2018版高中数学第四章函数应用4.1.2利用二分法求方程的近似解学案北师大版.docx

4.1.2利用二分法求方程的近似解 1. 根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解(重点) 2. 学习利用二分法求方程近似解的过程和方法(难点)基础初探教材整理利用二分法求方程的近似解阅读教材P117P119整节课的内容，完成下列问题 1. 二分法的概念对于图像在区间a，b上连续不断且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法 2. 用二分法求方程的近似解的过程图411在图411中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解 1. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何函数的零点都可以用二分法求得()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解()(3)当方程的有解区间a，b的区间长度ba(精确度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精确度的近似解()【答案】(1)(2)(3) 2. 在用二分法求函数f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，0.68，f(0.68)0，若精确度为0.1，则函数f(x)的零点近似值可为()A0.64B0.65C0.70 D0.73【解析】因为0.720.680.040.1，故函数f(x)的零点在区间(0.68,0.72)，故函数的零点可以是0.70.【答案】C小组合作型二分法概念的理解下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()ABCD【精彩点拨】【尝试解答】按定义，f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选A.【答案】A 1. 准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点 2. “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点再练一题 1. (1)下列函数中，能用二分法求零点的为() AB CD(2)用二分法求函数f(x)在区间a，b内的零点时，需要的条件是()f(x)在区间a，b是连续不断的；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.ABC D【解析】(1)函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B选项符合(2)由二分法的意义，知选A.【答案】(1)B(2)A利用二分法求方程的近似解借助计算器或计算机，用二分法求方程3x0的近似解(精确度为0.1)【精彩点拨】借助函数图像的交点确定初始区间后用二分法求根的近似解【尝试解答】原方程可化为3x10，即3x1，在同一坐标系中，分别画出函数g(x)3x与h(x)1的简图，如图所示：因为g(x)与h(x)的图像交点的横坐标位于区间(1,0)且只有一个交点，所以原方程只有一解，设为xx0.令f(x)3x3x1，因为f(0)11110，f(0.5)210，所以x0(0.5,0)用二分法求解，列表如下：中点值中点(端点)函数值取值区间f(0.5)0，f(0)0(0.5,0)x10.25f(0.25)0(0.5，0.25)x20.375f(0.375)0(0.5，0.375)x30.437 5f(0.437 5)0(0.437 5，0.375)因为|0.375(0.437 5)|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取为0.375.用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算.再练一题 2. 利用计算器，求方程lg x2x的近似解(精确到0.1)【解】作出ylg x，y2x的图像，可以发现，方程lg x2x有唯一解，记为x0，并且解在区间1,2内设f(x)lg xx2，用计算器计算得f(1)0，f(2)2x1,2；f(1.5)0，f(2)0x1.5,2；f(1.75)0，f(2)0x1.75,2；f(1.75)0，f(1.875)0x1.75,1.875；f(1.75)0，f(1.812 5)0x1.75,1.812 5在区间1.75,1.812 5中的值精确到0.1均为1.8.近似解为1.8.探究共研型利用二分法求函数零点的近似值探究 1 如图412，f(x)的图像与x轴有一个交点，如何求方程f(x)0的解？图412假设在区间1,5上，f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(1)f(5)0，如何按照二分法的思想求方程f(x)0的一个解？【提示】取1,5的中点2，因为f(5)0，f(2)0，即f(2)f(5)0.所以在区间2,5内有方程的解于是再取2,5的中点3.5这样继续下去，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)0，则x0就是所求的一个解；如果区间中的点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解探究 2 在上述问题中，如果不给精确，用二分法能一定求出零点吗？【提示】不能探究 3 假设方程有一个近似解在区间a，b内，那么当区间的长度ba的值满足什么条件时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度的近似解？为什么？【提示】当ba，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度的近似解因为任意选取两数x1，x2(a，b)，都有|x1x2|.由于(a，b)，所以任意选取x(a，b)都有|x|.用二分法求函数yx33的一个正零点(精确到0.01). 【导学号：04100075】【精彩点拨】【尝试解答】由于f(1)20，f(2)50，因此可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次1225第2次121.50.375第3次1.251.046 91.50.375第4次1.3750.400 41.50.375第5次1.437 50.029 51.50.375第6次1.437 50.029 51.468 750.168 4第7次1.437 50.029 51.453 1250.068 38第8次1.437 50.02951.445 312 50.019 2第9次1.441 406 250.005 31.445 312 50.019 2第10次1.441 406 250.005 31.443 359 3750.006 931因为区间1.441 406 25,1.443 359 375内的所有值，若精确到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值二分法求解步骤：(1)确定区间a，b：验证f(a)f(b)0，初始区间的选择不宜过大，否则易增加运算的次数(2)求区间a，b的中点c.(3)计算f(c)：若f(c)0，则c就是函数的零点若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0c，b)(4)判断a，b的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复(2)(4)步特别注意要运算彻底再练一题 3. 用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_，以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)，f(0.25)B(0,1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.75)D(0,0.5)，f(0.125)【解析】由f(0)f(0.5)0，故其中一个零点x0(0,0.5)，第二次计算时取区间(0,0.5)的中点0.25，故第二次计算f(0.25)【答案】A 1. 用二分法求函数f(x)3x7的零点时，初始区间可选为()A(1,0)B(0,1)C(1,2) D(2,3)【解析】f(1)31770，f(0)307171760，f(1)31740，f(2)3279720，故函数f(x)的零点在区间(1,2)上，故初始区间可选为(1,2)【答案】C 2. 若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5) 0.162f(1.406 25) 0.054那么函数零点的一个近似解(精确度为0.1)为()A1.2B1.3C1.4 D1.5【解析】由参考数据可知，函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)，(1.375,1.406 25)，(1.406 25,1.437 5)内，由于1.3751.250.150.1，1.406 251.3750.031 250.1,1.437 51.406 250.031 250.1.故函数的零点可以在区间(1.406 25,1.437 5)中取故选项C符合【答案】C 3. 已知图像连续不断的函数yf(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为_. 【导学号：04100076】【解析】设等