结构力学第七章虚功原理和结构的位移计算.ppt

第6章 虚功原理和结构的位移计算 本章教学基本要求：理解变形体系虚功原理的内容及其在 结构位移计算中的应用；理解广义力和广义位移的概念；熟 练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图形相乘法在 位移计算中的应用；了解线弹性体系的互等定理。 本章教学内容的重点：静定结构由于荷载作用、支座移动 、温度变化和制造误差而产生的位移计算，特别是用图形相 乘法计算梁和刚架的位移。 本章教学内容的难点：广义力和广义位移的概念；变形体 系的虚功原理及其证明 。 本章内容简介 6.1 概述 6.2 变形体系的虚功原理 6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法 6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 6.5 图形相乘法 6.6 静定结构由于支座移动引起的位移计算 6.7 静定结构由于温度变化引起的位移计算 *6.8 具有弹性支座的静定结构的位移计算 6.9 线弹性体系的互等定理 6.1 概 述 本章任务 学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。 一、结构的位移 在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移 是结构某一截面相对于初始状态位置的变化. 位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点 按运动形式分： 线位移 角位移 绝对线位移（以地基为参照体） 相对线位移（以内部杆件为参照体） 绝对角位移（以地基为参照体） 相对角位移（以内部杆件为参照体） 1、一个截面的位移（绝对位移） 1）截面A 位置的移动（用截面形心 的移动来表示）A，称为线位移， 可分解为： 水平线位移AH（亦可记作uA） 竖向线位移 (挠度)AV (亦可记作vA)。 2）截面A 位置的转动 （用该点切线方向的变化来表示）A，称为角位移或转角。 A B C q A1 B1 A A DA vA uA 2、两个截面之间的位移（相对位移） 1）相对线位移 2）相对角位移 A A1 B B1 FPFP C D DADB CD CD E 3、一个微杆段的位移 ds u v 微段刚体位移 ds g0 g0 dv dv= g0 ds 微段相对位移 （剪切变形） ds du= eds 微段相对位移 （轴向变形） ds 微段相对位移 （弯曲变形） d= ds/R =kds A A 一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、 2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、d 。这是描 述微段总变形的三个基本参数。 为轴向伸长应变; 为平均剪切应变; k 为轴线曲率（ ，R为轴线 变形后的曲率半径）。 ds u v 微段刚体位移 ds g0 g0 dv dv= g0 ds 微段相对位移 （剪切变形） ds du= eds 微段相对位移 （轴向变形） ds 微段相对位移 （弯曲变形） d= ds/R =kds 对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有 式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度； 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面 =1.2， 圆 形截面 =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面 =A/A1 （A1为腹板面积）。 (6-1) 二、结构位移产生的原因 1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。 三、计算结构位移的目的 1）从工程应用方面看主要进行结构刚度验算；满足结 构的功能和使用要求. 2）从结构分析方面看为超静定结构的内力分析（如第 7章力法等）打好基础（利用位移条件建立补充方程）。 3）从土建施工方面看在结构构件的制作、架设等过程 中，常需预先知道结构位移后的位置，以便制定施工措施 （反拱，加设支撑等），确保安全和质量。 4）从后续专题方面看在结构力学的两大课题，即结构 的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。 工程结构设计的一般步骤 一般要求 计算模型 荷载分析 内力计算 截面设计 构造要求 变形验算 结构布置 静荷载 动荷载 静力计算 动力计算 层间位移计算 四、结构位移计算的方法 1、几何法 例如，材料力学中主要用于计算梁的挠度的重积分法。 2、虚功法 计算结构位移的虚功法是以虚功原理为基础的，所导出 的单位荷载法最为实用。单位荷载法能直接求出结构任 一截面、任一形式的位移，能适用于各种外因，且能适 合于各种结构；还解决了重积分法推导位移方程较烦且 不能直接求出任一指定截面位移的问题。 能量法： 实功 虚功 外力作虚功 内力作虚功 虚位移原理 虚力原理 虚功原理 单位位移法 单位荷载法 计算力(3.8节) 计算位移(本章) （虚功方程） 6.2 变形体系的虚功原理 一、功、实功与虚功 1、功 功包含了力和位移两个因素 2、实 功 所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。 分为常力实功和变力实功 。 D11 1 P1 P P1 D D 11o 1 静力荷载所做的实功为变力实功。 静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增 加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始 终保持平衡。 静力荷载所做的实功 FP1在12上做的功: W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功， 故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在 作虚功时，力不随位移而变化是常力，故式中没有系数1/2 3、常力所做的虚功 所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度 变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。 FP1 1 2 D11 D12 12 M2 FP1 (先) D 11 D12 q21 q22 1 2 M2(后) 1 1 对于各种形式常力所做的虚功，用力和相应位移这 两个彼此独立无关的因子的乘积来表示，即: 式中: FP是做功的与力有关的因素，称为广义力， 可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。 是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广 义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移 、相对角位移等。 二、广义力和广义位移 （6 - 5） 三、刚体体系的虚功原理 刚体体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条 件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总 和等于零。 Fi i=0 . . 去掉约束而代以相应的反力， 该反力便可看成外力。则有： FP P B -FP P +FB B=0 1 2 四、变形体的虚功原理 1、关于原理的表述 变形体系处于平衡的必要及充分条件是： 对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有 外力在虚位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变 形虚位移上所做虚功总和。 或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚 变形能）。 2、关于原理的证明 状态2:位移状态(另外原因引起) 微段位移状态 微段受力状态 状态1:力状态 du, dv, d是状态2中的原因（荷载 ，温变支移等）引起的微段变形。 FP FR1 FR2FR3 M q ds E F FE ds E F ds q M FN FQ M+dM FN+dFN FQ+dFQ A BC D ds g0 g0 du dv d dsds BC C1 ds A D A1 B1 D1 C2 D2 O O (1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑） dW总= dW外+dW内 将微段ds上的作用力区分为 外力与内力，微段总的虚功： FP FR1 FR2FR3 M q ds E F FE ds E F ds q M FN FQ M+dM FN+dFN FQ+dFQ A BC D BC C1 ds A D A1 B1 D1 C2 D2 O O ds g0 g0 du dv d dsds 整个结构的总虚功为： 或简写为：W总=W外+W内 由于任何两相邻微段的相 邻截面上的内力是成对出 现的，它们大小相等，方 向相反； q ds q M FN FQ M+dM FN+dFN FQ+dFQ A 某微段受力 ds q M+dM FN+dFN FQ+dFQ 右侧相邻微段受力左侧相邻微段受力 ds M FN FQ C D B D C A B 又由于虚位移是光滑的、连 续的，两微段相邻的截面总 是紧密贴在一起的，而且有 相同的位移， 因此，每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相 互抵消的。由此可见，必有：W内= 0 ； 因此： W总=W外（a） (2)按刚体虚功与变形虚功计算(从力系的平衡条件考虑) 将微段的虚位移区分为刚体虚位移和变形虚位移两类 微段总的虚功: dW总=dW刚+dW变 FP FR1 FR2FR3 M q ds E F FE ds E F ds q M FN FQ M+dM FN+dFN FQ+dFQ A BC D BC C1 ds A D A1 B1 D1 C2 D2 O O ds g0 g0 du dv d dsds 由刚体虚功原理，可知： dW刚=0 于是，微段上总的虚功： dW总=dW刚+dW变=dW变 对于全结构，有： 因此有： W总=W变 (b) 比较（a）、（b）两式，可得： W外=W变 就是我们需要证明的结论。 它不仅适用于杆件结构，也适用于板、壳等非杆件结构。 (c) 须注意的是： 这里（b）中的W变与（a）中的W内是有区别的。 （a）中的W内是指所有微段上内力在截面的总位移（包 括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如 前所述，它恒等于零； 而这里（b）中的W变仅指所有微段上内力在截面的变形 位移上所做虚功的总和。 假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作 用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅 考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功 ，只有截面上的内力做功。对于平面杆系有 dW变= Md+ FNdu + FQdv (d ) W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总和， 称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。 （6-6） 由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布 荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段 上各力在其变形上所做的虚功为 1) 变形虚功W变 对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式（6-5） W=FP计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位 移上所做虚功的总和为: W外=SFPD 将有关W外和W 的计算式（e）和（d）代入式（c），则 平面杆件结构的虚功方程可表示为 : （e） （6-7） 平衡力系 位移状态 2) 外力虚功W外 3、关于原理的说明 1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变形的 连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可 以用来代替几何方程（即协调方程）。 2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形式。鉴 于力系与变形彼此是独立无关的，因此， a.如果力系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体 系的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中 的某未知力(3.8节) ； b.如果位移是实有的，则可虚设力系，式（6-7）便称为变形体 系的虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状 态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用 （ a ） 实平衡力系 虚位移状态 （ b ） 虚平衡力系 实位移状态 虚位移方程 虚力方程 3）在推证式（6-7）时，没有涉及到材料的性质。因此， 变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问题 ，也适用于非弹性问题。 4）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体 体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变 形虚功W变=0，于是式（6-6）成为 W=0 刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。 （6-8） 6.3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法 一、利用虚功原理计算结构位移 根据平面杆件结构的虚功方程（6-7），其等号左侧 为 FP1 FP2 dsds dq, du, dv D c1 c2 K1 K i i q +t1+t2 FP=1 i i 例,求K点位移，则在K点虚加一单位力Fp=1 虚平衡力系 实位移状态 于是有 即得 （6-9 ) 此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设 单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方 法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况。 广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示） ，属单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。 一、利用虚功原理计算结构位移 （式中FR i 、 M ，FN ，FQ为虚设单位力作用下引起的反力和内力） 二、虚拟单位荷载的施加方法 应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可以 是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即 属广义位移。因此，需特别强调，当求任意广义位移时，所 需施加的虚单位荷载，应是一个在所求位移截面、沿所求位 移方向并且与所求广义位移相应的广义力。 这里，“相应”是指力与位移在做功上的对应，如集中力与线 位移对应，力偶与角位移对应，等等。 1）图示为求刚架 K 点沿 i-i方向的 线位移时的虚拟力状态。 FP=1 i i K 2）图示为求刚架K截面角位移时 的虚拟力状态。 3）图示为求刚架A、B两点沿其 连线方向相对线位移时的虚拟力 状态。 4）图示为求刚架A、B两截面相 对角位移时的虚拟力状态。 M=1 K FP=1 FP=1 A B M=1 M=1 A B 二、虚拟单位荷载的施加方法 5）求桁架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态 6）桁架第i杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端结点的 一对力正好构成一个单位力偶M=1，其中每一个力均为1/li且 与该杆垂直，这里的li为第i杆的长度。 7）桁架第i与第j杆两根杆间相对角位移的虚拟力状态。施加 于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相反的一对单 位力偶。 FP=1 FP=1 A B li 1/li 1/li li lj 1/li 1/li 1/lj 1/lj 6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 (公式法) 一、在荷载作用下位移计算的一般公式 当仅考虑荷载作用时，无支座位移项 式中，dq、du和dv是实际状态中由荷载引起的微段ds上的变形 位移，对于弹性结构可由6.1节公式（6-1）进行计算，只是须 注意，该公式中的各内力M、FN、FQ，应具体采用由实际状态 中的荷载引起的内力MP、FNP、FQP。 (a) ds q M FN FQ M+dM FN+dFN FQ+dFQ A 微段受力状态 dsdsds g0 g