微积分赵树嫄课件

微积分赵树嫄课件2024-01-25绪论极限与连续导数与微分积分学多元函数微积分无穷级数目录CONTENT绪论01123古希腊时期的阿基米德、中国的刘徽等人在解决几何问题时，已经初步涉及到微积分思想。古代微积分思想的萌芽牛顿和莱布尼兹在17世纪分别独立地创立了微积分学，为现代数学和物理学的发展奠定了基础。17世纪微积分的创立柯西、魏尔斯特拉斯等人对微积分进行了严格的数学化，使之成为一门严密的科学。18-19世纪微积分的发展微积分的历史与发展

微积分的基本思想以直代曲、化整为零通过无限细分，将曲线近似为直线段，从而实现对复杂问题的简化处理。极限思想通过极限概念，描述变量在某一过程中的变化趋势，进而研究函数的性质。微分与积分的互逆性微分是求导数的过程，而积分是求原函数的过程，二者具有互逆性。微积分在力学、电磁学、热力学等领域有广泛应用，如牛顿第二定律、麦克斯韦方程组等。物理学在土木工程、机械工程、电子工程等领域，微积分用于解决复杂的工程问题，如结构优化、控制系统设计等。工程学微积分在经济学中用于研究边际效应、弹性分析等，为经济决策提供数学支持。经济学微积分还广泛应用于生物学、化学、医学等领域，如生物生长模型、化学反应动力学等。其他领域微积分的应用领域极限与连续0203极限存在的条件左右极限存在且相等。01极限的定义描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。02极限的性质唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。极限的概念与性质无穷大量的定义绝对值无限增大的变量称为无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。无穷小量的定义极限为零的变量称为无穷小量。无穷小量与无穷大量在定义域内每一点都连续的函数称为连续函数。连续函数的定义连续函数的性质间断点的分类局部有界性、介值性、反函数的连续性。第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）。030201函数的连续性导数与微分03导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。导数的定义分别表示函数在某一点左侧和右侧的变化趋势，若左右导数相等，则称函数在该点可导。左、右导数包括可导性、连续性、可微性等，这些性质在微积分学中具有重要意义。导数的性质导数的概念与性质导数的四则运算法则包括加法、减法、乘法、除法的导数运算法则，以及复合函数的链式法则。高阶导数表示函数多次求导后的结果，反映了函数更高层次的变化特征。基本初等函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数的导数可以通过基本导数公式直接求得。导数的计算法则微分的定义01微分是函数在某一点处的局部线性逼近，即函数的微小变化量可以用切线的微小变化量来近似表示。微分的计算02通过求导得到函数的微分表达式，进而可以求出函数在任意点处的微分值。微分的应用03在物理学、经济学、工程学等领域中，微分被广泛应用于求解最优化问题、描述自然现象等方面。例如，利用微分可以求解速度、加速度、边际效应等问题。微分及其应用积分学04不定积分的定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，表示了函数与其原函数之间的关系。不定积分的性质包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质等，这些性质在求解不定积分时非常有用。不定积分的求解方法通过凑微分、换元法、分部积分等方法，可以求解不同类型的不定积分。不定积分的概念与性质定积分表示函数在某个区间上的面积，是一个确定的数值。定积分的定义包括线性性质、区间可加性、保号性等，这些性质在分析和计算定积分时非常重要。定积分的性质通过牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分等方法，可以求解不同类型的定积分。定积分的求解方法定积分的概念与性质几何应用物理应用经济应用工程应用积分的应用利用定积分可以计算平面图形的面积、旋转体的体积等几何问题。在经济学中，积分可以用来计算总收益、总成本等经济指标，以及分析边际效益和边际成本等问题。积分在物理学中有广泛的应用，如计算物体的质心、转动惯量、引力等。在工程领域，积分可以用来解决各种实际问题，如计算曲线的长度、求解微分方程等。多元函数微积分05多元函数的定义设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的性质多元函数具有一些与一元函数类似的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。这些性质在多元函数的微积分中起着重要的作用。多元函数的概念与性质偏导数的定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y0$而$x$在$x0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时的极限存在，那么此极限值称为函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$处对$x$的偏导数。要点一要点二全微分的定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某邻域内有定义，如果函数在点$(x0,y0)$的全增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0+Deltay)-f(x0,y0)$可表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依赖于$Deltax,Deltay$而仅与$x0,y0$有关，$rho=(Deltax^2+Deltay^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$处可微，而$ADeltax+BDeltay$称为函数在点$(x0,y0)$处的全微分。偏导数与全微分设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上有界，将闭区域$D$任意分成$n$个子域$Deltasigma_1,Deltasigma_2,…,Deltasigma_n$，并以$Deltasigma_i$的直径作为高做小柱体，构成一个柱体群的体积的代数和。当每个子域的直径趋于零时，该代数和的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分。二重积分的定义设三元函数$f(x,y,z)$在可求超体积的有界闭区域$Omega$上有界。将$Omega$任意分割为$n$个互不重叠的小区域，每个小区域的体积记作$DeltaV_i(i=1,2,...,n)$。在每个小区域内任取一点$(x_i,y_i,z_i)$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)DeltaV_i$。若该和式当各小区域的直径中的最大值趋于零时的极限存在，则称该极限为函数$f(x,y,z)$在区域$Omega$上的三重积分。三重积分的定义多元函数的积分无穷级数06阐述级数的基本概念，包括级数的定义、部分和、收敛与发散等，并介绍级数的基本性质，如级数的线性性质、结合律等。级数的定义与基本性质详细讨论正项级数的收敛性判别方法，如比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，并通过实例加以说明。正项级数及其审敛法介绍任意项级数的收敛性判别方法，如莱布尼茨定理、阿贝尔定理等，并通过实例加以说明。任意项级数及其审敛法常数项级数及其收敛性幂级数的定义与基本性质阐述幂级数的基本概念，包括幂级数的定义、收敛半径、收敛区间等，并介绍幂级数的基本性质，如幂级数的和函数、逐项求导与逐项积分等。幂级数的收敛性判别法详细讨论幂级数的收敛性判别方法，如阿贝尔定理、狄利克雷定理等，并通过实例加以说明。幂级数的运算与性质介绍幂级数的四则运算、复合运算等基本性质，并通过实例加以说明。幂级数及其收敛性函数展开成幂级数的方