空间中平面及直线的方程.ppt

上页下页铃结束返回首页 1.平面的方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 法向量. 量 则有 故 5-3 空间中平面与直线的方程 上页下页铃结束返回首页 平面的点法式方程（1）可以化成 例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是： 即 上页下页铃结束返回首页 补例 求过三点 即 解 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 上页下页铃结束返回首页 例2 已知一平面的方程为 解 于是 平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图 形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为 n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平 面的一个法线向量. 上页下页铃结束返回首页 例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程. 解 先在平面上任意选定一点， 比如（-3，1，1）.则有 平面的三点式方程 已知不在同一直线上的三点 与 不共线, 即 以 作为所求平面的法向量. 设 是平面上任一点, 显然 垂直于 此混合积的坐标 形式为: 上页下页铃结束返回首页 例4 设已知三点 求过该三点 的平面方程. 解 所求的平面方程是 上页下页铃结束返回首页 特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 上页下页铃结束返回首页 平面的截距式方程 同理求得 平面的截距式方程为 例6 x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是 该平面在第一卦限内的部分如图. x y z o 两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面1和2的夹角 应满足 两平面的法向量的夹角(通常指锐角 )称为两平面的夹角. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的 充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0. 两平面垂直的条件 两平面平行的条件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的 充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦: 上页下页铃结束返回首页 例8 试决定常数 与 使得平面 解 两平面垂直要求其向量垂直，即有 分析： 点M在直线L上点M同时在这两个平面上, 点M的坐标同时满足这两个平面的方程. 2. 直线方程 空间直线可以看作是两个平面的交线. 设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 这就是空间直线的一般方程. 来表示. 那么直线L可以用方程组 空间直线的一般方程. 上页下页铃结束返回首页 例9 联立方程 表示平行于yoz坐标面的平面 表示平行于xoz坐标面的平面 的解是(3,4,z),其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它平 行于z轴. x y z o 3 4 上页下页铃结束返回首页 代表平面y=5x+1 与平面y=x-3的交线. 例10 联立方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做 这条直线的方向向量. 方向向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. 当直线L上一点M0(x0, y0, x0)和它的一 方向向量s=(m, n, p)为已知时, 直线L的 位置就完全确定了. 确定直线的条件 求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方 程. (x-x0, y-y0, z-z0)/s , 从而有 这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程或标准方程. 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一 组方向数. 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦. 则从M0到M的向量平行于方向向量: 设M(x, y, z)为直线上的任一点, 直线的标准方程. 通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程: 此方程组就是直线的参数方程. 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 直线方程为例如, 当 上页下页铃结束返回首页 例11 将一般方程 解 先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 化成标准方程及参数方程. 上页下页铃结束返回首页 故所给直线的标准方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角j满足 两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0; 则 方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦: 提示： 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线 的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定 直线与平面的夹角为90. 设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平 面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平 面的夹角j 满足 方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面 的夹角j 满足 直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面 的法线向量为 n=(A, B, C), 则 L/ Am+Bn+Cp=0. 分析： 因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例, 所以对于任何一 个l值, 上述方程的系数不全为零, 从而它表示一个平面. 分析： 对于不同的l值, 所对应的平面也不同, 而且这些平面都 通过直线L, 即这个方程表示通过直线L的一族平面. 分析： 另一方面, 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过 L的平面族中. 平面束 考虑三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0, 其中l为任意常数. 其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. 设直线L的一般方程为 上页下页铃结束返回首页 补例. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程 从中选择 得 这是投影平面 即 使其与已知平面垂直： 从而得投影直线方程 上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体, 称为平面 束. 平面束 考虑三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA