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1.5 分式线性变换 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 导数f (z0)的幅角Argf (z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0 处的转动角. w=f(z) Argf (z0) 导数f ( z0)的模|f ( z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何 曲线在z0的伸缩率。 Z 平面 w 平面 复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角 ） 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 导数不为零的解析变换属于保角变换 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 1 分式线性变换的定义 函数 称为分式线性变换,简记为 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 5 2 分式线性变换的分解 可分解为下述简单类型变换的复合 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 6 (I)(II)型变换的几何性质 旋转 位似(伸缩) 平移 平移映射 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 此变换可进一步分解为: 关于单位圆周的对称变换; 关于实轴的对称变换 规定: 无穷远点的对称点是圆心O. . . . . 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 8 3. 分式线性变换的保圆周(圆)性 对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线). 对(II)型: 圆周(或直线)可表为 它表示圆周或直线. 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 9 注在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周. 定理1.5.2 关于圆周C的两个对称点，在分式线 性变换下，它们的像点也是圆周C的像曲线的 对称点. 定理1.5.1 分式线性变换在扩充复平面上是一一 对应，且具有保圆性的保角变换. 注分式线性变换的保对称性. 补充定义 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 10 定理1.5.3 注 三对对应点唯一确定一分式线性变换. 证明 先考虑已给各点都是有限点的情形, 设所求分式线性函数是 那么，由 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 11 得 同理，有 因此，有 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 12 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显 然得这样的分式线性函数也是唯一的。 那么，由 同理有 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显 然得这样的分式线性函数也是唯一的。 其次，如果已给各点除 外都是有限点。 则所求分式线性函数有下列的形式： 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 13 例3 求将分别变为的分式线性变换. 解所求的分式线性变换为 整理得 即 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 14 . . . . . . . . . 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 15 解 例5 求线性变换 变为上半平面, 使将圆盘 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 16 即 整理后得 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 17 六 线性变换的应用 由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周) 性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区 域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型. 例6 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 18 事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时 即实轴变为实轴是同向的, 或 解 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 19 例7 解 故 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 20 即 故解该方程组得 故所的线性变换为 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 21 例8 解 由线线变换的保对称性, 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 22 因此这个变换应具有形式, 故可令 从而所求的变换为 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 23 注1 确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点. 注2 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 24 例9 解 因此所求变换具有形式 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 25 利用单位圆周变为单位圆周的条件知, 因此令 从而所求的变换为 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 26 注1 确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点. 注2 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 作 业 习 题 （P） 1（1）（3）（5）； 2 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 28 . . . . 2 定理7.1 证明 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 29 . . . . 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 30 3 分式线性变换的保对称性 定理7.12 证明 由分式线性变换的保角性, 由定理7.11, 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 31 五 分式线性变换的保对称性 1定义7.5 注 证明 “必要性” 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 32 则 所以 “充分性” 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 33 例10 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 34 解 作线线变换 复合上述两个变换得 整理得 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 35 即由 得 从而所求的变换为 第一章 复变变函数 第五节节 分式线线性变换变换 36 例11 解 (1)先作伸缩变换 (2)再作平移变换 第一章