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第二章 轴向拉伸和压缩 第二节 内力、截面法、轴力及轴力图 第一节 轴向拉伸和压缩的概念 第三节 横截面及斜截面上的应力 第五节 拉（压）杆的应变能 第七节 强度条件 安全系数 许用应力 第八节 应力集中的概念 第六节 材料在拉伸和压缩时的力学性能 第四节 拉（压）杆的变形 胡克定律 1、受力特点：外力或 其合力的作用线沿杆轴 2、变形特点：主要 变形为轴向伸长或缩短 3、轴向荷载（外力） ：作用线沿杆件轴线的荷载 拉杆 压杆 F F FF 第一节 轴向拉伸和压缩的概念 轴向拉伸和压缩 F F 1、内力 F 原有内力 材料力学中的内力 F 附加内力 第二节 内力、截面法、轴力及轴力图 轴向拉伸和压缩 F F+F 2、截面法、轴力 F I FF III F II FNx SFX=0：+FN-F=0 FN=F x SFX=0：-FN+F=0 FN=F FN 截面法 切取 代替 平衡 单位： N(牛顿)或 kN(千牛) 规定： 轴力拉为正，轴力压为负。 轴向拉伸和压缩 注意： （1）在采用截面法之前不允许使用力的可传性原理； 思考题： 在下列哪些计算时，可应用“力的可传性原理”： （A）支反力 （B）内力 （2）在采用截面法之前不允许预先将杆上荷载用一个 静力等效的相当力系代替。 轴向拉伸和压缩 3、轴力图 （1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图。 150kN100kN 50kN （2）轴力图中：横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。 标出轴力值及正负号（一般：正值画上方，负值画下方）。 （3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。 FN + - 轴向拉伸和压缩 例一 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max I I II II | FN |max=100kN FN2= -100kN 100kN II II FN2 FN1=50kN I FN1 I 50kN 50kN 100kN 第三节横截面及斜截面上的应力 一、应力的概念应力：杆件截面上的 分布内力集度 平均应力 正应力 切应力 应力特征 ： （1）必须明确截面及点的位置； （2）是矢量，1)正应力： 拉为正， 2) 切应力顺时针为正； （3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕) 1MPa=106Pa 轴向拉伸和压缩 F F 1 1 2 2 假设： 平面假设 横截面上各 点处仅存在正应 力并沿截面均匀 分布。 轴向拉伸和压缩 拉应力为正 ，压应力为 负。 对于等直杆 当有多段轴力时，最大轴力所对应的 截面-危险截面。 危险截面上的正应力-最大工作应力 F F 二、拉压杆横截面上的应力 50 轴向拉伸和压缩 例二 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2 -2、3-3截面的应力。 f 30 f 20 f 35 50kN 60kN40kN30kN 1 1 3 3 2 2 20 60 + 横截面-是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面-是指任意方位的截面。 F F F 全应力 ： 正应力： 切应力 ： 1） =00时， max 2）450时， max=/2 轴向拉伸和压缩三、拉压杆斜截面上的应力 杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生 变形。变形后杆长为l1，直径为d1。 其中：拉应变为正 ， 压应变为负。 轴向(纵向)应变 ： 研究一点的线应变： 取单元体积为xyz 该点沿x轴方向的线应变为： x方向原长为x，变形 后其长度改变量为x 第四节 拉（压）杆的变形 胡克定律 横向应变： 轴向拉伸和压缩 胡克定律 实验表明，在比例极限内，杆的轴向变 形l与外力F及杆长l成正比，与横截面积A成 反比。即： 引入比例常数E，有 ： -胡克定律 其中：E-弹性模量，单位为Pa; EA-杆的抗拉（压）刚度。 胡克定律的另一形式 ： 实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数-称为横 向变形系数（泊松比） 轴向拉伸和压缩 例三 图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E，试计算D 点的位移。 解：解题的关键是先准确计算出每段杆的轴力，然后计算 出每段杆的变形，再将各段杆的变形相加即可得出D点的位移 。这里要注意位移的正负号应与坐标方向相对应。 轴向拉伸和压缩 P 3P + + D点的位移为 ： 例四 图示结构中杆是直径为32mm的圆杆， 杆为2No.5槽钢。 材料均为Q235钢，E=210GPa。已知F=60kN，试计算B点的位移。 1.8m 2.4m C A B F F 轴向拉伸和压缩 解：1、计算各杆上的轴力 2、计算各杆的变形 3、计算B点的位移 （以切代弧） B4 B3 P P L P 利用能量守恒原理： U（应变能）=W（外力所做的功） 单位体积内的应变能-比能u(单位：J/m3) 对拉杆进行逐步加载（认为无动能变化） 第五节 拉(压)杆的应变能 轴向拉伸和压缩 材料力学性质：材料在外力作用下，强度和变形方面所表 现出的性能。 第六节 材料在拉伸和压缩时的力学性能 轴向拉伸和压缩 I、 低碳钢(C0.3%)拉伸实验及力学性能 O e p s b 线弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 颈缩阶段 工作段长度l 试件 应力-应变（-）图 p-比例极限 e-弹性极限 s-屈服极限 b-强度极限 1.延伸率 2.断面收缩率 d5%塑性材料 d5%脆性材料 塑性指标轴向拉伸和压缩 O 应力-应变（-）图 l1-试件拉断后的长度 A1-试件拉断后断口处的最小 横截面面积 冷作硬化现象 冷作硬化 在强化阶段卸载后，如重新 加载曲线将沿卸载曲线上升。 如对试件预先加载，使其达到 强化阶段，然后卸载；当再加载时 试件的线弹性阶段将增加，而其塑 性降低。-称为冷作硬化现象 1 2 3 O s e A 0.2% S s0.2 4 102030 e(%) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 s(MPa) 1、锰钢 2、硬铝 3、退火球墨铸铁 4、低碳钢 特点：d 较大，为塑性材料。 、其它金属材料拉伸时的力学性能 无明显屈服阶段的，规定以塑 性应变es=0.2%所对应的应力作为 名义屈服极限，记作s0.2 轴向拉伸和压缩 、测定灰铸铁拉伸机械性能 s b O P D L 强度极限： Pb sb拉伸强度极限，脆性材料唯一拉伸力学性能指 标。 应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很 小且sb很低。 轴向拉伸和压缩 . 金属材料压缩时的力学性能 比例极限 spy，屈服极限 ssy，弹性模量 Ey基本与拉伸 时相同。 1.低碳钢压缩实验： s(MPa) 200 400 e 0.10.2O 低碳钢压缩 应力应变曲线 低碳钢压缩 应力应变曲线 轴向拉伸和压缩 s e O sbL 灰铸铁的 拉伸曲线 sby 灰铸铁的 压缩曲线 sbysbL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面 为与轴向大致成45o55o的滑移面破坏。 2.铸铁压缩实验： 轴向拉伸和压缩 塑性材料的特点：断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力 强。常用指标-屈服极限，一般拉和压时的sS相同。 脆性材料的特点：断裂前变形小，塑性指标低。常用指 标是 sb、sbc且sb sbc。 .非金属材料的力学性能 1)混凝土 近似匀质、各向同性材料 。属脆性材料，一般用于抗压构件。 2）木材 各向异性材料 3）玻璃钢 各向异性材料。优点是：重量轻，比强度高，工艺简单，耐腐 蚀，抗振性能好。 轴向拉伸和压缩 第七节 强度条件 安全因数 许用应 力 根据强度条件可进行强度计算： 强度校核 (判断构件是否破坏) 设计截面 (构件截面多大时，才不会破坏) 求许可载荷 (构件最大承载能力) -许用应力 u- 极限应力 n-安全因数 轴向拉伸和压缩 强度条件 、拉（压）杆的强度条件 轴向拉伸和压缩 例五 图示结构中杆是直径为32mm的圆杆， 杆为2No.5槽钢。材 料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载 F 。 1.8m 2.4m C A B F F 解：1、计算各杆上的轴力 2、按AB杆进行强度计算3、按BC杆进行强度计算 4、确定许用荷载 l=30m F=3000kN x g 解：按等直杆设计桥墩，并计算轴向变形 危险截面：底面(轴力最大) 横截面面积为 ： 桥墩总重为： 轴向变形为： 轴向拉伸和压缩 例六 石桥墩高度l=30m，顶面受轴向压力F=3000kN，材料许用压应 力sC=1MPa，弹性模量E=8GPa，容重g=2.5kN/m3，按照等直杆设计截 面面积和石料重量，并计算轴向变形。 例七 图示空心圆截面杆，外径D20mm，内径d15mm， 承受轴向荷载F20kN作用，材料的屈服应力s235MPa，安 全因数n=1.5。试校核杆的强度。 解： 杆件横截面 上的正应力为: 材料的许 用应力为: 可见，工作应力小于许用应力，说明杆件能够安全工作 。 F F D d 轴向拉伸和压缩 、许用应力和安全系数 塑性材料： 脆性材料 ： 3）材料的许用应力：材料安全工作条件下所允许承担的 最大应力，记为 1、许用应力 1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。 2）材料的极限应力 ： 轴向拉伸和压缩 确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面： 理论与实际差别：材料非均质连续性、超载、加工制造 不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化 足够的安全储备：构件与结构的重要性、塑性材料n小、 脆性材料n大。 安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料 在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或 设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为1.5 2.2；对于脆性材料通常取为3.0 5.0，甚至更大。 轴向拉伸和压