多元微积分期中试卷

A一、选择题（4分，共16分1、下列不等式成立的是（D

2lnxdx2(lnx)2dx 1exdx1(x1)dx

0ex2dx0exdx 2sinxdx2xdx 2、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 x2y3fx2y

x2y2x2y2

，则下列说法正确的是（

f(x,y)处处连续

f(xy处处有极限，但不连续

f(x,y)仅在（0,0）点连续

f(x,y除（0,0）点外处处连续4、下列积分计算正确的是（ 1 1 dx dx01 111(C) 11x

dx2

1dx发散二、填空题（4分，共20分 1f(x在闭区间[0,1连续，若a1xfx2dx1f

则a 2、极限

1323...

43、1.99932.0022

4、设

2

1所围成的闭区域，则

(xy)ln(x2y2x2y2

dxdy 5、已知f(x)cosx2f(x)dx，则2f(x)dx 2三、计算下列积分（每小题6分，共24分1、1000 解：原式1t2dett2et121tetdte2100 e2tet121etdte2et e2、4 dxx1xxxx

t，t:1t

2t 2

1 2原式1t2t2tdt211tdt21(t11tdt232dxxsinxdy4dx2sinx

2ln312ln21 2 2解：由于sinxdy2221124

4(D原式sin2ydxdy1D

dx2 4D

1x2y2dxdy，其中D

1x2y243 解：原式=2

1r2rdr(1r2)2616

565

2四、计算题（6分，共24分1、过点2,1作抛物线y

x1xxy1x2yOyO x2V

21x

dx

2x1dxπ02 xtf2F(x

x

f(tf(0 x请计算常数cF(x连续x解：limF(xlim0tf(t)dtlimxf(x)1f(0)x

F(x

climF(x)0 x 2 3z

fxy,y，fuv具有二阶连续偏导数，求xxyzyf1f y2z yxf

f1f1xf

y212 y2 y y2f22x x1f11

z 4Fu,v具有连续的偏导数，zzxyFxyyx0xxyy z 解：由Fx ,y 0两边分别对x和y求导，可 F11zF 1 yx

2 F 1z 1y2yyF2 由上两式，得1F1Fxz x y1 xzyzzxy 五、应用题（10分元)与费用x1(万元)及报纸费用x2(万元)之间的关系有如下的经验：R1514x132x28x1x2（5若提供的费用为1.5万元，求相应的最优策略.（5分）解(1)利润函数1513x31x8xx2x2 1 Lx14x18x213Lx28x120x20x10.75(万元)x21.25(万元2

2

2又A 4,B 8,C

x

1 ACB2160A0，故点(0.75，1.25)(2)做日函F,x Lx1,x2113x1Fx1138x24x10x10x2

Fx2318x120x2Fx1x2即费用1.5万元全部用于报纸，可使利润最大六、证明题（6分）f(x在区间[abg(x在区间[ab上连续且不变号，证明至少存在一点[a,b]，使下式成立 af(x)g(x)dxf()ag(x)dx证明：1）g(x2）g(x在区间[ab上大于等于零（但不恒等于零f(x在区间[ab的最小、最大值分别是mM，g(g(x)