《重积分概念和计算》PPT课件.ppt

三重积分概念与计算(1) 2、三重积分在直角坐标下的计算； 1、三重积分定义； 3、小结与练习. 一、三重积分的定义: x 0 z y a b cd z=g z=e N M P =a ,b ; c ,d ; e ,g I = 积分区域是长方体 . . D 同理，也有其 它 积分顺序. 1. 三重积分的计算三重积分的计算 化为一个定积分和化为一个定积分和 一个二重积分的运算一个二重积分的运算 x 0 z y z2(x,y) 为图示曲顶柱体 I = P N M . . 积分区域是曲顶柱体 D z1(x,y) 2. 三重积分计算三重积分计算 x 0 z y z2(x,y) I = D 积分区域是曲顶柱体 为图示曲顶柱体 也化也化为一个定积分和为一个定积分和 一个二重积分的运算一个二重积分的运算 z1(x,y) 2. 三重积分计算三重积分计算 . 这种计算方法叫投影法 （先一后二法） 注意1: 注意2： 三重积分的累次积分的积分次序除了先对z、后对y、再对 x外，还有其他次序。累次积分次序的选择要考虑几何体的形 状和被积函数的特性（主要是几何体的形状，即往哪个坐标面 投影利于解题）。 一般的，若给定积分次序时： 1、积分次序为 zyx； 投影到xoy面； 2、积分次序为 yzx； 投影到xoz面； 3、积分次序为 xy z； 投影到yoz面。 z =0 y = 0 x =0 0 y x ：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域 . 先画图 x 0 z y 1 1 Dxy Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 z = 0 1 . . . 例1.计算三重积分 x + 2y + z =1 Dxy I = x+2y =1 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 0 y x 6 24 1 找出上顶、下底及投影区域 . 2 画出投影区域图. Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成. z = 0 不画立体图做三重积分 Dxy . . 例 2. 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . 例2. x 0 z y ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . x 0 z y ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例 2. 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . x 0 z y ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例 2. 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例 2. 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例 2. z = 0 y = 0 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例 2. 4 2 . x 0 z y 6 6 6 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. . D 0 y x 6 24 D . 例 2. 0 y x 1 找出上顶、下底及投影区域 2 画出投影区域图 不画立体图做三重积分 Dxy: z = 0 。 。 Dxy 当 f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ? 。 例3. I =试计算： ？ y2=x x y z o . 例3. y2=x x y z o . 例3. z = 0 y=0 x y z o 。 。 0 y x y2=x . D 例3. Dxy: z =0 0 y x1 1 。 。 Dxy 例 4. 双曲抛物面 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 例 4. z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 例 4. 1 1 z =0o z x x+ y=1 y 。 。 z=xy . 例 4. 解: 解 如图， x 0 z y c1 c2 z Dz 3. 三重积分计算的另一思路（对有的问题适用） 先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 截面法 c1 c2 . 先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 3. 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） z Dz 截面法 x 0 z y c1 c2 I = 先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 3. 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） zDz 截面法 x 0 z y c1 c2 3. 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） . 先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分 I = 截面法 x 0 z y 设空间有界闭区域 ，其中 是竖标为 Z的平面截闭区域 得到的 平面闭区域。 则有计算三重积分的“先二后一公式” 例7 解 投影到yoz面 x 0 y z b c 例9. 例