结构力学第8章渐近法及其它算法简述.ppt

基本要求：熟练掌握用力矩分配法计算连续梁与无侧移刚架； 了解无剪力分配法计算符合条件的有侧移刚架； 了解近似法计算多层多跨刚架的基本假定及步骤； 了解连续梁线。 教学内容：力矩分配法的概念 多结点力矩分配法 无剪力分配法 近似法 连续梁的影响线 第8章 渐近法及其它算法简述 8.1 力矩分配法的基本概念 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。 一、基本概念 1.转动刚度SAB：使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 1 SAB=4i 1 SAB=3i SAB=i 1 SAB=0A B BA BA AB SAB与杆的线刚度i（材料的性质、横 截面的形状和尺寸、杆长）及远端支 承有关，而与近端支承无关。 SAB=4i 1 2.传递系数CAB：远端弯矩与近端弯矩的比值。 4i近端弯矩 其中： 2i远端弯矩 传递系数： A B MAB=4 i MBA=2 i AB MAB=3i MBA=0 传递系数： MAB=i MBA= -i AB 传递系数： 分配系数计算公式的推导用位移法求解该结构。 未知量： 杆端弯矩： 建立方程： M M12M14 M13 3.分配系数 ：某杆的转动刚度与该结点所有杆件转动刚度之和的比值。 每个杆端 的转动刚度 围绕“1”结点每个杆端 的转动刚度之和 分母是围绕“1”结点每个 杆端的转动刚度之和 分子是 每个杆 端的 转动 刚度 解方程，得： 回代，得： 求各杆的分配系数 计算公式： 显然 求近端弯矩 M=分配系数结点力矩 求远端弯矩 M=传递系数近端弯矩 二、单结点的力矩分配 例1.用力矩分配法计算图示连续梁。 由MB=0求得附加刚臂中的约束力矩： 解：(1)先在结点B加一附加刚臂( 图(b)使结点B不能转动，此步骤 常称为“固定结点”。此时各杆端 产生的固端弯矩： MFB=180- 100=80kN.m (2)为了消除约束力矩MFB，应在结点B处加入一个与它大小相等方向 相反的力矩MB=-MFB(图(c)，在约束力矩被消除的过程中，结 点B即逐渐转动到无附加约束时的自然位置，故此步骤常简称为 “放松结点”。将图(b)和图(c)相叠加就得到图(a)中的结果。 对 于图(c)，可用上述力矩分配法的基本运算求出各杆端弯矩。 计算各杆端分配系数： SBA=3iBA=32EI/12=EI/2 SBC=4iBC=4EI/8=EI/2 BA=SBA/(SBA+SBC)= 0.5 BC=SBC/(SBA+SBC)= 0.5 (3)最后将各杆端的固端弯矩(图(b)与分配弯矩、传递弯矩(图(c) 相加，即得各杆端的最后弯矩值。 三、计算步骤 1.在刚结点上增加阻止转动的附加刚臂，把连续梁分解为具有固定端 的单跨梁； 2.计算结点处各杆件的弯矩分配系数； 3.计算各杆的固端弯矩和结点处附加刚臂中的约束力矩； 4.把结点处的约束力矩取反加在结点处，计算分配弯矩与传递弯矩； 5.计算实际的各杆端弯矩。 近端弯矩=故端弯矩+分配弯矩 远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩 例2.用力矩分配法计算图示刚架, 画M图。 解：1）求分配系数 2）计算固端弯矩 A B C D 2m 3m 2m4m i=1i=1 i=2 40kN/m 100kN 15kN.m M=15 MA 结点 BACD 杆端 分配系数 BAABADACCADA 4/93/92/9 分配与传递20 固端弯矩-5050-80 101510-10 最后弯矩-4070-6510-10 M图（kN.m) 40 70 100 10 80 A B C D 45 47.5 65 例3.用力矩分配法作图(a)所示封闭框架的弯矩图。已知各杆EI等于常数。 解：(1)计算固端弯矩 (2)计算分配系数 分配系数： 转动刚度： (3)进行力矩的分配和传递，求最后杆端弯矩。 (4)作弯矩图。 一、原理与方法（轮流放松、逐次分配） 8.2 多结点力矩分配法 多结点力矩分配法的思路是，首先把所有结点锁住，然后依次 逐个放松结点，使结构处于“单结点”状态，再使用力矩分配法消去 结点上的不平衡力矩，如此反复进行，使结点不平衡力矩逐渐减小 ，直至可以忽略，因此，它是一种渐近法。 二、计算步骤 1.计算各结点的分配系数； 2.将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩； 3.将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力矩，直到传递 弯矩小到可忽略为止； 4.把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的固端弯矩相加， 即为各杆端的最后弯矩。 例1.用力矩分配法计算图示连续梁。 0.430.570.50.5 4.0-2.00.00.00.00.0-4.0 0.861.140.57 0.700.940.47 -3.29-1.65-3.28 -1.64 -0.12 -0.23 -0.24 -0.12 0.07 0.05 -1.770.39-3.52-2.48-0.39-4.04.0 分配系数 固端弯矩 分配与传递 最终弯矩 iii 4m4m2m2m2m 6 kN.m 2 kN 2 kN/m MF= -ql2/8+M/2 = -4+2= -2kNm 结点B： SBA=3iBA=34EI/2=6EI SBC=4iBC=49EI/3=12EI BA=SBA/(SBA+SBC)=1/3 BC=SBC/(SBA+SBC)=2/3 例2.试用力矩分配法作图(a)所示连续梁的弯矩图。 解：(1) 计算分配系数 结点C： SCB=SBC=12EI SCD=4iCD=44EI/2=8EI CB=SCB/(SCB+SCD)=3/5 CD=2/5 (2)计算固端弯矩 MFBA=3Pl/16=18.75kNm MFBC= -ql2/12= -15kNm MFCB=ql2/12 =15kNm 例5.利用对称性求图示刚架的弯矩图。 解：（1）利用对称性取半边结构进行计算（2）计算分配系数 结点C： （3）计算固端弯矩 （4）进行力矩分配与传递 （5）利用对称性绘制弯矩图 例6.图示等截面连续梁，EI=36000kN.m2,在荷载作用下， 要使梁中间跨的最大正弯矩和支座负弯矩绝对值相 等，B、C支座应升降多少？ 解：（1）利用对称取半边结构计算 （2）设B、C下沉位移为 （3）用力矩分配法求解 求固端弯矩 分配系数 固端弯矩 分配与传递 最后弯矩 求分配系数 进行力矩分配与传递，求最后弯矩 小 结 1）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常 宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。 2）支座沉降而非载荷因素问题时，将其视为“广义载 荷”求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静 定梁的杆端内力表求得）。 3）对于对称结构，可取半边结构简化计算。 一、应用条件 8.3 无剪力分配法 无剪力分配法用来求解某些特殊的有侧移刚架（有侧移杆件均 为剪力静定杆），是力矩分配法的特殊形式。 刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，有侧移杆件 均为剪力静定杆。 力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架的渐近法； 无侧移杆件：杆件两端没有相对线位移（即没有垂直杆轴的相对位 移）的杆件； 剪力静定杆：杆件两端虽有侧移，但剪力是静定的，即可根据静力 平衡条件直接求出剪力的杆件。 A BB CC A （a）原结构 2FP 2FP （b）正对称 FP FP FP FP = + 可取半刚 架计算。 （d）半刚架 FP FP 分解为正、 反对称问题 弯矩等于零， 不必计算 FP FP FP FP （c）反对称 有侧移的柱剪力是 静定的，可用无剪 力分配法计算。 取 例： FP FP FP A D C B （a） A D C B FP 2FP 3FP （b） 无剪力分配法可以解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应与 柱平行的问题。也可以推广到单跨多层对称刚架等问题。 对图示有侧移刚架，则不能直接应用无剪力分配法。因竖柱 AB、CD既不是两端无线位移杆件，也不是剪力静定杆件，不符合 无剪力分配法的应用条件。 A B D C EFP 例1. 已知EI=常数，用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。 解：（1）求力矩分配系数 （2）求固端弯矩 （3）力矩分配与传递，绘制弯矩图。 8.5 近似法 分层法计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩 反弯点法计算刚架在水平荷载作用下的弯矩（ib/ic3） D值法计算刚架在水平荷载作用下的弯矩（ib/ic3） 刚架在竖向荷载作用下，为简化计算作如下假设： 1）结点的位移主要是转角，侧移很小可忽略不计； 2）作用在本层梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影响， 对其它层杆件的影响很小可忽略不计。 一、分层法 在上述假设前提下，把多层刚架分解成一层一层单独 计算，然后把每层弯矩图叠加。 根据以上假设，计算可作如下简化： 1）计算方法：由于刚架的侧移被忽略，因此可以用力矩 分配法计算。 2）计算简图：由于荷载只对本层梁及上下柱有影响，因此 计算简图只需取相关部分即可。 例： 取 例： + + + + q 取 q 5678 123 4 q 5678 1234 9101112 5678 9101112 13141516 101112 181920 141516 q 9 17 13 2）计算分配系数时，除底层柱以外其余各层柱的线刚度要 乘折减系数0.9，传递系数取1/3。一层柱子的线刚度不 需折减，传递系数取1/2。 1）按上述4个计算简图，分别用力矩分配法进行计算 3）对4个计算结果进行叠加，主要是一层以上柱端内力应 是两部分之和。 4）柱子弯矩由于叠加后，在结点处就不平衡了，这就需要在 结点处再进行一次分配，称为“弯矩调幅”，但不需再传递。 计算时要注意以下问题： 以“1”结点为例 ： 计算简图1，力矩分 配法的计算结果。 两者叠加后“1” 结点的结果。 计算简图2，力矩分 配法的计算结果。 “1”结点的一 次 分配结果。 1 0.4 0.6 10 3 -1.2 11.8 -10 -1.8 -11.8 二、反弯点法 刚架在水平荷载作用下弯矩计算的近似方法。 刚架在水平荷载作用下弯矩图有以下的特点： 1）弯矩图全是直线组成； 2）柱子的剪力沿杆长是常数； 3）柱子的弯矩图全有反弯点； 4）结点位移主要是侧移，转 角很小。 FP FP FP FP 为了简化计算，作如下假设： 1）刚架在水平荷载作用下，结点只有侧移，转角为零； 2）柱子反弯点的高度在柱高的1/2处，底层柱在柱高的 2/3处。 解释一下，第2个假设： 反弯点在中间 两端固定单元 一端固定一端铰结 反弯点在柱顶 一层以上柱，由于假 设转角为零，因此全 是两端固定单元，因 此反弯点在柱中。 一层柱由于底部是真 正的固定端，而上部 刚结点与固定端有一 定的误差，因此反弯 点上移取2/3柱高。 对每根柱子若已知了反弯点的高度，又知道了剪力的 话，其弯矩图就可画出。柱的弯矩知道了，梁的弯矩就可 利用结点平衡求出。 1）求柱的剪力 例如求第三层柱的剪力 取nn截面： FP FP FQ34FQ33FQ31FQ32 FP FP FP FP 1234 1 2 3 4 nn 其中任意根柱的剪力： 把代入式，得： 把3代入式，得： 其中“3”表示第3层。 FP FP FQ34FQ33FQ31FQ32 由上分析得到任意层任意根柱的剪力计算公式： 其中： 第r层第i根柱子的剪力分配系数。分子 为第r层第i根柱子的线刚度，分母为第 r层所有柱子线刚度之和。 第r层以上所有外荷载之和。 2）梁的弯矩 在结点处按梁的线刚度分配柱子的弯矩。 为I结点处第i根梁的线刚度。 其中：为I结点处所有梁的线刚度之和。 ML 2 ML1 MZ 例.用反弯点法计算图示刚架的弯矩， 所有杆件的i均相同。 解：1）求柱的剪力 2）求柱的弯矩 10 10 10 123 456 789 101112 3.03.03.0 3）求梁的弯矩 1 5 5 5 2 5 10 5 5 15 10 4 M图 8.6 超静定力的影响线 则： Z1(x) = P1(x) Z1（x） (b) 11=1 P1（x） (c) （2）沿Z1正方向产生单位位移如图 （c）（为状态2） W12= Z11 1 P1 W21= 0 由功的互等得：W12=W21 （1）去掉约束以未知力Z1代替如图 （b）（为状态1） 所得虚位移图即量值Z的影响线，虚位移图形状即量 值Z的影响线的轮廓线。 例：虚位移原理计算(a)图中B支座反力 Z1=1 P=1 x B (a) P=1 x 一、作图方法机动法 二、机动法作影响线步骤 : 1.撤去与约束力Z1相应的约束， 2.使体系沿Z1的正方向发生单位位移，作出荷载作用点的 位移图P1 图，所得位移图的形状即为Z1的影响线的轮 廓线。 3.横坐标以上图形为正，横坐标 以下图形为负。 静定力的影响线是对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线； 超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。 MC 11 MK11 RC RC QC右 P=1 x ABCDEF ABCDEF MC ABCDEF MK K ABCDEF ABCDEF P=1 x MK RC K MC MCmin ABCDEF 三、最不利活荷载布置 MKmax RCmax 1.跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载,向两边每隔 一跨有活载。 2.支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两 跨有活载,向两边每隔一跨有活载。 绘出该量值的影响线，在对应影响线的所有正号部分布 满均布活载，所有负号部分不布置时，该量值产生最大值； 反之，在对应影响线的所有负号部分布满均布活载，所有正 号部分不布置时，该