实验二MATLAB中的极限和微分积分运算.ppt

实验二 MATLAB中的极限、微分和积分运算 南 京 邮 电 大 学 一、实验目的 熟悉MATLAB软件中关于极限、微分运算和不定 积分、定积分的基本命令，掌握利用MATLAB软 件进行求极限和微分运算的方法。掌握利用 MATLAB软件进行求不定积分、定积分等积分运 算的方法。 南 京 邮 电 大 学 二、相关知识 在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限、微分和不定 积分和定积分的运算，那时我们根据微积分的原理，学习 了一整套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在我 们尝试用软件来解决这样的问题。 南 京 邮 电 大 学 MATLAB提供的命令函数limit()可以完成极限运 算，其调用格式如下： limit(F,x,a,left) 该命令对表达式F求极限，独立变量x从左边趋于a ，函数中除F外的参数均可省略，left可换成 right。举例如下： 极限运算 南 京 邮 电 大 学 例1：求极限 。 解：可用以下程序完成： clear F=sym(1+a/x)x) limit(F,x,inf,left) 南 京 邮 电 大 学 结果为exp(a)。其中，语句F=sym(1+a/x)x)表示定义符 号表达式 也可用以下的语句来完成： 南 京 邮 电 大 学 clear; syms x %这里是把x先说明成符号。 F=(1+a/x)x %这里的定义形式和前面不同 。 limit(F, x, inf, left) %这里的x本身就是符号，因 此不需要单引号。 南 京 邮 电 大 学 MATLAB提供的函数diff()可以完成对给定函数求 导函数的运算，其调用格式如下： diff(fun,x,n) 其意义是求函数fun关于变量x的n阶导数，n为1时 可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较 为妥当。我们看下面的例： 导函数的运算 南 京 邮 电 大 学 例2：求函数 的一阶和三阶导数。 解：可用以下程序完成： clear; syms x y=log(x+2)/(1-x); dy=diff(y,x) dy3=diff(y,x,3) pretty(dy3) 这里用到的另一个函数：pretty()，其功能是使它作 用的表达式更符合数学上的书写习惯。 南 京 邮 电 大 学 MATLAB提供的命令函数int()可以完成积分运算，其调用 格式有如下几种： int(fun) 计算函数fun关于默认变量的不定积分 int(fun,x) 计算函数fun关于变量x的不定积分 int(fun,x, a, b)计算函数fun关于变量x从a到b的定积分 我们通过例子来学习具体的用法： 积分运算 南 京 邮 电 大 学 例1：计算不定积分 。 clear y=sym(x5+x3-sqrt(x)/4) int(y) pretty(ans) 解：可以用下面的程序完成： 南 京 邮 电 大 学 例2：计算定积分 。 clear syms x y=(x*exp(x)/(1+x)2; int(y,0,1) 解：可以用下面的程序实现计算： 南 京 邮 电 大 学 例3：计算二重积分 ，其中D为曲 线 和 所围成的区域。 所以，计算该积分的MATLAB程序为： clear syms x y f=x*x+y; int(int(f,y,x*x,sqrt(x),x,0,1) 解：区域D可用不等式表示为： 南 京 邮 电 大 学 例4：被积曲面S为球面 在第一卦限部 分的外则，计算曲面积分 。 解：先把问题转化为二重积分，积分区域为x，y平面内的 第一象限部分。具体的计算公式为： 南 京 邮 电 大 学 然后计算该二次积分，程序如下： clear syms x y z z=sqrt(1-x2-y2) f=x*y*z I=int(int(f,y,0,sqrt(1-x2),x,0,1) 南 京 邮 电 大 学 这里我们看到，所有的积分计算都是利用函 数int完成的，当我们遇到二重积分、三重积分和 曲线、曲面积分时需要先化为相应的累次积分， 再用int来完成积分的计算。 南 京 邮 电 大 学 综合实验 1.定积分近似计算的Monte Carlo方法 南 京 邮 电 大 学 a=0;b=1;m=1000; s=0;H=exp(1);%s设置为落在曲边梯形内的点数 for i=1:m xi=rand();yi=H*rand(); if yia) l=l+1; m(:,l)=a,b,c; end end end m 南 京 邮 电 大 学 考察c-b=1时的勾股数，将前面程序略加修改可得 到下表： a35791113151719 b41224406084 11 2 14 4 18 0 c51325416185 11 3 14 5 18 1 可以证明，此时勾股数的通项可表示为 南 京 邮 电 大 学 c-b=2的情况留着自己讨论，现在给出c-b=3时的勾 股数，可以得到下表 a915212733394551 b123672 120 180 252