Euler法与改进Euler法.ppt

第八章 常微分方程数值解法 常微分方程数值解法 常微分方程主要有: (1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 常微分方程数值解法 l主要内容： l一、 引 言 l二、 建立数值解法的常用方法 l三、 Euler方法 l四、 几何意义 l五、 Euler方法的误差估计 l六、 向后Euler方法 主要内容 许多实际问题的数学模型是微分方程或微分 方程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反 映及生物群体的变化等. 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不 多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的 表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微 分方程的数值解法 一、引 言 本章重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解 本章假定 常微分方程数值解法 初值问题数值解的提法 常微分方程数值解法 建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化 . 一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数 二、建立数值解法的常用方法 (2) 用数值积分近似积分 实际上是矩形法 宽高 常用方法 (3) 用Taylor多项式近似并可估计误差 常用方法 用差商近似导数 问题转化为 Euler方法的迭代公式 三、Euler方法 令 Euler方法 例1 解 初值问题的迭代公式为: 例 题 1 用求根公式求解初值问题 Clearx,y,h h=0.1; xn_:=n*h; DSolveyx=yx-2x/yx, y0=1,yx,x Table%/.x-xn,n,1,6; MatrixForm% y0 - 1 y0.1 - 1.09545 y0.2 - 1.18322 y0.3 - 1.26491 y0.4 - 1.34164 y0.5 - 1.41421 y0.6 - 1.48324 求微分方 程的解 Mathematica程序 Cleara,b,x,y x0=0; y0=1; h=0.1; xn_:=n*h; fu_,v_:=v-2u/v K1n_:=fxn-1,yn-1 yn_:=yn-1+h*K1n; Tablexn,yn,n,0,8 /N; MatrixForm% 0 1. 0.1 1.1 0.2 1.19182 0.3 1.27744 0.4 1.35821 0.5 1.43513 0.6 1.50897 0.7 1.58034 0.8 1.64978 运行结果 Mathematica程序 近似解精确解 0 1. 0.1 1.1 0.2 1.19182 0.3 1.27744 0.4 1.35821 0.5 1.43513 0.6 1.50897 y0 - 1 y0.1 - 1.09545 y0.2 - 1.18322 y0.3 - 1.26491 y0.4 - 1.34164 y0.5 - 1.41421 y0.6 - 1.48324 结果比较 例2 解 初值问题的迭代公式为: 例 题 2 用求根公式求解初值问题 Clearx,y,h h=0.1; xn_:=n*h; DSolveyx=(2/3)*x/(yx)2, y0=1,yx,x Table%/.x-xn,n,0,10; MatrixForm% y0 - 1 y0.1 - 1.00332 y0.2 - 1.01316 y0.3 - 1.02914 y0.4 - 1.05072 y0.5 - 1.07722 y0.6 - 1.10793 Mathematica程序 Cleara,b,x,y x0=0; y0=1;h=0.1; xn_:=n*h; fu_,v_:=(2/3)u/v2; K1n_:=fxn-1,yn-1 yn_:=yn-1+h*K1n; Tablexn,yn,n,0,6 /N; MatrixForm% 0 1. 0.1 1. 0.2 1.00667 0.3 1.01982 0.4 1.03905 0.5 1.06375 0.6 1.09321 Mathematica程序 四、几何意义 Y=y(x) ab 几何意义 四、Euler方法的误差估计 为简为简 化分析，先考虑计虑计 算一步所产产生的误误差，即假设设 是精确的， 估计误计误 差 这这种误误差称为为局部截断误误差。 估计计截断误误差的主要方法是Taylor展开法，即将函数 在 处处展开： 取一次Taylor多项式近似函数，得 得Euler方法的局部截断误差公式为 结论结论 ：上式说说明Euler公式的局部截断误误差为为 它的精度很差。 一般很少用它来求近似值，但是Euler法 却体现了数值方法的基本思想。 定义义8.1 如果某种数值值方法的局部截断误误差为为 ，则则称该该方法是p阶阶方法或 具有p阶精度。显然p越大，方法的 精度越高。 注：Euler方法具有一阶精度，因此它的精度不高。 五、Euler方法的误差估计 我们更关心整体截断误差，但其讨论要用到局部截 断误差。 Euler方法的误差估计 2、 整体截断误差 定义： 截断误差 截断误差 Euler方法是一阶方法,故精度不高. 截断误差 需要说说明的是，用不同的差商近似导导数，将得 到不同的计计算公式。如果用向后差商代替导导数， 即 则则得计计算 公式 用这组这组 公式求初值问题值问题 的数值值解称为为向后Euler方法。 向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际 计算时却复杂得多。Euler公式是显式的，可直接 求解。向后Euler公式是隐式公式，一般要用迭代 法求解，迭代公式通常为 如果用中心差商代替导数，则可导出Euler两步公式。 六、向后Euler方法 l主要内容： l1:引 言 l2:建立数值解法的常用方法 l3: Euler方法 l4:几何意义 l5: Euler方法的误差估计 l6:向后Euler方法 本 节 小 结 第 二 节 改进的Euler方法 改进的Euler方法 利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式: 解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 梯形方法为隐式算法 改进的Euler方法 梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大 实际计算中只迭代一次，这样建立的预测 校正系统称作改进的欧拉公式。 改进的Euler方法 改进的Euler方法 二、改进的Euler法 梯形方法虽然提高了精度，但算法复杂，计算 量大。如果实际计算时精度要求不太高，用梯形公 式求解时，每步可以迭代一次，由此导出一种新的 方法改进Euler法。这种方法实际上就是将 Euler公式与梯形公式结合使用：先用Euler公式求 的一个初步近似值 ，称为预测值，预测值 的精度可能很差，再用梯形公式校正求得近似值 即 改进Euler法 亦称为由Euler公式和梯形公式得到的 预测校正(Predictor-Corrector)系统。 为便于上机编程，常改写成 例3 解 （1）用Euler方法得算式为为 （2）用改进进的Euler方法得算式为为 数值结果见下表： xEuler法的y改进进的Euler法的y精确值值y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.000000 1.100000 1.191818 1.277438 1.358213 1.435133 1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770 1.000000 1.095909 1.184096 1.266201 1.343360 1.416402 1.485956 1.552515 1.616476 1.678168 1.737869 1 1.095445 1.183216 1.264991 1.341641 1.414214 1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051 从计算结果可见，改进Euler法的精度明显高于Euler法。 Mathematia程序 用求根公式求解初值问题 Clearx,y,h h=0.1; xn_:=n*h; DSolveyx=yx-2x/yx, y0=1,yx,x Table%/.x-xn,n,1,6; MatrixForm% y0 - 1 y0.1 - 1.09545 y0.2 - 1.18322 y0.3 - 1.26491 y0.4 - 1.34164 y0.5 - 1.41421 y0.6 - 1.48324 Mathematia程序 Clearx,y,h x0=0; y0=1; h=0.2; xn_:=n*h; fu_,v_:=v-2u/v K1n_:=fxn-1,yn-1 K2n_:=fxn-1+h,yn- 1+h*K1n; yn_:=yn-1+h/2*(K1n+K2n); Tablexn,yn,n,0,6/N; MatrixForm% 0 1. 0.1 1.09774 0.2 1.18757 0.3 1.27129 0.4 1.35013 0.5 1.42499 0.6 1.49657 比较 Euler近似解精确解 0 1. 0.1 1.1 0.2 1.19182 0.3 1.27744 0.4 1.35821 0.5 1.43513 0.6 1.50897 y0 - 1 y0.1 - 1.09545 y0.2 - 1.18322 y0.3 - 1.26491 y0.4 - 1.34164 y0.5 - 1.41421 y0.6 - 1.48324 0 1. 0.1 1.09774 0.2 1.18757 0.3 1.27129 0.4 1.35013 0.5 1.42499 0.6 1.49657 改进Euler近似解 作业业：1 用欧拉预预-校方法求解初值问题值问题 要求取步长长h=0.2，计计算y(1.2)和y(1.4)的近似值值，小数 点后至少保留5位。 2 解常微分方程的初值问题值问题 用欧拉法求解分别别取步长长h=0.1和h=0.05。 利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式: 解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 梯形方法为隐式算法 改进的Euler方法 梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大 实际计算中只迭代一次，这样建立的预测 校正系统称作改进的欧拉公式。 改进的Euler方法 改进的Euler方法 Clearx,y,h x0=0; y0=1; h=0.2; xn_:=n*h; fu_,v_:=fu,v; K1n_:=fxn-1,yn-1 K2n_:=fxn-1+h,yn-1+h*K1n; yn_:=yn-1+h/2*(K1n+K2n); Tablexn,yn,n,0,4/N; MatrixForm% Mathematica程序 例3 解 例 题 3 用求根公式求解初值问题 Clearx,y,h h=0.1; xn_:=n*h; DSolveyx=yx-2x/yx, y0=1,yx,x Table%/.x-xn,n,1,6; MatrixForm% y0 - 1 y0.1 - 1.09545 y0.2 - 1.18322 y0.3 - 1.26491 y0.4 - 1.34164 y0.5 - 1.41421 y0.6 - 1.48324 Mathematica程序 Clearx,y,h x0=0; y0=1; h=0.2; xn_:=n*h; fu_,v_:=v-2u/v K1n_:=fxn-1,yn-1 K2n_:=fxn-1+h,yn- 1+h*K1n; yn_:=yn-1+h/2*(K1n+K2n); Tablexn,yn,n,0,6/N; MatrixForm% 0 1. 0.1 1.09774 0.2 1.18757 0.3 1.27129 0.4 1.35013 0.5 1.42499 0.6 1.49657 Mathematica程序 Euler近似解精确解 0