冀教版九级上《第章解直角三角形》单元测试含答案解析.doc

第26章 解直角三角形一、选择题1tan60的值等于（）A1BCD22如图，在ABC中，C=90，AB=13，BC=5，则sinA的值是（）ABCD3如图，已知45A90，则下列各式成立的是（）AsinA=cosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA4如图，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为，ACBM于点C，下列式子：i=AC：AB；i=（ACDE）：EC；i=tan=；AC=iBC，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个5菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示AOC=45，OC=，则点B的坐标为（）A（，1）B（1，）C（ +1，1）D（1， +1）6如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A5cosBC5sinD7堤的横断面如图堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（）A1：3B1：2.6C1：2.4D1：28王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60，又知水平距离BD=10m，楼高AB=24m，则树高CD为（）A（2410）mB（24）mC（245）mD9m9某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30方向，且相距20海里客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60方向航行小时到达B处，那么tanABP=（）AB2CD10身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30454560A甲B乙C丙D丁11如图，在等腰RtABC中，C=90，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为（）A2BCD112如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200米B200米C220米D米二、填空题13如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是cm14如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=米15如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：，则该坡的坡角a=度16在ABC中，A，B都是锐角，且满足|sinA|+（cosB）2=0，则C的度数为17将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是18如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AEAC，AE=1，连接BE，则tanE=三、解答题（共66分）19根据下列条件解直角三角形：（1）在RtABC中，C=90，b=4，c=8；（2）在RtABC中，C=90，A=60，SABC=1220如图，在ABC中，C=90，sinA=，D为AC上一点，BDC=45，DC=6，求AB的长21如图，在RtABC中，C=90，D是BC的中点，DEAB于E，tanB=，且AE=6，求DE的长22如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45方向，求景点C到观光大道l的距离（结果精确到0.1km）23某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图，从山底B到山顶A的坡角是30，斜坡AB长为100米根据地形，要求修好的公路路面BD的坡度为i=1：5（假定A，D两点处于同一直线上）为了减少工程量，若AD20米，则直接开挖修建公路；若AD20米，就要重新设计问这段公路是否需要重新设计？24水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，B=60，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度25如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37方向C处，B岛在南偏东66方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：cos370.8，sin370.6，sin660.9，cos660.4）26如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是FDC=30，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）第26章 解直角三角形参考答案与试题解析一、选择题1tan60的值等于（）A1BCD2【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案【解答】解：tan60=故选C【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容2如图，在ABC中，C=90，AB=13，BC=5，则sinA的值是（）ABCD【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA为A的对边比上斜边，求出即可【解答】解：在ABC中，C=90，AB=13，BC=5，sinA=故选A【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3如图，已知45A90，则下列各式成立的是（）AsinA=cosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA【考点】锐角三角函数的增减性【分析】根据题意比较AC和BC的大小，根据锐角三角函数的概念写出A的3个三角函数，比较得到答案【解答】解：45A90，ACBC，sinA=，cosA=，tanA=，cosAsinAtanA，故选：B【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和性质，根据锐角三角函数的概念比较各个三角函数的增减性是解题的关键4如图，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为，ACBM于点C，下列式子：i=AC：AB；i=（ACDE）：EC；i=tan=；AC=iBC，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】根据坡度的定义i=tan=解答即可【解答】解：ACBM于点C，DEBC于E，i=tan=，AC=iBC，DE=iBE，ACDE=iBCiBE=CEi，i=，正确，故选C【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键5菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示AOC=45，OC=，则点B的坐标为（）A（，1）B（1，）C（ +1，1）D（1， +1）【考点】坐标与图形性质；菱形的性质【专题】数形结合【分析】根据菱形的性质，作CDx轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标【解答】解：作CDx轴于点D，四边形OABC是菱形，OC=，OA=OC=，又AOC=45OCD为等腰直角三角形，OC=，OD=CD=OCsinCOD=OCsin45=1，则点C的坐标为（1，1），又BC=OA=，B的横坐标为OD+BC=1+，B的纵坐标为CD=1，则点B的坐标为（+1，1）故选：C【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强6如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A5cosBC5sinD【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【专题】压轴题【分析】利用所给的角的余弦值求解即可【解答】解：BC=5米，CBA=AB=故选：B【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用7堤的横断面如图堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（）A1：3B1：2.6C1：2.4D1：2【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】坡度=垂直距离水平距离【解答】解：由勾股定理得：AC=12米则斜坡AB的坡度=BC：AC=5：12=1：2.4故选C【点评】此题主要考查学生对坡度的理解及运用8王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60，又知水平距离BD=10m，楼高AB=24m，则树高CD为（）A（2410）mB（24）mC（245）mD9m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】过C作AB的垂线，构造矩形和直角三角形运用三角函数求AE然后求解【解答】解：作CEAB于E，则BD=CE由俯角为60，可知FAC=60，ACE=60BD=10m，EC=10m在RtAEC中，AE=10mBE=ABAE=（2410）mCD=（2410）m故选A【点评】考查利用锐角三角形函数求物体的高度以及俯角的定义9某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30方向，且相距20海里客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60方向航行小时到达B处，那么tanABP=（）AB2CD【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】根据题意作出图形后知道北偏东30与北偏西60成直角，利用正切的定义求值即可【解答】解：灯塔A位于客轮P的北偏东30方向，且相距20海里PA=20客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60方向航行小时到达B处，APB=90 BP=60=40tanABP=故选A【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据实际问题整理出直角三角形并利用正切的定义求值10身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30454560A甲B乙C丙D丁【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【专题】计算题【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可【解答】解：如图，甲中，AC=140m，C=30，AB=140sin30=70m；乙中，DF=100m，D=45，DE=100sin45=5070.71m；丙中，GI=95m，I=45，GH=95sin45=67.18m；丁中，JL=90m，L=60，JK=90sin60=4577.9m可见JK最大，故选D【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，画出图形，直接根据解直角三角形的知识解答即可，要熟悉特殊角的三角函数值11如图，在等腰RtABC中，C=90，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为（）A2BCD1【考点】解直角三角形；等腰直角三角形【分析】作DEAB于E，先根据腰直角三角形的性质得到AB=AC=6，A=45，设AE=x，则DE=x，AD=x，在RtBED中，利用DBE的正切得到BE=5x，然后由AE+BE=AB可计算出x=，再利用AD=x进行计算【解答】解：作DEAB于E，如图，C=90，AC=BC=6，ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，A=45，在RtADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在RtBED中，tanDBE=，BE=5x，x+5x=6，解得x=，AD=2故选A【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰直角三角形的性质12如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200米B200米C220米D米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45，BD=CD=100米，再在RtACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长【解答】解：在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45，BD=CD=100米，在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30，AC=2100=200米，AD=100米，AB=AD+BD=100+100=100（1+）米，故选D【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形二、填空题13如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是cm【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】首先过点B作BDAC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案【解答】解：过点B作BDAC于D，根据题意得：AD=230=60（cm），BD=183=54（cm），斜坡BC的坡度i=1：5，BD：CD=1：5，CD=5BD=554=270（cm），AC=CDAD=27060=210（cm）AC的长度是210cm故答案为：210【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法14如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】根据解直角三角形的应用，测得它的俯角为45，利用得出AC=BC，即可得出答案【解答】解：在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米故答案为：100米【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出AC=BC是解决问题的关键15如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：，则该坡的坡角a=度【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】坡角的正切值即为坡度，由此可求得a的度数【解答】解：由题意，设坡角，tana=i=，故坡角a=30故答案为：30【点评】此题需要注意的是：坡度（即坡比）等于坡角的正切值；不要混淆概念16在ABC中，A，B都是锐角，且满足|sinA|+（cosB）2=0，则C的度数为【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方【分析】由非负数的性质可知：sinA=，cosB=，从而可求得A，B的度数，然后由三角形的内角和定理可求得C的度数【解答】解：|sinA|+（cosB）2=0，sinA=，cosB=A=45，B=30由三角形的内角和是180可知C=1803045=105故答案为：105【点评】本题主要考查的是特殊锐角三角函数值、三角形的内角和定理、非负数的性质的应用，求得A，B的度数是解题的关键17将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由BAC=ACD=90，可得ABCD，即可证得ABEDCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案【解答】解：BAC=ACD=90，ABCD，ABEDCE，在RtACB中B=45，AB=AC，在RtACD中，D=30，CD=AC，=故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用18如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AEAC，AE=1，连接BE，则tanE=【考点】正方形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义【专题】压轴题【分析】延长CA使AF=AE，连接BF，过B点作BGAC，垂足为G，根据题干条件证明BAFBAE，得出E=F，然后在RtBGF中，求出tanF的值，进而求出tanE的值【解答】解：延长CA使AF=AE，连接BF，过B点作BGAC，垂足为G，四边形ABCD是正方形，CAB=45，BAF=135，AEAC，BAE=135，BAF=BAE，在BAF和BAE中，BAFBAE（SAS），E=F，四边形ABCD是正方形，BGAC，G是AC的中点，BG=AG=2，在RtBGF中，tanF=，即tanE=故答案为：【点评】本题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题能正确作出辅助线也是解答关键所在，此题是一道不错的中考试题三、解答题（共66分）19根据下列条件解直角三角形：（1）在RtABC中，C=90，b=4，c=8；（2）在RtABC中，C=90，A=60，SABC=12【考点】解直角三角形【分析】（1）可先求得B，进而可求出A的度数，利用勾股定理再求得a即可；（2）先求得B，再根据边之间的关系可用a和b表示出面积，从而求得a、b，再求得c即可【解答】解：（1）sinB=，B=30，A=90B=60a=4（2）由A+B=90，得B=30SABC=12，ab=12，ab=24又tan A=tan 60=，a=b，b2=24，b=2，c=2b=4，a=6【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值及勾股定理，掌握含30、60角的直角三角形的性质是解题的关键20如图，在ABC中，C=90，sinA=，D为AC上一点，BDC=45，DC=6，求AB的长【考点】解直角三角形【专题】计算题【分析】由已知得BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知A的正弦值，即可求出AB的长【解答】解：C=90，BDC=45BC=CD=6又sinA=AB=6=15【点评】直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用21如图，在RtABC中，C=90，D是BC的中点，DEAB于E，tanB=，且AE=6，求DE的长【考点】解直角三角形【分析】设CD=x，分别用x表示AB，BE的长，即可求得x的值，根据tanB=即可解题【解答】解：设CD=x，则BC=2x，tanB=，AC=x，AB=x，BD=x，BE=x，AE=ABBE，x=6，BD=2，DE=BD=2【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的计算，考查了三角函数值在直角三角形中的运用，本题中求得BD的长是解题的关键22如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45方向，求景点C到观光大道l的距离（结果精确到0.1km）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过点C作CDl于点D，设CD=xkm先解直角ACD，得出AD=CD=xkm，再解直角BCD，得出BD=CD=xkm，然后根据ADBD=AB，列出关于x的方程，解方程即可【解答】解：如图，过点C作CDl于点D，设CD=x km在ACD中，ADC=90，CAD=30，AD=CD=x km在BCD中，BDC=90，CBD=45，BD=CD=x kmADBD=AB，xx=2，x=+12.7（km）故景点C到观光大道l的距离约为2.7km【点评】本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键23某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图，从山底B到山顶A的坡角是30，斜坡AB长为100米根据地形，要求修好的公路路面BD的坡度为i=1：5（假定A，D两点处于同一直线上）为了减少工程量，若AD20米，则直接开挖修建公路；若AD20米，就要重新设计问这段公路是否需要重新设计？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】将原题抽象为关于直角三角形ABC和直角三角形DBC的问题进行解答，求出AC的长，再求出AD的长，算出其差，即可判断AD是否大于20米，然后再作判断【解答】解：在RtABC中，AB=100米，则AC=100=50米，BC=ABcos30=100=50米，又因为BD的坡度是1：5，则=，解得DC=10米，于是有AD=ACDC=50103220，需要重新设计【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，将原问题转化为解直角三角形的问题是解答此类问题的基本思路24水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，B=60，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】（1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G在RtABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积；（2）在RtCDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；RtDEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比【解答】解：（1）分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G，如图所示在RtABF中，AB=16米，B=60，sinB=，在矩形AFGD中，AF=16=8（米），DG=8米SDCE=CEDG=88=32（平方米）需要填方：15032=4800（立方米）；（2）在直角三角形DGC中，DC=16米，GC=24米，GE=GC+CE=32米，坡度i=DG：GE=8：32=：4【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力解题的关键是牢记坡度是竖直高度与水平宽度的比值25如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37方向C处，B岛在南偏东66方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的