：范围与轨迹的探究： 解析 解析 答案 D 考点搜索 考点搜索 1. 探索点的位置及参量的取值范围往 往是综合已知条件和所学知识点，根据转 化或数形结合的思想进行探索，直到结论 显然为止. 2. 在解决数列和恒成立的问题时，要 根据特殊和一般的辩证思想，从特殊的个 体总结出一般的规律，对普遍的规律任何 个体都会满足. 链接高考 链接高考 例1 链接高考 法一 例1 法二 点评 从特殊的个体考察普遍的规律是 高中阶段必须掌握的思维方式, 本题先令x=0 和x=1得到sin 0, cos 0, 大大的缩小了的 考察范围, 为后面的解答提供的很大的方便. 而解法二通过换元, 使得式子更为规范. 例2 解析 P1 P2 P3 y x l1 l2 y x l1 l2 d y x l1 l2 d y x l1 l2 y x l1 l2 d y x l1 l2 y x l1 l2 d y x l1 l2 例3 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的 点，且BECF (1) 当E、F在何位置 时，B1FD1E； (2) 当E、F在何位置 时三棱锥C1CEF的体积 取得最大值，并求此时二 面角C1EFC的大小 解析 点评 立体几何中的点的位置的探求 经常借助于空间向量，引入参数，综合已 知和结论列出等式，解出参数. 这是立体 几何中的点的位置的探求的常用方法. 例4 解析 点评 本题是数列探究性问题，往 往通过特殊的个体总结出一般的规律： (1) 要否定一个结论，只要通过前面几 项即可；(2) 的证明必须对每一项都要 满足，所以要对第一项进行检验. 方法论坛 方法论坛 解决任何一个数学问题都是综合题 中的条件和结论运用适当的思维方式进 行探究，相对其他的问题更注重思维性, 主要有以下的思维方式： 1. 将题中的已知和结论都看作条件, 有机地结合，推导出要证的结论或求出 参量的范围. 2. 利用特殊和一般，个体和总体的 辩证关系，通过个体来发现普遍的规律, 再运用数学归纳法加以证明，或根据普 遍的规律代入个体中，从而加强题目的 条件，这样便于尽快解决问题. 3. 对于存在性问题的求解，应先假 设存在，再综合题中所给的条件，要么 推出存在的范围，要么得出矛盾. 若得出 矛盾则说明不存在. 4. 条件或结论开放性问题，应发散 自己的思维，结合所学的知识点进行分 析，从而可寻找出所要补的条件和能得 出的结论. 第二课时：存在性问题的探究： 例1 第二课时：存在性问题的探究： 解析 第(2)的探索体现了存在性问题的探索 的基本方法，若存在则能够由条件推出，若不 存在则会推出矛盾; 第(3)是函数中的不等式问 题，往往会用到函数的单调性. 点评 考点搜索 1. 开放性问题的背景是同一个条件可 推出很多个结论，或同一个结论可与有多 个条件推出，所以解决这类问题时要发散 自己的思维; 2. 存在性问题是结论开放性的一种， 解决存在性问题往往假设存在，再综合题 中所给的条件，要么推出存在的范围，要 么得出矛盾. 若得出矛盾则说明不存在. 考点搜索 D1 A B C D A1B1 C1 N P M 例2 D1 A B C D A1B1 C1N P M y x Q 解析 D1 A B C D A1B1 C1N P M y x Q D1 A B C D A1B1 C1N P M y x Q 本题是立体几何的位置确定的探 索性问题： (1) 一般是已知P点的位置，求二面 角，但在此已知二面角来确定P的位置， 可运用方程求解待定参数. (2) 运用了：“要否定一个结论只需 寻找一个反例即可”的思维方式. 点评 已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上 的三点, 点A是长轴的一个端点, BC过椭圆中 心O，且 (1) 建立适当的坐标系，求椭圆方程 (2) 如果椭圆上有P、Q两点,使PCQ的平分线 垂直AO, 证明: 存在实数使得 例3 以O为坐标原点, OA为x轴建立直角 坐标系, 则A(2, 0), 设椭圆方程为 由对称性可知|OB|=|OC|, 又|BC|=2|AC|, 则 |OC|=|AC|, 所以AOC为等腰直角三角形,则点 C的坐标为(1, 1), 点B的坐标为(-1, -1), 将点C的 坐标代人椭圆方程得 故所求的椭圆方程为 解析 法一 (2) 由于PCQ的角平分线垂直于 OA, 不妨设PC的斜率为k, 则QC的斜率为k, 因此PC、QC的直线方程分别为: () 因为点C(1, 1)在椭圆上, 所以x=1是方程 ()的解. 所以直线PQ的斜率为 因为A(2, 0), B(-1, -1), 所以 法二 由上述四式可得： 点评 (1) 的探究在知道是椭圆的情 况下运用了待定系数法, 注意先要建立适 当的坐标系. (2) 属于存在性问题的探究, 先转化 结论,只需要证明直线PQ与AB平行, 证法 一: 以PC的斜率为参数, 运用化归的求出 PQ的斜率, 而证法二引入多个参量, 利用 整体代值计算出PQ的斜