高数第五版3-3泰勒公式.ppt

下页 上页下页首页 （如下图） 1.设设f(x)在x0处连续处连续 ,则则有, 一、问题的提出 2.设设f(x)在x0处处可导导,则则有 例如, 当|x|很小时时, 上页下页首页 上页下页首页 不足: 问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。 寻寻找函数P(x),使得f(x)P(x) 误误差R(x)=f(x)-P(x) 可估计计 设设函数f(x)在含有x0的开区间间(a,b)内具有直到 (n+1)阶导阶导 数,P(x)为为多项项式函数 误误差 上页下页首页 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 Pn和Rn的确定 上页下页首页 假设设 得 代入Pn(x)中得 上页下页首页 二、泰勒中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f(x)在含有x0的 某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当 x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多 项式与一个余项Rn(x)之和: 其中 (在x0与x之间). 上页下页首页 证明:由假设Rn(x)在(a,b)内有直到(n+1)阶导数,且 函数Rn(x)和(x-x0)n+1在以x0及x为为端点的区间间上满满足 柯西中值值定理的条件,则则 (1在x0与x之间间). 上页下页首页 两函数Rn(x)及(n+1)(x-x0)n在以x0及为为端点的区 间间上满满足柯西中值值定理的条件,得 如此下去,经过经过 (n+1)次后,得 (2在x0与1之间间). (在x0与n之间间,也在x0与x之间间 ). 上页下页首页 称为为f(x)按(x-x0)的幂幂展开的n次近似多项项式 则则由上式得 称为为f(x)按(x-x0)的幂幂展开的n阶阶泰勒公式 (在x0与x之间间). 上页下页首页 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 (在x0与x之间间). 上页下页首页 注意: 1.当n=0时时,泰勒公式变变成拉氏中值值公式 (在x0与x之间间). 取x0=0 (在0与x之间间)令. 上页下页首页 泰勒中值定理 泰勒中值定理的产生： 微 分 皮亚诺余项 的泰勒公式 拉格朗日中值定理 拉格朗日余项 的泰勒公式 其它余项的泰勒公式 上页下页首页 麦克劳林(Maclaurin)公式 上页下页首页 解 f (n+1)(x)=ex 代入公式,得 三、简单的应用 例1 求 的n阶麦克劳林公式. 上页下页首页 由公式可知 估计误差(设 x0) 其误差 当n=10时,11!=39916800, 上页下页首页 常用函数的麦克劳林公式 上页下页首页 解 例2 计算 . 上页下页首页 播放 四、小结 上页下页首页 播放 上页下页首页 思考题 利用泰勒公式求极限 上页下页首页 思 考 题 解 答 上页下页首页 练 习 题 练习题答案 上页首页 上页下页首页 四、小结 上页下页首页 四、小结 上页下页首页 四、小结 上页下页首页 四、小结 上页下页首页 四、小结 上页下页首页 上页下页首页 上页下页首页 上页下页首页 上页下页首页 上页下页首页 上页