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数学概念及其教学数学概念及其教学 数学概念概述 数学概念学习的心理分析 数学概念教学的基本要求和教法 探讨 数学概念概述 数学概念的意义数学概念的意义 反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数 学概念”。 “属性”与“本质属性” ；概念及其名称 和符号 数学概念产生和发展的途径数学概念产生和发展的途径 （1）从现实模型直接得来； （2）经过多级抽象概括得来； （3）从数学内部需要产生出来； 数量关系和空数量关系和空 间形式间形式 概念的内涵和外延概念的内涵和外延 概念的内涵亦称内包，指概念所反映的对象的特有 属性、本质属性。 概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和 。 例：“ABC的顶点” 内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形 两边之上这个性质； 外延是指 A、B、C三点的集合。 注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学 体系中来认识的。例如，角的概念在平面几何中和 在平面三角中的内涵和外延均不同。 （2）概念的内涵和外延是发展的 概念间的关系（概念外延间的同异关系） 1、相容关系 （1）同一关系（全同关系或重合关系） 外延完全重合，内涵可以不同。 例如：数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数 与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数 的差等； 等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线 的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。 注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对 象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中 具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。 （2 2）从属关系）从属关系 如果甲概念的外延 真包含乙概念的外延 ，如 下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。 其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延 较小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外 延 和 的关系可以写成 注：内涵和外延的反比关系 正方形内涵 矩形内涵 平行四边形内涵 四边形内涵 正方形外延 矩形外延 平行四边形外延 四边形外延 （3 3）交叉关系）交叉关系 如果两个概念的外延有且只有部分重合 ，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部 分重合关系，如下图。用集合符号表示概念 的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集 合 和集合 ，如果 是非空集合而且不 是 ，那么这两个概念具有交叉关系。 例：例： （1 1）整数和整数）整数和整数 （2 2）等腰三角形和直角三角形）等腰三角形和直角三角形 （4 4）不相容关系（全异关系）不相容关系（全异关系） 如果两个概念的外延间没有任何一部分重合 的关系，那么这两个概念具有全异关系，这 种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。 全异关系又分为反对关系和矛盾关系。 矛盾关系 反对关系 概念的定义和原始概念概念的定义和原始概念 把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义 。 原始概念 点、线、面、空间、集合、元素、对应等。 数学中常用的几种定义方式 （1）属概念加种差的定义方式 四边形+两组对边分别平行=平行四边形 （2）发生定义方式 在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫 做角。 （3）揭示外延的定义方式 整数和分数统称为有理数。 （4）约定式定义 我们规定“ ” 。 下定义的基本要求 （1）定义应当相称 无理数：有理数开不尽的方根。 平行线：两条不相交的直线。 （2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角） （3）定义一般不用否定形式 不是有理数的数是无理数。 （4）定义应当简明 两组对边平行的平面四边形是平行四边形。 四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。 （5）定义一般不用比喻说法 概念的划分和分类 把一个属概念分为若干个不相容种概念的 逻辑方法叫做概念的划分。 概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所 反映对象的本质属性或特征所进行的划分。 概念分类的要求： （1）排中律 （2）同一律 （3）无矛盾律（使用同一标准，逐级分类等） 数学概念的特点数学概念的特点 概括性概括性 逻辑性逻辑性 抽象性抽象性 多质性多质性 发展性发展性 数学概念学习的心理分析数学概念学习的心理分析 概念学习的基本形式 1.概念的形成 概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中 独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因 此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共 同本质特征的过程。可概括如下： （1）辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上 进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。 （2）分化出各种刺激模式的属性。 （3）抽象出各个刺激模式的共同属性。 （4）在特定的情境中检验假设，确认关键属 性。 （5）概括，形成概念。 （6）把新概念的共同关键属性推广到同类事 物中去。 （7）用习惯的形式符号表示新概念。 “函数”概念的形成过程： 1、观察实例，写出变量间的关系表达式： （1）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶 过的路程和时间 （2）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻 （3）用表格给出的某水库的贮水量与水深。 2、找出上例中两变量之间关系的共同本质 3、辨别正反例，找出本质属性（一一对应） 4、概括出函数定义 5、练习巩固成形 教学过程中需注意： （1）提供的刺激模式应该是正例，而且数量要恰当 ； （2）注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖 有趣的例子； （3）让学生进行充分自主的活动，使他们经历概念 产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成 的规律； （4）在确认了事物的关键属性，概括成概念以后， 教师应采取适当措施，使学生认知结构中的新旧概 念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概 念所湮没； （5）必须使新概念纳入到已有的概念系统中 去，使新概念与认知结构中已有的起固着点 作用的相关概念建立起实质的和非人为的联 系； （6）教师的语言中介作用很大，因为教师的 语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念 的具体事例进行分析、归纳和概括； （7）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概 念形成的每一个步骤。 2.概念的同化 概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有 概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属 性。 由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生 有意义地同化新概念，必须： 第一，新概念具有逻辑意义；第二，学生的认知结 构中具备同化新概念的适当知识；第三，学生积极 主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构 中的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概 念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会 贯通。 概念同化的阶段 （1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号 ； （2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含 的各种特例，突出概念的本质特征； （3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联 系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念 ； （4）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念 与已有认知结构中的相关概念分化； （5）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概 念融会贯通，组成一个整体。 如“一次函数”的概念 给出名称、定义、符号：函数 特例： 等 把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作 比较 用肯定、否定例证让学生辨认： 教学过程中要注意： （1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方 式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义 出发来学习的，所以应注意及时利用实例， 使抽象概念获得具体例证的支持； （2）学习中必须经过概念分类这一步，使学 生从外延角度进一步对概念进行理解； （3）在引入概念的同时，要求学生掌握一定 的智力动作，以防止出现知道概念的定义而 不知如何将它用于解题的情况； （4）为学生及时提供应用概念进行推理、论 证的机会，在应用中强化概念，以防止由于 没有经历概念形成的原始过程而出现的概念 加工不充分、理解不深刻的情况； （5）一定要将所学概念纳入到已有认知结构 中，形成概念系统。 概念教学的基本要求和教法探讨 概念的引入概念的明确概念的系统化 概念的运用 1、概念的引入 （1）原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指 明对象的方法来明确。 “针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧的绳” 或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的方法是 直观说明法，“1，2，3，叫做自然数”是指 明对象法。 （2）对于用概念的形成来学习的概念 一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师 生共同进行讨论，最后再准确定义。 （3）对于用概念的同化来学习的概念 （a）用属加种差定义的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中 原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。 （b）由概念的推广引入的概念 讲清三点：推广的目的和意义； 推广的合理性； 推广后更加广泛的含义。 （c）采用对比方法引入新概念 当新概念与认知结构中已有概念不能产生从 属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可 采用此法。 关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。 （d）根据逆反关系引入新概念 多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘 方引入开方、由指数引入对数等。 关键是讲清逆反关系。 (4)发生式定义 通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出 构造过程，即揭示出定义的合理性。 2、概念的明确 定义的必要理解； 表示概念的名称或符号的正确使用； 抓住掌握概念的关键； 举出肯定例证和否定例证； 充分揭示概念的内涵； 3、概念的系统化 4、概念的运用和深化 APOSAPOS理论指导下的概念教学过程理论指导下的概念教学过程 美国（杜宾斯）的APOS理论 Action（活动）Process（过程） Object（对象）Scheme（图式） 代数式概念 （1）通过运算活动，理解具体的代数式 问题一 有一列火车保持一定的速度行使，每小时行 使90km，这列火车行使的路程与时间的关系请填 下表：时间 时间 1 2 3 4 5 6 路程 问题二 一些矩形，长是宽的3倍，请填写下表 ： 对于问题一，教师要引导学生能够得出表示 “90”，引导学生注意“”表示的是“时间”这 一类意义的数； 对于问题二，让学生初步体会“同类意义”的数 表示的各种关系。 宽宽 1 4 7.5 11 长长 周长长 面积积 （2）过程阶段，体验代数式中的过程 教师提出以下问题： 用字母符号代表“”，如90t，与具体的数有什 么样的关系？ 把各具体字母表示的式子作为一个整体，具有 什么样的特征和意义？（需经反复体验、反思、抽 象代数式的特征：一种运算关系；字母表示一类 数，