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第四章 留 数 一、 重点与难点 二、 内容提要 三、 典型例题 一、重点与难点 重点： 难点： 留数的计算与留数定理 留数定理在定积分计算上的应用 二、内容提要 留数 计算方法 可去奇点 孤立奇点极点 本性奇点 函数的零点与 极点的关系 留数定理 留数在定积 分上的应用 1）定义 如果函数在 不解析, 但在 的某一去心邻域内处处解析, 则称 为的孤立奇点. 1. 孤立奇点的概念与分类 孤立奇点奇点 2）孤立奇点的分类 依据在其孤立奇点的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点. 定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末 孤立奇点 称为 的可去奇点. i) 可去奇点 ii) 极点 定义 如果洛朗级数中只有有限多个的 负幂项, 其中关于的最高幂为 即 级极点.那末孤立奇点称为函数的 或写成 极点的判定方法 在点 的某去心邻域内 其中 在 的邻域内解析, 且 的负幂项为有的洛朗展开式中含有 限项. (a) 由定义判别 (b) 由定义的等价形式判别 (c) 利用极限判断 . 如果洛朗级数中含有无穷多个 那末孤立奇点称为的本性奇点. 的负幂项, 注意: 在本性奇点的邻域内 不存在且不为 iii)本性奇点 i) 零点的定义 不恒等于零的解析函数如果 能表示成其中在 解析且m为某一正整数, 那末称为 的 m 级零点. 3)函数的零点与极点的关系 ii)零点与极点的关系 如果是的 m 级极点, 那末就是 的 m 级零点. 反过来也成立. 2. 留数 记作 定义 如果的一个孤立奇点, 则沿 内包含的 任意一条简单闭曲线 C 的积分的值除 后所得的数称为以 1)留数定理 设函数在区域 D内除有限个孤 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 立奇点 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数 在C内各孤立奇点处的留数. (1) 如果为的可去奇点, 则 如果 为 的一级极点, 那末 a) (2) 如果为的本性奇点, 则需将 成洛朗级数求 展开 (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则 2)留数的计算方法 c)设及在 如果那末 为一级极点, 且有 都解析， 如果 为 的 级极点, 那末b) 3. 留数在定积分计算上的应用 1）三角函数有理式的积分 当历经变程时, z 沿单位圆周的 正方向绕行一周. 2）无穷积分 3）混合型无穷积分 特别地 三、典型例题 解 解 例2 求函数 的奇点，并确 定类型. 解是奇点. 是二级极点; 是三级极点. 例3 证明 是 的六级极点. 证 例4 求下列各函数在有限奇点处的留数. 解(1)在 内, 解 解为奇点, 当 时 为一级极点， 例5 计算积分 为一级极点， 为七级极点.解 由留数定理得 例6 解在 内, 解 例7 计算
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