《数据特征的描述》PPT课件.ppt

4 - 1 第第 4 4 章章 数据分布特征的测度数据分布特征的测度 4.14.1 集中趋势的测度集中趋势的测度 4.2 4.2 离散程度的测度离散程度的测度 4.3 4.3 偏态与峰态的测度偏态与峰态的测度 4 - 2 学习目标学习目标 1.1. 集中趋势各测度值的计算方法集中趋势各测度值的计算方法 2.2. 集中趋势各测度值的特点及应用场合集中趋势各测度值的特点及应用场合 3.3. 离散程度各测度值的计算方法离散程度各测度值的计算方法 4.4. 离散程度各测度值的特点及应用场合离散程度各测度值的特点及应用场合 5.5. 偏态与峰态的测度方法偏态与峰态的测度方法 6.6. 用用ExcelExcel计算描述统计量并进行分析计算描述统计量并进行分析 4 - 3 数据分布的特征数据分布的特征 集中趋势集中趋势 ( (位置位置) ) 偏态和峰态偏态和峰态 （形状）（形状） 离中趋势离中趋势 ( (分散程度分散程度) ) 4 - 4 数据分布特征的测度数据分布特征的测度 数据特征的测度 分布的形状集中趋势离散程度 众众 数数 中位数中位数 均均 值值 离散系数离散系数 方差和标准差方差和标准差 峰峰 态态 四分位差四分位差 异众比率异众比率 偏偏 态态 4 - 5 4.1 4.1 集中趋势的测度集中趋势的测度 一一. . 分类数据：众数分类数据：众数 二二. . 顺序数据：中位数和分位数顺序数据：中位数和分位数 三三. . 数值型数据：均值数值型数据：均值 四四. . 众数、中位数和均值的比较众数、中位数和均值的比较 4 - 6 数据分布特征的和测度数据分布特征的和测度 ( (本节位置本节位置) ) 数据的特征和测度 分布的形状集中趋势离散程度 众众 数数 中位数中位数 均均 值值 离散系数离散系数 方差和标准差方差和标准差 峰峰 态态 四分位差四分位差 异众比率异众比率 偏偏 态态 4 - 7 集中趋势集中趋势 (Central tendency)(Central tendency) 1.1. 一一组组数据向其中心数据向其中心值值靠靠拢拢的的倾倾向和程度向和程度 2.2. 测测度集中度集中趋势趋势 就是就是寻寻找数据水平的代表找数据水平的代表值值或中心或中心值值 3.3. 不同不同类类型的数据用不同的集中型的数据用不同的集中趋势测趋势测 度度值值 4 - 8 众数众数 ( (modemode) ) 1.1.出出现现次数最多的次数最多的变变量量值值 2.2.不受极端不受极端值值的影响的影响 3.3.一一组组数据可能没有众数或有几个众数数据可能没有众数或有几个众数 4.4.主要用于分主要用于分类类数据，也可用于数据，也可用于顺顺序数据和数序数据和数值值 型数据型数据 4 - 9 众数众数 ( (不唯一性不唯一性) ) 无众数无众数 原始数据原始数据: 10 5 9 12 6: 10 5 9 12 6 8 8 一个众数一个众数 原始数据原始数据: 6 : 6 5 5 9 8 9 8 5 55 5 多于一个众数多于一个众数 原始数据原始数据: 25 : 25 28 28 2828 36 36 42 42 4242 4 - 10 分类数据的众数分类数据的众数 ( (例题分析例题分析) ) 不同品牌不同品牌饮饮饮饮料的料的频频频频数分布数分布 饮饮料品牌频频数比例 百分比 (%) 可口可乐乐 旭日升冰茶 百事可乐乐 汇汇源果汁 露露 15 11 9 6 9 0.30 0.22 0.18 0.12 0.18 30 22 18 12 18 合计计501100 解解：这这里的里的变变量量为为“ “饮饮料品料品 牌牌” ”，这这是个分是个分类变类变 量，不量，不 同同类类型的型的饮饮料就是料就是变变量量值值 在所在所调查调查 的的5050人中，人中，购购 买买可口可可口可乐乐的人数最多，的人数最多， 为为1515人，占人，占总总被被调查调查 人数人数 的的30%30%，因此众数，因此众数为为“ “可口可口 可可乐乐” ”这这一品牌，即一品牌，即 MM o o 可口可可口可乐乐乐乐 4 - 11 顺序数据的众数顺序数据的众数 ( (例题分析例题分析) ) 解：解：这这里的数据里的数据为顺为顺 序数据。序数据。变变量量为为“ “回答回答 类别类别 ” ” 甲城市中甲城市中对对住房表住房表 示不示不满满意的意的户户数最多数最多 ，为为108108户户，因此众数，因此众数 为为“ “不不满满意意” ”这这一一类别类别 ， 即即 MM o o 不不满满满满意意 甲城市家庭甲城市家庭对对对对住房状况住房状况评评评评价的价的频频频频数分布数分布 回答类别类别 甲城市 户户数 (户户)百分比 (%) 非常不满满意 不满满意 一般 满满意 非常满满意 24 108 93 45 30 8 36 31 15 10 合计计300100.0 4 - 12 中位数中位数 ( (medianmedian) ) 1.1.排序后排序后处处于中于中间间位置上的位置上的值值 MM e e 50%50%50%50% 2.2. 不受极端不受极端值值的影响的影响 3.3. 主要用于主要用于顺顺序数据，也可用数序数据，也可用数值值型数据，但不能用于分型数据，但不能用于分 类类数据数据 4.4. 各各变变量量值值与中位数的离差与中位数的离差绝对值绝对值 之和最小，即之和最小，即 4 - 13 顺序数据的中位数顺序数据的中位数 ( (例题分析例题分析) ) 解：解：中位数的位置中位数的位置为为 301/2301/2150.5150.5 从累从累计频计频 数看，中位数看，中位 数在数在“ “一般一般” ”这这一一组别组别 中中 。因此。因此 MM e e = =一般一般 甲城市家庭甲城市家庭对对对对住房状况住房状况评评评评价的价的频频频频数分布数分布 回答类别类别 甲城市 户户数 (户户)累计频计频 数 非常不满满意 不满满意 一般 满满意 非常满满意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合计计300 4 - 14 数值型数据的中位数数值型数据的中位数 （9 9个数据的算例）个数据的算例） 【例例】：9 9个家庭的人均月收入数据个家庭的人均月收入数据 原始数据原始数据: : 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 16301500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排排 序序: : 750 780 850 960 750 780 850 960 10801080 1250 1500 1630 2000 1250 1500 1630 2000 位位 置置: : 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 6 7 8 9 中位数中位数 10801080 4 - 15 数值型数据的中位数数值型数据的中位数 (10(10个数据的算例个数据的算例) ) 【例例】：1010个家庭的人均月收入数据个家庭的人均月收入数据 排排 序序: : 660660 750 780 850 750 780 850 960 1080960 1080 1250 1500 1630 2000 1250 1500 1630 2000 位位 置置: : 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 6 6 7 8 9 10 7 8 9 10 4 - 16 四分位数四分位数 ( (quartilequartile) ) 1.1.排序后排序后处处于于25%25%和和75%75%位置上的位置上的值值 2.2. 不受极端不受极端值值的影响的影响 3.3. 主要用于主要用于顺顺序数据，也可用于数序数据，也可用于数值值型数据，但型数据，但 不能用于分不能用于分类类数据数据 QQ L L QQM M QQ U U 25%25%25%25%25%25%25%25% 4 - 17 四分位数四分位数 ( (位置的确定位置的确定) ) 顺序数据：顺序数据： 4 - 18 顺序数据的四分位数顺序数据的四分位数 ( (例题分析例题分析) ) 解：解：QQ L L 位置位置= =(300)/4=75(300)/4=75 Q Q U U 位置位置=(3300)/4=225=(3300)/4=225 从累从累计频计频 数看，数看，QQ L L 在在“ “不不满满意意” ” 这这一一组别组别 中；中；QQ U U 在在“ “一般一般” ”这这一一 组别组别 中。因此中。因此 QQ L L = = 不不满满满满意意 QQ U U = = 一般一般 甲城市家庭甲城市家庭对对对对住房状况住房状况评评评评价的价的频频频频数分布数分布 回答类别类别甲城市 户户数 (户户)累计频计频 数 非常不满满 意 不满满意 一般 满满意 非常满满意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合计计300 4 - 19 数值型数据的四分位数数值型数据的四分位数 (9(9个数据的算例个数据的算例) ) 【例例】：9 9个家庭的人均月收入数据个家庭的人均月收入数据 原始数据原始数据: : 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 16301500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排排 序序: : 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位位 置置: : 1 1 2 32 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 4 - 20 均值均值 ( (meanmean) ) 1.1.集中集中趋势趋势 的最常用的最常用测测度度值值 2.2.一一组组数据的均衡点所在数据的均衡点所在 3.3.体体现现了数据的必然性特征了数据的必然性特征 4.4.易受极端易受极端值值的影响的影响 5.5.用于数用于数值值型数据，不能用于分型数据，不能用于分类类数据和数据和顺顺序数据序数据 4 - 21 简单均值与加权均值简单均值与加权均值 (simple mean / weighted mean)(simple mean / weighted mean) 设一组数据为：设一组数据为： x x1 1 ， ，x x2 2 ， ， ，x x n n 各组的组中值为：各组的组中值为：MM1 1 ， ，MM2 2 ， ， ，MM k k 相应的频数为：相应的频数为： f f1 1 ， ， f f2 2 ， ， ，f f k k 简单均值简单均值 加权均值加权均值 4 - 22 已改至此！已改至此！ 某某电脑电脑电脑电脑 公司公司销销销销售量数据分售量数据分组组组组表表 按销销售量分组组组组中值值(Mi)频频数(fi)Mi fi 140150 150160 160170 170180 180190 190200 200210 210220 220230 230240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 580 1395 2640 4725 3700 3315 2050 1720 900 1175 合计计12022200 加权均值加权均值 ( (例题分析例题分析) ) 4 - 23 加权均值加权均值 ( (权数对均值的影响权数对均值的影响) ) 甲乙两组各有甲乙两组各有1010名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组：甲组： 考试成绩（考试成绩（x x ）: : 0 20 100 0 20 100 人数分布（人数分布（f f ）：）：1 1 81 1 8 乙组：乙组： 考试成绩（考试成绩（x x）: : 0 20 100 0 20 100 人数分布（人数分布（f f ）：）：8 1 18 1 1 4 - 24 均值均值 ( (数学性质数学性质) ) 1.1.各各变变量量值值与均与均值值的离差之和等于零的离差之和等于零 2. 2. 各各变变量量值值与均与均值值的离差平方和最小的离差平方和最小 4 - 25 几何平均数几何平均数 ( (geometric meangeometric mean) ) 1.1. n n 个变量值乘积的个变量值乘积的 n n 次方根次方根 2.2.适用于对比率数据的平均适用于对比率数据的平均 3.3.主要用于计算平均增长率主要用于计算平均增长率 4.4.计算公式为计算公式为 5. 5. 可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形 4 - 26 几何平均数几何平均数 ( (例题分析例题分析) ) 【例例】某水泥生某水泥生产产企企业业19991999年的水泥年的水泥产产量量为为100100万吨，万吨，20002000 年与年与19991999年相比增年相比增长长率率为为9%9%，20012001年与年与20002000年相比增年相比增长长率率 为为16%16%，20022002年与年与20012001年相比增年相比增长长率率为为20%20%。求各年的年。求各年的年 平均增平均增长长率。率。 年平均增年平均增长长率率114.91%-1=114.91%-1=14.91%14.91% 4 - 27 几何平均数几何平均数 ( (例题分析例题分析) ) 【例例】一位投一位投资资者者购购持有一种股票，在持有一种股票，在20002000、20012001、20022002和和 20032003年收益率分年收益率分别为别为 4.5%4.5%、2.1%2.1%、25.5%25.5%、1.9%1.9%。计计算算该该 投投资资者在者在这这四年内的平均收益率四年内的平均收益率 算术平均：算术平均： 几何平均：几何平均： 4 - 28 众数、中位数和均值的关系众数、中位数和均值的关系 左偏分布左偏分布 均值均值 中位数中位数 众数众数 对称分布对称分布 均值均值 = = 中位数中位数 = = 众数众数 右偏分布右偏分布 众数众数 中位数中位数均值均值 4 - 29 众数、中位数和均值的众数、中位数和均值的特点和应用特点和应用 1.1.众数众数 n n 不受极端不受极端值值影响影响 n n 具有不唯一性具有不唯一性 n n 数据分布偏斜程度数据分布偏斜程度较较大大时应时应 用用 2.2.中位数中位数 n n 不受极端不受极端值值影响影响 n n 数据分布偏斜程度数据分布偏斜程度较较大大时应时应 用用 3.3.均均值值 n n 易受极端易受极端值值影响影响 n n 数学性数学性质优质优 良良 n n 数据数据对对称分布或接近称分布或接近对对称分布称分布时应时应 用用 4 - 30 数据类型与集中趋势测度值数据类型与集中趋势测度值 数据数据类类类类型和所适用的集中型和所适用的集中趋势测趋势测趋势测趋势测 度度值值值值 数据类类型分类类数据 顺顺序数据间间隔数据比率数据 适 用 的 测测 度 值值 众数众数中位数中位数均均值值值值均均值值值值 四分位数四分位数众数众数调调调调和平均数和平均数 众数众数中位数中位数几何平均数几何平均数 四分位数四分位数 中位数中位数 四分位数四分位数 众数众数 4 - 31 4.2 4.2 离散程度的测度离散程度的测度 一一. .分类数据：异众比率分类数据：异众比率 二二. .顺序数据：四分位差顺序数据：四分位差 三三. .数值型数据：方差及标准差数值型数据：方差及标准差 四四. .相对位置的测量：标准分数相对位置的测量：标准分数 五五. .相对离散程度：离散系数相对离散程度：离散系数 4 - 32 数据的特征和测度数据的特征和测度 ( (本节位置本节位置) ) 数据的特征和测度 分布的形状离散程度集中趋势 众众 数数 中位数中位数 均均 值值 离散系数离散系数 方差和标准差方差和标准差 峰峰 度度 四分位差四分位差 异众比率异众比率 偏偏 态态 4 - 33 离中趋势离中趋势 1.1. 数据分布的另一个重要特征数据分布的另一个重要特征 2.2. 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度） 3.3. 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 4.4. 不同类型的数据有不同的离散程度测度值不同类型的数据有不同的离散程度测度值 4 - 34 分类数据：异众比率分类数据：异众比率 4 - 35 异众比率异众比率 ( (variation ratiovariation ratio) ) 1.1. 对分类数据离散程度的测度对分类数据离散程度的测度 2.2. 非众数组的频数占总频数的比率非众数组的频数占总频数的比率 3.3. 计算公式为计算公式为 4. 4. 用于衡量众数的代表性用于衡量众数的代表性 4 - 36 异众比率异众比率 ( (例题分析例题分析) ) 解：解： 在所调查的 在所调查的5050人当中，购人当中，购 买其他品牌饮料的人数占买其他品牌饮料的人数占 70%70%，异众比率比较大。因，异众比率比较大。因 此，用此，用“ “可口可乐可口可乐” ”代表消费代表消费 者购买饮料品牌的状况，其者购买饮料品牌的状况，其 代表性不是很好代表性不是很好 不同品牌不同品牌饮饮饮饮料的料的频频频频数分布数分布 饮饮料品牌频频数比例 百分比 (%) 可口可乐乐 旭日升冰茶 百事可乐乐 汇汇源果汁 露露 15 11 9 6 9 0.30 0.22 0.18 0.12 0.18 30 22 18 12 18 合计计501100 4 - 37 顺序数据：四分位差顺序数据：四分位差 4 - 38 四分位差四分位差 ( (quartile deviationquartile deviation) ) 1.1. 对顺序数据离散程度的测度对顺序数据离散程度的测度 2.2. 也称为内距或四分间距也称为内距或四分间距 3.3. 上四分位数与下四分位数之差上四分位数与下四分位数之差 QQ D D = = QQU U QQ L L 4.4. 反映了中间反映了中间50%50%数据的离散程度数据的离散程度 5.5. 不受极端值的影响不受极端值的影响 6.6. 用于衡量中位数的代表性用于衡量中位数的代表性 4 - 39 四分位差四分位差 ( (例题分析例题分析) ) 解：解：设非常不满意为设非常不满意为 1,1,不满意为不满意为2, 2, 一般为一般为 3, 3, 满意为满意为 4, 4, 非常满非常满 意为意为5 5 已知已知 QQL L = = 不满意不满意 = = 2 2 QQU U = = 一般一般 = = 3 3 四分位差：四分位差： QQ D D = = QQU U = = QQ L L = = 3 2 3 2 = = 1 1 甲城市家庭甲城市家庭对对对对住房状况住房状况评评评评价的价的频频频频数分布数分布 回答类别类别 甲城市 户户数 (户户)累计频计频 数 非常不满满意 不满满意 一般 满满意 非常满满意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合计计300 4 - 40 数值型数据：方差和标准差数值型数据：方差和标准差 4 - 41 极差极差 ( (rangerange) ) 1.1.一组数据的最大值与最小值之差一组数据的最大值与最小值之差 2.2.离散程度的最简单测度值离散程度的最简单测度值 3.3.易受极端值影响易受极端值影响 4.4.未考虑数据的分布未考虑数据的分布 7 7 8 8 9 9 10107 7 8 8 9 9 10 10 R R = = max(max(x x i i ) - ) - min(min(x x i i ) ) 5.5. 计算公式为计算公式为 4 - 42 平均差平均差 ( (mean deviationmean deviation) ) 1.1.各变量值与其均值离差绝对值的平均数各变量值与其均值离差绝对值的平均数 2.2.能全面反映一组数据的离散程度能全面反映一组数据的离散程度 3.3.数学性质较差，实际中应用较少数学性质较差，实际中应用较少 4.4. 计算公式为计算公式为 未分组数据未分组数据 组距分组数据组距分组数据 4 - 43 平均差平均差 ( (例题分析例题分析) ) 某某电脑电脑电脑电脑 公司公司销销销销售量数据平均差售量数据平均差计计计计算表算表 按销销售量分组组组组中值值(Mi)频频数(fi) 140150 150160 160170 170180 180190 190200 200210 210220 220230 230240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合计计1202040 4 - 44 平均差平均差 ( (例题分析例题分析) ) 含义：含义：每一天的销售量平均数相比，每一天的销售量平均数相比， 平均相差平均相差1717台台 4 - 45 方差和标准差方差和标准差 ( (variancevariance and and standard deviationstandard deviation) ) 1.1. 数据离散程度的最常用测度值数据离散程度的最常用测度值 2.2. 反映了各变量值与均值的平均差异反映了各变量值与均值的平均差异 3.3. 根据总体数据计算的，称为总体方差或标根据总体数据计算的，称为总体方差或标 准差；根据样本数据计算的，称为样本方准差；根据样本数据计算的，称为样本方 差或标准差差或标准差 4 6 8 10 124 6 8 10 12 x x = = 8.38.3 4 - 46 样本方差和标准差样本方差和标准差 (simple (simple variancevariance and and standard deviationstandard deviation) ) 未分组数据：未分组数据： 组距分组数据：组距分组数据： 未分组数据：未分组数据： 组距分组数据：组距分组数据： 方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式 注意：注意： 样本方差用自样本方差用自 由度由度n-1n-1去除去除! ! 4 - 47 样本方差样本方差 自由度自由度(degree of freedom)(degree of freedom) 1.1.一组数据中可以自由取值的数据的个数一组数据中可以自由取值的数据的个数 2.2.当当样本数据的个数为样本数据的个数为 n n 时，若样本均值时，若样本均值x x 确定后确定后 ，只有，只有n n-1-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据个数据可以自由取值，其中必有一个数据 则不能自由取值则不能自由取值 3.3.例例如，样本有如，样本有3 3个数值，即个数值，即x x 1 1 =2=2，x x 2 2 =4=4，x x 3 3 =9=9，则则 x x = = 5 5。当。当 x x = = 5 5 确定后，确定后，x x 1 1 ，x x 2 2 和和x x 3 3 有两个数有两个数 据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如 x x1 1 =6=6，x x 2 2 =7=7，那么，那么x x 3 3 则必然取则必然取2 2，而不能取其他值，而不能取其他值 4.4.样样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释 ，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方 差差s s 2 2 去估计总体方差去估计总体方差 2 2 时，时， s s 2 2 是是 2 2 的无偏估计量的无偏估计量 4 - 48 样本标准差样本标准差 ( (例题分析例题分析) ) 某某电脑电脑电脑电脑 公司公司销销销销售量数据平均差售量数据平均差计计计计算表算表 按销销售量分组组组组中值值(Mi)频频数(fi) 140150 150160 160170 170180 180190 190200 200210 210220 220230 230240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合计计12055400 4 - 49 样本标准差样本标准差 ( (例题分析例题分析) ) 含义：含义：每一天的销售量与平均数相比，每一天的销售量与平均数相比， 平均相差平均相差21.5821.58台台 4 - 50 相对位置的测量：标准分数相对位置的测量：标准分数 4 - 51 标准分数标准分数 ( (standard scorestandard score ) ) 1. 1. 也称标准化值也称标准化值 2.2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3.3. 可用于判断一组数据是否有离群点可用于判断一组数据是否有离群点 4.4. 用于对变量的标准化处理用于对变量的标准化处理 5. 5. 计算公式为计算公式为 4 - 52 标准分数标准分数 ( (性性质质质质 ) ) 1.1.均值等于均值等于0 0 2.2.方差等于方差等于1 1 4 - 53 标准分数标准分数 ( (性性质质质质 ) ) z z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有 改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该 组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0 0 ，标准差为，标准差为1 1。 4 - 54 标准化值标准化值 ( (例题分析例题分析) ) 9 9个家庭人均月收入个家庭人均月收入标标标标准化准化值计值计值计值计 算表算表 家庭编编号人均月收入（元） 标标准化值值 z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 0.695 -1.042 -0.973 -0.278 -0.811 -0.556 1.853 0.116 0.996 4 - 55 经验法则经验法则 经验法则表明：当一组数据对称分布时经验法则表明：当一组数据对称分布时 约有约有68%68%的数据在平均数加减的数据在平均数加减1 1个标准差个标准差 的范围之内的范围之内 约有约有95%95%的数据在平均数加减的数据在平均数加减2 2个标准差个标准差 的范围之内的范围之内 约有约有99%99%的数据在平均数加减的数据在平均数加减3 3个标准差个标准差 的范围之内的范围之内 4 - 56 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 ( (ChebyshevsChebyshevs inequality inequality ) ) 1.1.如果一组数据不是对称分布，经验法则就如果一组数据不是对称分布，经验法则就 不再使用，这时可使用切比雪夫不等式，不再使用，这时可使用切比雪夫不等式， 它对任何分布形状的数据都适用它对任何分布形状的数据都适用 2.2.切比雪夫不等式提供的是切比雪夫不等式提供的是“ “下界下界” ”，也就是，也就是“ “ 所占比例至少和多少所占比例至少和多少” ” 3.3.对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫 不等式，至少有不等式，至少有(1-1/k(1-1/k 2 2 ) ) 的数据落在的数据落在k k个标个标 准差之内。其中准差之内。其中k k是大于是大于1 1的任意值，但不的任意值，但不 一定是整数一定是整数 4 - 57 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 ( (ChebyshevsChebyshevs inequality inequality ) ) 对于对于k k= =2 2，3 3，4 4，该不等式的含义是，该不等式的含义是 1.1.至少有至少有75%75%的数据落在平均数加减的数据落在平均数加减2 2个标个标 准差的范围之内准差的范围之内 2.2.至少有至少有89%89%的数据落在平均数加减的数据落在平均数加减3 3个标个标 准差的范围之内准差的范围之内 3.3.至少有至少有94%94%的数据落在平均数加减的数据落在平均数加减4 4个标个标 准差的范围之内准差的范围之内 4 - 58 相对离散程度：离散系数相对离散程度：离散系数 4 - 59 离散系数离散系数 ( (coeffic