安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案.docx

函数的基本性质 课题函数的基本性质（共 4 课）修改与创新课标要 求1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2结合具体函数，了解奇偶性的含义。命题走 向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。预测2017年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。教学准备多媒体教学过程要点精讲:1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= f，其中u=g(x) , A是y= f定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1 Bk Dk解析：选D函数y(2k1)xb是减函数，则2k10，即k.3(教材习题改编)函数f(x)的最大值是()A. B.C. D.解析：选D1x(1x)x2x12，0.4(教材习题改编)f(x)x22x(x)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：85已知函数f(x)为R上的减函数，若mn，则f(m)_f(n)；若ff(n)；1，即|x|1，且x0.故1x(1,0)(0,1)1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结函数单调性的判断典题导入(理)判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性设x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)是减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)是增函数综上可知，函数f(x)x(a0)在(0， 上为减函数；在，)上为增函数 (文)证明函数f(x)2x在(，0)上是增函数设x1，x2是区间(，0)上的任意两个自变量的值，且x1x2.则f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2)由于x1x20，所以x1x20，因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(，0)上是增函数由题悟法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行以题试法1判断函数g(x)在 (1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则g(x1)g(x2)，由于1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)，得1x1.由f(x)，得x1或x1.所以f(x)故f(x)的单调递增区间为(，1)C若本例中f(x)2|x|变为f(x)log2|x|，其他条件不变，则fk(x)的单调增区间为_解析：函数f(x)log2|x|，k时，函数fk(x)的图象如图所示，由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0， 答案：(0， 由题悟法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间以题试法2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A BC D单调性的应用典题导入(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2m)f(m2)的实数m的取值范围是_(2)(2012安徽高考)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是(1)f(x)在R上为增函数，2m0.m1或m0，x0)，若f(x)在上的值域为，则a_.解析：(1)f(x)0，x0)在上单调递增，所以即解得a.答案：(1)1(2)1(2012广东高考)下列函数为偶函数的是()Aysin xByx3Cyex Dyln 解析：选D四个选项中的函数的定义域都是R.ysin x为奇函数幂函数yx3也为奇函数指数函数yex为非奇非偶函数令f(x)ln ，得f(x)ln ln f(x)所以yln为偶函数2已知f(x)ax2bx是定义在上的偶函数，那么ab 的值是()A B.C. D解析：选Bf(x)ax2bx是定义在上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.3(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1 B0C1 D2解析：选Bf(x)为奇函数且f(x4)f(x)，f(0)0，T4.f(8)f(0)0.4若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：法一：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0，对于xR恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|，故a0.答案：05(2011广东高考)设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.解析：观察可知，yx3cos x为奇函数，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.则f(a)a3cos a11019.答案：9 1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期函数奇偶性的判断典题导入(2012福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)g(x)，则函数h(x)f(x)g(x)()A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数当xQ时，xQ，f(x)f(x)1；当xRQ时，xRQ，f(x)f(x)1.综上，对任意xR，都有f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数g(x)g(x)，函数g(x)为奇函数h(x)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)h(x)，函数h(x)f(x)g(x)是奇函数h(1)f(1)g(1)，h(1)f(1)g(1)1，h(1)h(1)，函数h(x)不是偶函数A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性以题试法1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)3x3x；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(3)由得2x2且x0.f(x)的定义域为，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0的解集为()A(2,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.(2)f(x)为偶函数，0.xf(x)0.或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，故x(0,2)或x(，2)(1)1(2)B本例(2)的条件不变，若n2且nN*，试比较f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解：f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n1)又函数yf(x)在(0，)为减函数，且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(2a)，则实数a的取值范围是_解析：(1)当x0，所以f(x)x2x，f(x)ax2bx，而f(x)f(x)，即x2xax2bx，所以a1，b1，故ab0.(2)因为f(x)x22x在 (2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335B338C1 678 D2 012由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.B由题悟法1周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.2周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用以题试法3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x时，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x，x，4x，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x函数的基本性质是函数的重要内容，复习时务必细致地回顾。这部分内容应集合题目进行适当地归纳总结。复合函数的单调性的判断仅作了解。周期性是必修4学习的内容，要求学生找到必修4的相关内容，并超前复习。通过具体问题，让学生理解函数的单调区间与函数在某个区间上单调的含义的不同。通过此例，让学