高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案含解析.docx

13.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(ab)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，其系数和为2n问题3：二项式系数的最大值有何规律？提示：n2,4,6时，中间一项最大；n3,5时，中间两项最大二项式系数的性质性质内容对称性CC，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项T的二项式系数最大如果n为奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且同时取得最大值二项式系数的和二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即CCCC2n.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n1，即CCCCCC2n1. 1求二项式系数最大的项时，要特别注意n的奇偶性，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边二项式系数的个数相同当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同.与“杨辉三角”有关的问题如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S19的值S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.解决与“杨辉三角”有关问题的一般思路如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051解析：由“杨辉三角”知，第1行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C；第n行中的数是C，C，C，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为23，则CC23，解得n34.答案：34求二项展开式中系数和设(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.求：(1)a1a2a3a4a5的值；(2)a1a3a5的值；(3)|a1|a2|a3|a4|a5|的值记f(x)(12x)5.(1)a1a2a3a4a5f(1)f(0)2.(2)f(1)a0a1a2a3a4a5，f(1)a0a1a2a3a4a5，所以a1a3a5(135)122.(3)|a1|a2|a3|a4|a5|f(1)f(0)351242.“赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋予字母所取的不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差多项式x3x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10.(1)求a0a1a10；(2)求a0a1a2a3a9a10.解：(1)令x11，即令x0，得0a0a11a10110，得a0a1a100.(2)令x11，即令x2，得(2)3(2)10a0a1a2a3a9a10，得a0a1a2a3a9a101 016.二项式系数的性质已知n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n，2n32，n5.(1)n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3,4两项，T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)设展开式中第k1项的系数最大，则由Tk1C(x)5k(3x2)k3kCx，得k，k4，即展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得在8的展开式中：(1)求二项式系数最大的项(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解：(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项故T5C24x281 120x6.(2)因Tk1C()8kk(1)kC2kx4.设第k1项系数的绝对值最大，则即整理得于是k5或6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项已知(2x1)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求CCCC的值设(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则Aa1a3a5，Ba0a2a4a6，由已知得BA38，令x1得a0a1a2a3an(1)n(3)n，即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即BA(3)n，所以(3)n38(3)8，所以n8，所以CCCC2nC281255.1求解本题易犯下列问题：一是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项二是错误地认为38(3)8.三是把CCCC看成二项展开式各项二项式系数和，忽略了C.2解答此类问题应掌握(ab)n的展开式的各个二项式系数的和为2n，且奇数项二项式系数的和与偶数项二项式系数的和都等于2n1.已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_解析：依题可得a0a2a4(a1a3a5)16，则(a0a2a4)(a1a3a5)256.答案：2561(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()An，n1Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3解析：选C该式展开共2n2项，中间有两项，第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项2已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64 B32C63 D31解析：选BC2C2nC(12)n3n729，n6，CCC32.3已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5()A32 B1 C243 D1或243解析：选B(ax)5展开式的通项为Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.4若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_解析：(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.答案：55求(1x)8的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项解：(1)因为(1x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大该项为T5C(x)470x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者，即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4C(x)356x3，T6C(x)556x5.一、选择题1已知(2x)10a0a1xa2x2a10x10，则a8等于()A180B180C45 D45解析：选Aa8C22180.2在(ab)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A第15项 B第16项C第17项 D第18项解析：选B第6项的二项式系数为C，又CC，所以第16项符合条件3“杨辉三角”如图所示，“杨辉三角”中的第5行除两端数字1外，均能被 5整除，则具有类似性质的行是()1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051 A第6行 B第7行C第8行 D第9行解析：选B由题意，第6行为1615201561，第7行为172135352171，故第7行除去两端数字1外，均能被7整除4关于(ab)10的说法，错误的是()A展开式中的二项式系数之和为1 024B展开式中的第6项的二项式系数最大C展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D展开式中第6项的系数最小解析：选C根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的5在(x)2 016的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于()A23 023 B23 023C23 024 D23 024解析：选B因为S，当x时，S23 023.二、填空题6在(12x)7的展开式中，C是第_项的二项式系数，第3项的系数是_解析：由二项式系数的定义知C为第k1项的系数，C为第3项的二项式系数T21C(2x)222Cx2，第3项的系数为22C84.答案：3847(13a2b)5的展开式中不含b的项的系数之和是_解析：令a1，b0，即得不含b的项的系数和为(13)532.答案：328设(1x)3(1x)4(1x)50a0a1xa2x2a50x50，则a3等于_解析：a3CCCCCCCCCCC.答案：C三、解答题9(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解：T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8.(12x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第k1项系数最大，则有5k6.又k0,1,2，8，k5或k6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.10设m，nN，f(x)(1x)m(1x)n.(1)当mn7时，f(x)a7x7a6x6a1xa0，求a0a2a4a6；(2)当mn时，f(x)展开式中x2的系数是20，求n的值；(3)f(x)展开式中x的系数是19，当m，n变化时，求x2系数的最小值解：(1)赋值法：分别令x1，x1，得a0a2a4a6128.(2)T32Cx220x2，n5.(3)mn19，x2的系数为CCm(m1)n(n1)171mn171(19n)n2，所以，当n10或n9时，f(x)展开式中x2的系数最小值为81.11(2x3y)9展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值的和解：设(2x3y)9a0x9a1x8ya