第三篇非数学专业历年考研试题.doc

资料来源于 绿色资源网 WWW. downcc全国部分高校数学专业考研试题第一部分 多项式相关1师大2000 设都是数域上的多项式，与互质，与被所除得到余式相同。证明与的积与互质。2师大2001 对任意非负整数，证明 3师大2001 设是整系数多项式。与均为奇数，与中至少有一个为奇数，证明无有理根。4南京理工05 设是奇素数，试证在有理数域上不可约.5浙江2000是数域上的不可约多项式（1），且与有一公共复根，证明：。（2）若及都是的根，是的任一根，证明：也是的根6大连04设R,Q分别表示实数域和有理数域，属于.证明：a.若在中有,则在中也有。b.在中互素，当且仅当在互素。c.设是中不可约多项式，则的根都是单根。7兰州04设和是数域上的两个不完全为零的多项式。令 证明：（1）关于多项式的加法和乘法封闭，并且对于任意的和任意的k(x) F(x),有； (2)中存在次数最小的首项系数为1的多项式,并且。8上海03 假设被整除。证明：被整除9浙江03 设是一个整系数多项式。证明：若存在一个偶数及一个奇数，使得与都是奇数，则没有整数根10中科院02 设，且，其中均为实系数多项式。证明：（i）；（ii）；（iii）。11南京理工05 判断是的几重根. 12北京83 设是相异的整数，证明多项式在有理数上不可约13复旦99 设是整系数多项式时素数，若可以整除但不能整除，且不能整除；求证是有理数域上的不可约多项式。14中科院05 求7次多项式，使得能被整除，而能被整除.15云南04 设都是实系数多项式满足：证明都能被整除16东南04 设为互不相同的整数1求证在有理数域上不可约。2 对整数问自有理数域上是否可约为什么/17假设被整除。证明：被整除 18天津师大02 设是整系数多项式,与均为奇数,与中至少有一个为奇数,证明无有理根.90第二部分 行列式1北科05 计算行列式：.2南理工05设是级矩阵且，试证：的行列式.3同济03（1）设，求x。）（2）设，求。4华东师大05 计算行列式5兰大04 计算下列行列式的值 6同济98 设，求7同济2000 设，求8云大04 计算行列式9浙大04 计算n级行列式（1）(2)10 浙大200011天津师大99 计算行列式已知12天津师大2000 计算下列行列式1） 2）13天津师大01 求阶行列式14天津师大02 计算下列行列式 （注：上面的满足如下条件 设，那么当的时候，；当时，15南开03 计算下列行列式 （）16南开04 设阶行列式 且满足对任意的求 17南开02 第三部分 方程组1北大83 用导出组的基础解系来表出线形方程组得一般解2东南04 已知齐次线形方程组其中，试讨论满足何种条件时：1） 方程只有零解。2） 方程有非零解，又基础解系写出一般解。3南理工05 取什么值时,线性方程组有解，并写出一般解。4南理工05设, , 如果线性方程组的解全部是的解. 试证可由线性表出.5同济2000 问K取何值时，下方程组。（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多组解。这时求它的通解，其中，。6华中科技05解线性方程组 其中为互不相等的数7华中科技05 设为矩阵,为维列向量,证明有解的充分必要条件是对满足的维列向量也一定满足.8南开04 设的行向量组是线性方程的解.令表示中划掉第列的阶行列式.证明:(1) 的行向量组不是的基础解系.(2) 令,求9天津师大01 当取怎样的数值时,下列齐次线性方程组有非零解?对的这样的取值求方程组的非零解.10天津师大01 设A为m行n列矩阵,如果对于任意m行n列矩阵B,线性方程组AX=B都有解,证明A的秩等于m.11天津师大00 设A为n阶可逆矩阵,为A的伴随矩阵,为A划去前m行后得到的矩阵(0mn).记为的第i列,(1) 证明为齐次线性方程组的基础解系.(2) 当A不可逆时,有没有类似的结论(结论要具体,但不必证明). 12天津师大99 设A为数域F上的m行n列矩阵,为数域F上的m行n列矩阵,线性方程组有解,是导出方程组的一个基础解系,证明 (1)是的s+1个线性无关的解; (2) 的任一解可表示成的线性组合. 第四部分 矩阵 1天津师大02 设矩阵满足如下条件求矩阵. 2南开03 设为数域上的可逆矩阵,令试证明: 3南开04 设分别为数域上的矩阵和矩阵,令.证明:如秩,则数域上存在一个秩为的矩阵,满足对于数域上任何阶方阵, 4天津师大00 设(1) 求矩阵的秩;(2) 求矩阵,使的秩且,其中;5天津师大 设A为m行n列矩阵,A的秩r(A)=m.(1) 证明A可以通过列的初等变换化为矩阵B=(I 0),其中I为m阶单位阵;(2) 证明存在n行m列矩阵C，使AC=I;(3) 当时,求C,使得AC=I.第五部分 线性空间1天津师大03 设V是数域F上的向量空间，是V中三个线性无关的向量,，W=L(即W是由生成的空间).(1)设,AB=I(3阶单位阵),求A与B;(2)将表示成的线性组合;(3)证明是W的一个基. 2天津师大02 设为数域F上的全体n阶矩阵所成的向量空间, .令(1)证明W是的一个子空间;(2)设为3阶单位矩阵,证明为W的一个基;(3)W是由生成的,即 3南开02 求下面向量组的所有极大线性无关组4天津师大01 设F是一个数域,.(1) 证明是的一个子空间;(2) 当时,求的一个基与的维数.5天津师大00 设V是数域F上的n维向量空间，与都是V的 维子空间.(1) 证明存在向量,使,其中是向量 生成的子空间.(2) 试把上面的结论加以推广.6天津师大99 设A为数域F上的m行n列矩阵.,为的子空间,.证明(1) 是的子空间,而是的子空间;(2)第六部分 线性变换1天津师大03 设b+,那么是的一个线性变换.(1) 证明可以对角化;(2) 求的一个基,使关于这个基的矩阵为对角阵;(3) 求的一个二维不变子空间. 2天津师大04 设定义 (1) 证明是的一个线性变换;(2)求关于的基的矩阵A;(3)求,并在中取一个基,再扩充成的一个基,求关于这个基的坐标;(4)求,并证明在之下不变.2天津师大04 设.(1)若A有3个线性无关的特征向量,求应满足的条件;(2)设求(3)设分别为3阶矩阵B的属于特征值2,2,的特征向量,求矩阵B;(4)当为正整数时,求.3天津师大02 设V是数域F上的向量空间,是V的一个线性变换,是的一个基.证明(1) 是W的一个基; (2) 4 天津师大02 设F是一个数域. (1) 证明是的一个线性变换;(2)求关于的基的矩阵;(3)证明可以对角化,并且求的一个基,使关于这个基的矩阵是对角阵. 5南开02 设V是n维线性空间,是线性变换,且证明如果有n个不同特征值,则V中存在由的特征向量构成的基.6南开03 设数域P上的3维线性空间,线性变换在V的基下的矩阵为.(1) 求线性变换在V的基下的矩阵;(2) 求线性变换的特征值和特征向量;(3) 线性变换可否在V的某组基下矩阵为对角形,为什么?7南开03 设数域P上的3维线性空间,线性变换在V的基下的矩阵为,问可否在V的某组基下矩阵为为什么?8南开03 设，已知在中的中心化子是的子空间。证明：当为实对称矩阵时，的维数，且等号成立当且仅当有个不同的特征值.9南开04 设为数域P上二阶方阵,定义上变换如下:.(1) 证明为线性变换;(2) 求在基下的矩阵,其中.(3) 证明必以0为特征值,并求出0作为的特征值的重数.10南开04 设为维复线性空间.是上一些线性变换组成的非空集合.已知中的元素没有非平凡的公共不变子空间.又线性变换B满足证明: 必存在复数使得,其中为恒等变换. 11南开04 在实维线性空间中是否可能存在线性变换满足其中为单位变换.证明你的结论. 12天津师大01 设F是一个数域,(1) 证明A与B都可以对角化,且它们与同一个对角阵相似;(2) 求可逆矩阵与,使与为对角阵;(3) 求可逆矩阵,使.13天津师大01 (1)设V是数域F上的向量空间,是V的一个线性变换,证明如果有m个线性无关的特征向量,那么存在的一个不变子空间W,W的维数不小于m;(3) 设V是数域F上的三维向量空间,是V的一个线性变换, 关于V的一个基的矩阵为.求的一个二维不变子空间.14天津师大00 设是实数域上的2阶矩阵全体所成的向量空间，是上的线性变换,（1） 证明是的一个基；（2） 求关于基的矩阵；（3） 证明关于基的矩阵与关于基的矩阵相等.15天津师大00 设为实数域上的3维向量空间.为的一个基.为的线性变换. (1)求关于基的矩阵;(2)证明可以对角化;(3)求的一个基,使关于这个基的矩阵为对角阵. 16天津师大99 设判断在有理数域上是否可以对角化,如果可以对角化,求矩阵T使得为对角阵. 17天津师大99 设V是数域F上的维向量空间,且.是V的一个线性变换,且是零变换.证明:第七部分 二次型1天津师大03 设是n元实二次型, 与等价,证明(1) 的秩为偶数,符号差为零;(2) 与n元实二次型等价,其中2p等于的秩. 2天津师大04 设A为一个n阶实可逆矩阵,(1)证明对任一实n维非零向量,都有;(2)证明存在两个正交矩阵与,满足,其中.3 天津师大02 设A为n阶对称矩阵，复二次型通过变量的非奇异线性替换化为（1）求齐次线性方程组的一个基础解系；（2）当时，求满足条件的矩阵，求的基础解系.4南开02 设是正定二次型,是实二次型.证明:存在一个非退化线性变换把化为规范形,同时把化为标准型.5南开04 设为实系数二次型,的特征值为(二重)和(二重),且知和是属于的特征向量.求二次型6天津师大01 设为实二次型.(1) 证明是正定二次型;(2) 求变量的替换(其中),使得通过这个变量替换化为典范形式:7天津师大00 设实二次型 (1)试通过变量替换把化成典范形,写出变量替换式与典范形式.(3) 判断这个二次型的矩阵正负特征根个数.8天津师大99 把实二次型通过变量的替换:化为标准型(即形式的二次型).求出可逆阵P.9天津师大99 如果以阶实对称矩阵为矩阵的实二次型是正定的，那么就说是正定的。设是阶正定矩阵，是行列的实矩阵，且的秩.证明（1）是正定矩阵;（2）二次型的正负惯性指标分别为与.第八部分 欧几里德空间 1天津师大02 设那么是实数域R上的向量空间.,定义与的内积如下那么对所定义的内积构成了一个欧氏空间.令,求W的一个标准正交基. 2南开02 设V是n维欧氏空间,和是V的两个子空间,且维数大于的维数.证明: 中存在非零向量与中