数学实验与数学建模实验报告.doc

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数学实验与数学建模实验报告学 院： 信息科学与工程学院 专业班级： 电气信息类1013班 姓 名： 薛飞 学 号： 0909101319 完成时间： 2011 年 5月 6 日承 诺 书本人承诺所呈交的数学实验与数学建模作业都是本人通过学习自行进行编程独立完成，所有结果都通过上机验证，无转载或抄袭他人，也未经他人转载或抄袭。若承诺不实，本人愿意承担一切责任。承诺人： 2011年 5月6日注意事项如下：1、2011年5月6日(第十一周星期五)之前，将电子文档发送到邮箱：（word文档命名：姓名学号数学实验作业）2、2011年5月6日(第十一周星期五)，将实验报告电子打印稿(内容含有：封面、承 诺 书、数学实验学习体会、实验一到九答案)交到物理楼数学实验室办公室，过时不再受理。谢谢同学们合作!数学实验学习体会（每个人必须要写字数1500字以上，占总成绩的20%） 我们在进入大学后，有于多的问题依靠我们的手工已经解决不了，我们需要一种能帮助我们进行复杂、繁琐的计算任务，matlab作为一种数学计算工具，能帮助我们很好的解决我们在大学所遇到的问题，同时对我们以后的工作计算有很大的帮助。所以，在这学期，我们正在学线性代数和信号处理，里面的很多问题都可以用matlab解决。所以，我选择了matlab这门课。我希望通过八周的学习，能基本了解matlab，能利用它解决一些学习中的问题。 3实验一曲线绘图【实验目的】1了解曲线的几种表示方法。2学习掌握MATLAB软件有关的命令。1、 立方曲线 2、 x=-10:0.001:10;3、 y=x.3;4、 plot(x,y) 2、立方抛物线x=-10:0.001:10;y=x.(1/3);plot(x,y)3、高斯曲线x=-10:0.001:10;y=exp(-x.2);plot(x,y)5、 奈尔抛物线t=(-10:0.01:10);x=t.3;y=t.2;plot(x,y);6、 半立方抛物线t=(-10:0.01:10);x=t.2;y=t.3;plot(x,y);7、 迪卡尔曲线8、 蔓叶线8、摆线a=10;b=10;t=(-10:0.001:10);x=a*t-sin(t);y=b*1-cos(t);plot(x,y);9、 内摆线（星形线）10、 圆的渐伸线（渐开线）a=10;t=-10:0.001:10;x=a.*cos(t)+t.*sin(t);y=a.*sin(t)-t.*cos(t);plot(x,y);11、 空间螺线a=10;b=10;c=10;t=-10:0.001:10;x=a.*cos(t);y=b.*sin(t);z=c.*t;plot3(x,y,z);12、 阿基米德线a=10;theta=0:0.01:4*pi;rho=a.*theta;polar(theta,rho,r);13、 对数螺线a=1;theta=0:0.01:4*pi;rho=exp(a.*theta);polar(theta,rho,b);14、 双纽线a=1;theta=-2*pi:0.01:2*pi;rho=sqrt(a2*cos(2*theta);plot(theta,rho,r) ;15、 双纽线a=1;theta=-2*pi:0.01:2*pi;rho=sqrt(a2*sin(2*theta);plot(theta,rho,r) ;16、 四叶玫瑰线a=1;theta=-2*pi:0.01:2*pi;rho=a*sin(2*theta);r=(rho=0);plot(theta,rho,r) ;17、 三叶玫瑰线a=1;theta=-2*pi:0.01:2*pi;rho=a*sin(3*theta);r=(rho=0);plot(theta,rho,r) ;18、作出摆线的图形。当圆轮在平面上滚动时，其圆面上任意一点所画出的轨迹称为摆线。如果这一点不在圆周上而在圆内，则生成内摆线；如果该点在圆外，离圆心距离大于半径，则生成外摆线。后一种情况，可想象成火车轮，其接触轨道的部分并不是其直径最大处，而内侧的直径还要大一些，以防止车轮左右出轨，在这部分边缘的点就画出外摆线。概括几种情况，设r为圆轮半径，R为点半径，其普遍方程可表示为可由这组以t为参数的方程分析其轨迹。r=1;R=10;t=-10:0.001:10;x=r*t-R*sin(t);y=R*cos(t);plot(x,y,b); 19、作出以参数方程表示的空间曲线20、 以绘制极坐标系下曲线，并讨论参数的影响。21、 (曲线族绘制) 三次抛物线的方程为，试探讨参数a和c对其图形的影响。 22、 做出下列函数的图像： （1），（分别用plot、fplot） （2）（用参数方程）t=0:0.001:2*pi;x=2*cos(t);y=4*sin(t);plot(x,y); (3) 在同一图形窗口中，画出四幅不同图形（用subplot命令）：，（）实验二二元函数的图形【实验目的】1 了解二元函数图形的制作。2 空间曲面等高线的制作。3 了解多元函数插值的方法。4 学习掌握MATLAB软件有关的命令。1.画出空间曲线在范围内的图形，并画出相应的等高线。 clear;x,y=meshgrid(-30:1/10:0,0:1/10:30);z=(10*sin(sqrt(x.2+y.2)/sqrt(1+x.2+y.2);mesh(x,y,z);、clear;x,y,z=peaks;x,y=meshgrid(-30:1/10:0,0:1/10:30);z=(10*sin(sqrt(x.2+y.2)/sqrt(1+x.2+y.2);mesh(x,y,z);contour3(x,y,z,12,k);xlabel(x-axis),ylabel(y-axis),zlabel(z-axis);title(contour3 of peaks);2.根据给定的参数方程，绘制下列曲面的图形。a) 椭球面clear;u,v=meshgrid(-pi:pi/100:pi,-pi:pi/100:pi);x=3.*cos(u).*sin(v);y=2.*cos(u).*sin(v);z=sin(u);mesh(x,y,z); b) 椭圆抛物面clear;u,v=meshgrid(-pi:pi/100:pi,-pi:pi/100:pi);x=3.*u.*sin(v);y=2.*u.*cos(v);z=4.*u.2;mesh(x,y,z); c) 单叶双曲面clear;u,v=meshgrid(-pi:pi/100:pi,-pi:pi/100:pi);x=3.*sec(u).*sin(v);y=2.*sec(u).*cos(v);z=4.*tan(u);mesh(x,y,z);d) 双曲抛物面clear;u,v=meshgrid(-pi:pi/100:pi,-pi:pi/100:pi);x=u;y=v;z=(u.2-v.2)/3;mesh(x,y,z); e) 旋转面clear;u,v=meshgrid(0:pi/100:pi,-pi:pi/100:pi);x=log(u).*sin(v);y=log(u).*cos(v);z=u;mesh(x,y,z) f) 圆锥面clear;u,v=meshgrid(0:pi/100:pi,-pi:pi/100:pi);x=u.*sin(v);y=u.*cos(v);z=u;mesh(x,y,z) g) 环面clear;u,v=meshgrid(-pi:pi/100:pi,-pi:pi/100:pi);x=(3.+0.4.*cos(u).*cos(v);y=(3.+0.4.*cos(u).*sin(v);z=0.4.*sin(v);mesh(x,y,z) h) 正螺面clear;u,v=meshgrid(-pi:pi/100:pi,-pi:pi/100:pi);x=u.*sin(v);y=u.*cos(v);z=4.*v;mesh(x,y,z) 3.在一丘陵地带测量高程,x和y方向每隔100米测一个点,得高程见表1,试拟合一曲面,确定合适的模型,并由此找出最高点和该点的高程.表1 高程数据y x100200300400100200300400636698680662697712674626624630598552478478412334 实验三 极限与连续（基础实验）实验目的 :通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Matlab画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.1分别画出坐标为的散点图, 并画出折线图.2 画出前25个素数的散点图.数列极限的概念3观察Fibonacci数列的变化趋势.4 研究极限5 设数列与由下式确定:, , ()观察与的极限是否存在.6讨论极限7. 在MATLAB中求下列极限（写出MATLAB命令和运行结果）(1) （2） 8计算极限(1) (2) (3) (4) (5) 9讨论下列函数在指定点的连续性：（1）函数在处的连续性；（2）函数在处的连续性； 实验四 导数（基础实验）实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用Matlab求导数与高阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.1 用定义求的导数.2 求函数与的微分.3函数在区间1,2上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此存在使可以验证这个结论的正确性.4验证拉格朗日定理对函数在区间0,1上的正确性. 5证明:对函数应用拉格朗日中值定理时, 所求得的点总是位于区间的正中间. 6求下列函数的导数:(1) ; (2) .7求下列函数的一、二阶导数: (1) (2) 8.根据要求在MATLAB中求下列函数的导数（写出MATLAB命令和运行结果）(1) ，求 (2) ，求 9求下列函数的导数:(1) ，求（2）设，求 (3) ，求 (4)设，求 10 在MATLAB中计算下列不定积分（写出MATLAB命令和运行结果）(1) (2) 11计算下列定积分（写出MATLAB命令和运行结果）（1） (2) 11解下列微分方程 （1） (2)计算初值问题： 12求下列函数在指定点的泰勒展开式（1） (2)在处的阶式 实验五 导数的应用（基础实验）1 已知多项式，求：（1）的根； (2) 在闭区间-1,2上的最小值； （3），和； （4）的导数。2 已知函数,在区间上画出函数的图形, 并找出所有的驻点和拐点.求极值的近似值3 求函数的位于区间内的极值的近似值.即得到函数的两个极小值和极小值点. 再转化成函数y的极大值和极大值点. 两种方法的结果是完全相同的.泰勒公式与函数逼近4 利用泰勒公式近似计算. 若,要求截断误差问n应取多大? 5 观察函数各阶泰勒展开的图形.(1) 固定,观察阶数n的影响; (2) 扩大显示区间范围, 以观察在偏离展开点时泰勒多项式对函数的逼近情况;（3）固定,观察的影响. 项目六 多元函数微积分1、多元函数微分学.求多元函数的偏导数与全微分1.1求函数的导数:(i) ;clear;syms x y zz=x2*exp(-y);dz_dx2=diff(diff(z,x),x)dz_dx2 = 2*exp(-y)(ii) ；(iii) 1.2设,求clear;syms x y u vf1=exp(u)+u*sin(v)-x;f2=exp(u)-u*cos(v)-y;du_dx=-diff(f1,x)/diff(f1,u)du_dy=-diff(f2,y)/diff(f2,u)dv_dx=-diff(f1,x)/diff(f1,v)dv_dy=-diff(f2,y)/diff(f2,v)Result: du_dx =1/(exp(u)+sin(v) du_dy =1/(exp(u)-cos(v) dv_dx =1/u/cos(v) dv_dy =1/u/sin(v)1.3 根据要求下列函数的偏导数:(1)设 ，求; (2)设，求 (3)设，求; (4)计算 （5）设确定函数，求。 微分学的几何应用1.3 求出曲面在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.1.4求曲面在点处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里. 多元函数的极值1.5求的极值. 1.6 求函数在条件下的极值. 2、多元函数积分学计算重积分2.1求下列函数的积分： (1） （2） (3），由曲面，所围成。(4) （5） 重积分的应用2.2 求由曲面与所围成的空间区域的体积. 求其中由和围成 2.3 在平面内有一个半径为2的圆, 它与轴在原点相切, 求它绕轴旋转一周所得旋转体体积. 计算曲线积分2.4求 , 其中积分路径为: (注意到,弧长微元, 将曲线积分化为定积分) 计算曲面积分2.5计算曲面积分, 其中为锥面被柱面所截得的有限部分.(注意到,面积微元, 投影曲线的极坐标方程为将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.) 2.6计算曲面积分 其中为球面的外侧. 分析：其中表示球面得上半部分；则 3 最小二乘拟合目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理. 学会观察给定数表的散点图, 选择恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理给定平面上的一组点寻求一条曲线使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求使达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式其中称为拟合函数的基底函数.为使取到极小值, 将的表达式代入, 对变量求函数的偏导数, 令其等于零, 就得到由个方程组成的方程组, 从中可解出曲线拟合3.1 为研究某一化学反应过程中温度对产品得率的影响, 测得数据如下:x100110120130140150160170180190y45515461667074788589试求其拟合曲线.clear;x=100 110 120 130 140 150 160 170 180 190;y=45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 ;plot(x,y);p,s=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p,x);hold on;plot(x,y1,r);p = 0.4830 -2.7394s = R: 2x2 double df: 8 normr: 2.6878 3.2 给定平面上点的坐标如下表:试求其拟合曲线. 3.3已知lg(x)的1，101区间11个整数采样点的函数值如下表试求lg(x)的5次拟合多相式p(x)，并分别绘制出lg(x)和p(x)在1，101区间的函数曲线 项目七 无穷级数与微分方程 1 无穷级数 目的 观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Matlab求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法. 数项级数1.1(1) 观察级数的部分和序列的变化趋势. (2) 观察级数的部分和序列的变化趋势. 1.2 设 求.1.3 求下列级数的和：， ， 函数的幂级数展开1.5将函数展开为的幂级数，分别展开至5次和20次。 1.6将函数展开为的幂级数，为任意常数。展开至4次幂。 1.7将函数展开为的幂级数。1.8将函数展开成的幂级数，取前10项。 1.9求函数在上的傅立叶级数。1.10求出函数在区间上的前11个傅立叶系数，即5。 2 微分方程目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Matlab求微分方程及方程组解的常用命令和方法. 求解微分方程2.1求微分方程 的通解.clear;syms x ydsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2)ans =(1/2*exp(-x*(x-2*t)+C1)*exp(-2*x*t)2.2求微分方程在初始条件下的特解.clear;syms x yds