毕业论文：大数定律和中心极限定理的应用.doc

学号学号： 学号学号： 08802053 大数定律和中心极限定理的应用 分 院 计算机科学与技术学院 专 业 信息与计算科学 班 级 信计本 0801 姓 名 李耀 指 导 教 师 仝伟 2012 年 5 月 10 日 商商丘丘学学院院 毕毕业业设设计计（论论文文） 商丘学院本科毕业设计（论文） I 摘 要 大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理，也是概率论与数理统计联系的 关键所在，更是生活中不可缺少的一部分。较多文献给出了不同条件下存在的大数定律 和中心极限定理，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于它们 的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少。本文介绍了几种较为常见的大数定律和中 心极限定理，并列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用。将 理论具体化、将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论与实际相结 合，使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识。 关键词：大数定律，中心极限定理，期望，方差，应用 Abstract The law of large numbers and central limit theorem is very important in probability theory theorem,and it is not only the contact key of Probability theory and mathematical statistics,but also an indispensable part of life. Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers and central limit theorem.Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers,and have obtained the astringent using the law of large numbers and central limiting theorems.But here has no many results in practical life and applicable scope.Here I introduce several kinds of laws of large numbers and central limit theorems,then this paper enumerates some different applicants in economic life,mathematics and information theory and so on.It makes theory concretely,and considers some concrete mathematical model,and so makes mathematical theory reality,thus we can have deeper understanding on the law of large numbers and the central limiting theorem. Key words: The law of large numbers,Central limit theorem,Expectation, Variance, Application 目 录 绪 论.1 大数定律的应用.1 1.1 引言1 1.2 预备知识1 1.2.1 相关定义.1 1.2.2 切比雪夫不等式及其应用.2 1.3 几类重要的大数定律的应用3 1.3.1 切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用.3 1.3.2 伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用.4 1.3.3 辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用.5 1.4 大数定律的意义7 2 中心极限定理的应用.7 2.1 前言7 2.2 几类重要的中心极限定理的应用8 2.2.1 林德伯格定理及其在保险方面的应用.8 2.2.2 列维定理及其在极限求解方面的应用.9 2.2.3 棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用10 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用.13 3 大数定律和中心极限定理的比较应用.15 3.1 大数定律和中心极限定理的比较应用15 结束语.16 致 谢.17 参考文献.18 商丘学院本科毕业设计（论文） 1 绪 论 大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理,也是概率论与数理统计联系的关 键所在。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科,起源于 17 世纪, 发展到现在,已经深入到科学和社会的许多领域。从 17 世纪到现在,很多国家对这两个公 式有了多方面的研究。长期以来,在大批概率论统计工作者的不懈努力下,概率统计的理 论更加完善,应用更加广泛,在现代数学中占有重要的地位。 本文共分 3 章,每章结合具体问题展开讨论,内容涉及对基本公式概念的理解,对基础 理论知识的剖析,定理的具体应用,结合实际,分析解答了有关的典型例题。对问题的分析 与解答,注重集知识性、科学性与趣味性于一体,有助于启迪思维,增长知识面,为进一步 学习新的知识打下坚实的基础。本文给出的例子,更贴近人们的社会、经济、生活和生产 管理,更具有时代气息。这些例子能把大数定律和中心极限定理渗透到各种实际生活中去。 大数定律的应用 1.1 引言 生产、生活及科学实验中的风险事故都具有不确定性，或者称为随机性。但是，任 何事情的发生、发展都具有一定的客观规律。如果各种条件都能预知,则事物发生的结果 也能予以正确地测定，此时虽然风险事故仍然存在，损失仍然会发生，但是，随机性将 因此消失。如果有大量的事例可供考察研究，则这些未知的、不确定的力量将有趋于平 衡的自然倾向，那些在个别事例中存在的随机风险将在大数中消失，这种结论就是概率 论中的大数定律。它的结论也可叙述为：大量的随机现象由于偶然性相互抵消而呈现出 某种必然的数量规律。 1.2 预备知识 1.2.1 相关定义 在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义： 定义 1 设为概率空间上定义的随机变量序列（简称随即序列）), 2 , 1(n n ),(PF ,若存在随即变数使对任意，恒有：或,则00lim n n p1lim n n p 商丘学院本科毕业设计（论文） 2 称随即序列依概率收敛于随机变量（也可以是一个常数），并用下面的符号表 n 示： 或)(limp n n p n 定义 2 设为一随即序列,数学期望存在,令,若 n )( n E n i in n 1 1 ，)()(limPoE nn n 则称随机序列服从大数定律，或者说大数法则成立。 n 定义 3 设是分布函数序列，若存在一个非降函数,对于它的每一连续点)(xFn)(xF ,都有,，则称分布函数序列弱收敛于。x)()(limxFxFn n )()(xFxF w n )(xFn)(xF 定义 4 设,分别是随机变量及的分布函数,若), 2 , 1)(nxFn)(xF), 2 , 1(n n ,则称依分布收敛于亦记为且有：)()(xFxF w n n L n (1)若则；p n L n (2)设 c 为常数,则的充要条件是。c p n c L n 1.2.2 切比雪夫不等式及其应用 切比雪夫不等式：设随机变量具有有限数学期望和方差,则对于任意正数,X 2 如下不等式成立，或有 2 2 XP 2 2 1 XP 这个不等式可解释为：对任意给定的正常数,可以作出两个区间和),( ，不等式表示,在一次试验中,随机变量的取值落在的),(),(),( 概率小于等于。 2 2 切比雪夫（Chebyshev）不等式的应用： （1）已知期望和方差,我们就可以利用切比雪夫不等式估计在期望的邻域的概率。 （2）已知期望和方差,对确定的概率,利用切比雪夫不等式求出,从而得到所需估计区间 的长度。 商丘学院本科毕业设计（论文） 3 （3）对 n 重伯努利试验,利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。 （4）它是推导大数定律和其他定理的依据。 例 1：已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数的平均值是 7300,均方差是 700,利 用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在 52009400 之间的概率。 解：设 X 表示每毫升血液中含白细胞个数,则,则7300EX700)(X 2100730012100730094005200XPXPXP 而 9 1 2100 700 21007300 2 2 XP 所以 9 8 94005200 XP 1.3 几类重要的大数定律的应用 1.3.1 切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 切比雪夫大数定律：设独立随机变量序列的数学期望, 21n XXX),(),( 21 XEXE 与方差都存在,并且方差是一致有上界的,即存在),(, n XE),(,),(),( 21n XDXDXD 某一常数,使得,则对于任意的正数,有K, 2 , 1,)(niKXD i 。1)( 11 (lim 11 n i i n i i n XE n X n P 推论 1：设随机变量相互独立,且它们具有相同的分布及有限的数学, 21n XXX 期望和方差：,则对任意给定的正数,有), 2 , 1(, 2 iDxaEX ii 。【1】1) 1 (lim aX n P i n 此推论表明：n 个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量,当 n 很大时,它们 的算术平均值几乎是一常数,这个常数就是它们的数学期望。 商丘学院本科毕业设计（论文） 4 例 2：使用某仪器测量已知量,设 n 次独立得到的测量值为。如果a, 21n XXX 仪器无系统误差,问 n 充分大时,是否可以用作为仪器误差的方差近似 n i n aX n S 1 22 )( 1 值？ 分析：用表示仪器误差的方差真值。如果,恒有,则 n 2 01)(lim 22 n n SP 充分大时就可以看作是的近似值。 2 n S 2 解：依题意,可以将观察结果看作是相互独立具有相同分布的随机变, 21n XXX 量。则,仪器第 次测量误差的数学期望), 2 , 1()(,)( 2 niXDXE ii i i Xa 2 )(,)( ii XDaaXE 设亦是相互独立的具有相同分布随机变量,在仪器无系统误差时有 2 )(aXY ii ,即aXE i )(a niXDXEaXEYE iiii , 2 , 1,)()()()( 222 由切比雪夫大数定律,有0 ,1) 1 (lim 2 1 n i i n Y n P 即,有0 1)( 1 (lim 2 1 2 n i i n aX n P 从而确定当时,随机变量依概率收敛于,即当充分大时,n n i i aX n 1 2 )( 1 2 n 可以用作为仪器误差的方差近似值。 n i in aX n S 1 22 )( 1 1.3.2 伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 伯努利大数定律（频率的稳定性）：设是次独立试验中事件 A 发生的次数,p 是 n n 事件 A 在每次试验中发生的概率,则对于任意正数 ,恒有 或 【2】 0lim p n n n 1lim p n n n 表明：随着 n 的增大,事件 A 发生的频 商丘学院本科毕业设计（论文） 5 率与其概率 p 的偏差大于预先给定的精度的可能性愈来愈小,小到可以忽略 n n p n n 不计。这就是频率稳定于概率的含义,或者说频率依概率收敛于概率。这个定理以严格的 数学形式刻画了频率的稳定性,因此,在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用时间发 生的频率来代替事件的概率。伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的理论依据。我 们可通过多次重复一个试验,确定事件 A 在每次试验中出现的概率为。)( n APP n 譬如,抛一枚硬币出现正面的概率 p=0.5。若把这枚硬币连抛 10 次,则因为 n 较小,发 生大偏差的可能性有时会大一些,有时会小一些。若把这枚硬币连抛 n 次,当 n 很大时,由 切比雪夫不等式知：证明出现的概率与 0.5 的偏差大于预先给定的精度（若取精度 =0.01）的可能性。 n P n 4 10 n0.01 0.50.5 01 . 0 5 . 0 4 2 当 n=105 时,大偏差放松的可能性小于。当 n=106 时,大偏差发生的可能性5 . 2 40 1 小于。可见试验次数愈多,偏差发生的可能性愈小。25 . 0 400 1 1.3.3 辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 我们已经知道,一个随机变量的方差存在,则其数学期望必定存在；但反之不成立,即 一个随机变量的数学期望存在,则其方差不一定存在。以上几个大数定律均假设随机变量 序列的方差存在,以下的辛钦大数定律去掉了这一假设,仅设每个的数学期望存在,但 n X i X 同时要求为独立同分布的随机变量序列。伯努利大数定律仍然是辛钦大数定律的特 n X 例。 辛钦大数定律 ：设为一独立同分布的随机变量序列,若的数学期望存在,则 i X i X 服从大数定律,即对任意的,有 i X0 1)( 11 (lim 11 n i i n i i n XE n X n P 成立。 辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望的近似值的方法。设想对随机变量)(XE 商丘学院本科毕业设计（论文） 6 独立重复地观察次,第次观察值为,则应该是相互独立的,且它们的Xnk k X n XXX, 21 分布应该与的分布相同。所以,在存在的条件下,按照辛钦大数定律,当足够大X)(XEn 时,可以把平均观察值作为的近似值。这样做法的一个优点是我们可以不必 n i i X n 1 1 )(XE 去管的分布究竟是怎样的,我们的目的只是寻找数学期望。X 事实上,用观察值的平均去作为随机变量的均值在实际生活中是常用的方法。譬如,用 观察到的某地区 5000 个人的平均寿命作为该地区的人均寿命的近似值是合适的,这样做法 的依据就是辛钦大数定律。 概率论借助于数学分析,可以较好地描述、处理、解决随即现象的有关理论和应用问 题。反之,用概率方法来解决数学分析中的一些问题,也是概率论的重要研究方向之一3。 数学分析中的有些问题,用数学分析的方法很难解决,但如果巧用概率论的方法,则变得比 较容易处理了。 再比如,许多极限的运算运数学分析的方法会很麻烦,但是运用概率论中相关的知识 或许会达到事半功倍的效果。 例 3：假设,求其极限 1, 0 , 2 : ),( 21 22 2 2 121nnnn xxx n xxxxxxG 。 n G n dxdx 1 解 ：假设随机变量在0,1上有均匀分布,而且相互独立,有), 2 , 1(i i 3 1 , 2 1 2 ii ED 易见 2 ),( 22 2 2 1211 n PGPdxdx nnn G n n 6 1 )( 1 2 1 )( 1 222 2 2 1 22 2 2 1inn E n P n P 6 11 2 1 2 i n i i E n P 由独立同分布,可见独立同分布。根据辛钦大数定律知 n , 21 22 2 2 1 , n 商丘学院本科毕业设计（论文） 7 1) 6 11 (lim 2 1 2 i n i i n E n P 从而 1lim 1 n G n n dxdx 1.4 大数定律的意义 概率论与数理统计是研究随即现象的统计规律的科学，而随机现象的统计规律性只 有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。大数定律是概率论中的重要内容, 其目的是考察随机序列的稳定性。从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的概率 具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近。人们在实 践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就 是说，无论个别随机个体以及它们在随机试验过程中的个别特征如何，大量随机个体的 平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的。深入考虑后,大数定律就是要研究在 什么条件下具有稳定性的问题，同时大数定律是保险财政稳定性重要的理论基础，大数 定律在概率论的所有部分中都有着应用。 除此之外,许多学者利用概率论思想研究了大数定律在其他相关领域的应用。例如统 计方面的应用,在信息论中的应用,在分析,数论等方面的应用。 2 中心极限定理的应用 2.1 前言 大数定律讨论的是多个随机变量的平均的渐近性质,但没有涉及到随机变量 n i i X n 1 1 的分布的问题。而概率论与数理统计中,正态分布是一种最常见而又最重要的分布。在实 际应用中,有很多随机变量都服从正态分布。在实际应用中,有很多随机变量都服从正态 分布,即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量,它们的和分布也近似服从正态 分布,自然要提出这样的问题：为什么正态分布如此广泛地存在,从而在概率论中占有如 此重要的地位？应如何解释大量随机现象的这一客观规律性呢？事实上,这正是客观实际 的反映,中心极限定理就是概率论中论证随机变量和的极限分布为正态分布的定理总称。 概率论中有关论证独立随机变量的和的 商丘学院本科毕业设计（论文） 8 极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 2.2 几类重要的中心极限定理的应用 2.2.1 林德伯格定理及其在保险方面的应用 林德伯格定理：设独立随机变量满足林德伯格条件，对于任意的正 n XXX, 21 数,有。 n i sx ii n n ni dxxfx S 1 2 2 0)()( 1 lim 其中是随机变量的概率密度,则当时,我们有)(xfi i Xn dtezZP z t n n 2 2 2 1 )(lim 即 dtez s X P z t n n i ii n 2 1 2 2 1 ) )( (lim 其中是任何实数。 z 林德伯格定理可以解释如下：假如被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量 的和,其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用,则可以认为这个随机变量实际上是 服从正态分布的。 例如,进行观测时,不可避免地有许多引起观测误差的随机因素影响着我们的观测结 果,其中有些误差是由测量仪器的情况引起的,这些情况可以在温室、大气压力或其他因 素的影响之下改变着；有些误差是属于观测站个人的误差,这些误差大多数是由于视觉或 听觉引起的等等。这些因素中的每一个都可能使观测的结果产生很小的误差,然而由于所 有这些误差共同影响着观测结果,于是我们得到的是一个“总的误差”。所以,实际观测 的到的误差可以看作是一个随机变量,它是很多数值微小的独立随机变量的总和,按林德 伯格定理,这个随机变量应该服从正态分布。此外,还可以举出很多类似的例子,这里具体 举出一个例子4。 例 4：某保险公司有 2500 个人参加保险,每人每年付 1200 元保险费,在一年内一个人 死亡的概率为 0.002,死亡时某家属可向保险公司领得 20 万元。 问：(1)保险公司亏本的概率多大？ (2)保险公司一年的利润不少于 100 万元,200 万元的概率各位多大？ 解：（1）设 X 为一年内死亡的人数,则 商丘学院本科毕业设计（论文） 9 XB(2500,0.002),5np99 . 4 npq P(亏本)=)15(1)15()30020(XPXPXP 00007 . 0 99993 . 0 1)48 . 4 (1) 99 . 4 515 (1 保险公司亏本的概率为 0.00007,几乎为零。 （2） P(利润)100)10020300(XP 98 . 0 ) 99 . 4 510 ()10( XP P(利润)200)20020300(XP 5 . 0) 99 . 4 515 ()5( XP 以上结果说明保险公司几乎不可能亏本,不过要记住,关键之处是对死亡率估计必须 正确,如果所估计死亡率比实际低,甚至低得多,那么情况就会不同。 2.2.2 列维定理及其在极限求解方面的应用 列维定理：设随机变量相互独立,服从同一分布,且有有限的数学期望 n XXX, 21 和方差,则随机变量的分布函数满足如下极限式 2 n 1 nX Y n i i )(xFn ,dtex n nX PxF x t n i i n n n 2 1 2 2 1 ) )( (lim)(lim 其中是任何实数。x 定理的应用：对于独立的随机变量序列,不管服从什么分布,只 n X), 2 , 1(niXi 要他们是分布,且有有限的数学期望和方差,那么,当充分大时,这些随机变量之和n 近似地服从正态分布。 n i i X 1 ),( 2 nnN 大数定律和中心极限定理是概率论中的重要理论,是分析中的极限理论在概率论中的 综合运用,同时极限定理中的一些结果也为分析中的许多极限问题提供了有力工具5。 商丘学院本科毕业设计（论文） 10 例 5：求极限 n n k k n e k n 0 ! lim 解 引入随机变量（参数为的泊松分布）, ,且)(: ! nPe k n X n k k n, 2 , 1k 相互独立,由泊松分布的再生性知, ,所以 P=,而 k X)(: 1 nPX n k k nX n k k 1 n n k k e k n 0 ! E（）=D=n,Pn=P n k k X 1 n k k X 1 n k k X 1 n nn n nX n k k 1 即： =P n n k k e k n 0 !n nX n k k 1 0 令 n,由中心极限定理可知： =P= n n k k n e k n 0 ! lim n lim n nX n k k 1 0 )0( 2 1 2.2.3 棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设在独立试验序列中,事件 A 在各次试验中发生的概 率为,随机变量表示事件 A 在次试验中发生的次数,则有) 10(pp n Yn ,dtez pnp npY P z t n n 2 2 2 1 )1 ( lim 其中是任何实数。z 棣莫弗-拉普拉斯定理是概率论历史上的第一个中心极限定理,它是专门针对二项分布 的,因此称为“二项分布的正态近似”。在之前概率论的学习中有“二项分布的泊松近似” ，两者相比,一般在较小的时候,用泊松分布近似较好,而在和时,用正p5np5)1 (pn 态分布近似较好。 商丘学院本科毕业设计（论文） 11 二项分布的极限分布是正态分布，即如果则),(pnBX )()(e 2 1 )1 ( 2 2 abdtb pnp np aP b a t 一般地,如果,则),(pnBX ) )1 ( () )1 ( ( )1 ()1 ()1 (pnp npa pnp npb pnp npb pnp npX pnp npa PbXaP 说明：这个公式给出了较大时二项分布的概率计算方法。n 在给出棣莫弗-拉普拉斯定理应用之前,先说明两点： (1) 因为二项分布是离散分布,而正态分布是连续分布,所以用正态分布作为二项分布 的近似计算中,作为修正可以提高精度。若均为整数,一般先作如下修正后再用正态 21 kk 近似。)5 . 05 . 0()( 121 kkPkkP nn (2) 若记,则由棣莫弗拉普拉斯极限定理给出的近似式)(y ， )()(yyYP n 可用来解决三类计算问题：（1）已知求；（2）已知求;（3）已知yn, , n y 求。, yn 以下我们就分这三类情况给出一些具体的例子。 给定，求。yn, 例 6：一复杂系统由 100 个相互独立工作的部件组成,每个不见正常工作的概率为 0。9。一直真个系统中至少有 85 个不见正常工作,系统工作才正常。试求系统正常工作的 概率。 解：记=100,为 100 个部件中正常工作的部件数,则n n Y b(100,0.9)； n Y90)( n YE9)1 ()(pnpYD n 商丘学院本科毕业设计（论文） 12 所求概率为 966 . 0 )83. 1 () 3 5 . 5 (1) 3 905 . 085 (1)85( n YP 已知，求。 , n y 例 7：某车间有同型号的机床 200 台,在一小时内每台机床有 70的时间是工作。假 定各机床工作是相互独立的,工作时每台机床要消耗电能 15kW。问至少要多少电能,才可 以有 95的可能性保证此车间正常生产。 解： 记=200,为 200 台机床中同时工作的机床数,n n Y 则：b(200,0.7),。 n Y42)(,140)( nn YDYE 因为台机床同时工作需消耗 15（kW）电能,所以设供电数为(kW),则正常生产 n Y n Yy 为,由题设,其中yYn1595 . 0 15 yYP n 95 . 0 42 1405 . 015 15 y yYP n 查正态分布表得 645 . 1 42 1405 . 015 y 从中解得（kW）,即此车间每小时至少需要 2252（kW）电能,才有 95的可2252y 能性保证此车间正常生产。 已知，求。, yn 例 8：某调查公司受委托,调查某电视节目在 S 市的收视率,调查公司将所有调查对p 象中收看此节目的频率作为的估计。现在要保证有 90的把握,使得调查所得收视率p p 与真实收视率之间的差异不大于 5。问至少要调查多少对象？ pp 解： 设共调查 n 个对象,记 =0,当第 i 个调查对象收看此电视节目； i X =1,当第 i 个调查对象不看此电视节目。 i X 商丘学院本科毕业设计（论文） 13 则独立同分布,且(=1)=,(=0)=, i XP i XpP i Xp1ni, 2 , 1 又记个被调查对象中,收看此电视节目的人数为,则有n n Y 。),( 1 pnbXY n i in 由大数定律,当很大时,频率与概率很接近,即用频率作为的估计是合适的。n n Yn pp 根据题意有 ,90 . 0 1) )1 ( 05 . 0 (2)05 . 0 1 ( 1 pp n pX n P n i i 所以 ,95 . 0 ) )1 ( 05 . 0 ( pp n 查正态分布表得 ,645 . 1 )1 ( 05 . 0 pp n 从中解得： np(1-p)=p(1-p)1082.41 2 2 05 . 0 645 . 1 又因为,所以,即至少调查 271 个对象。 25 . 0 )1 ( pp 6 . 270n 例 9：某单位有 200 台电话分机,每台有 5的时间要使用外线通话,假定每台分机是 否使用外线是相互独立的,问该单位总机要安装多少条外线,才能以 90以上的概率保证 分机用外线时不等待？ 解 ：设有部分机同时使用外线,则有, X),(pnBX 其中,200n05 . 0 p10np08 . 3 )1 ( pnp 设有条外线。由题意有N9 . 0 NXP 由棣莫弗-拉普拉斯定理有 08 . 3 10 )1 ()1 ()1 ( N pnp npN pnp npN pnp npX PNXP 商丘学院本科毕业设计（论文） 14 查表得,故应满足条件。90 . 0 )28. 1 (N28 . 1 08 . 3 10 N 即,取,即至少要安装 14 条外线。94.13N14N 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 设为独立随即变量序列,若存在,满足, n X00)( 1 lim 1 2 2 n i II n n XE B 则对任意的,有 xdtxX B P n i ii n n x - 2 t - 1 2 e 2 1 )( 1 lim 其中, ii XE)( 2 )( I XD 22 2 2 1 )( nin XDB 例 10：一份考卷由 99 个题目组成,并按由易到难顺序排列。某学生答对第 1 题的概 率为 0.99；答对第 2 题的概率为 0.98；一般地,他答对第 题的概率为 1,i100i 。假如该学生回答各题目是相互独立的,并且要正确回答其中 60 个题目以上（包, 2 , 1i 括 60 个）才算通过考试。试计算该学生通过考试的可能性多大？ 解：设若学生答对第 题,则；若学生答错第 题,则。i1 i Xi0 i X 于是 Xi相互独立,且服从不同的二点分布： ,。 100 1) 1( i pXP ii 100 1)0( i pXP ii 99, 2 , 1i 而我们要求的是，为使用中心极限定理,我们可以设想从开始的随机变 60 99 1i i XP 100 X 量都与同分布,且相互独立。下面我们用来验证随机变量序列满足李雅普诺 99 X1 n X 夫条件,因为 n i ii n i in ppXVarB 11 )1 ()()(n ,)1 ()1 ()1 ()( 33 3 iiiiiiii pppppppXE 于是 （n）,0 )1 ( 1 )( 1 2 1 1 1 3 3 n i ii n i iI n pp pXE B 即满足李雅普诺夫条件,所以可以使用中心极限定理。 n X 商丘学院本科毕业设计（论文） 15 又因为 , 5 . 49) 100 1 ()( 99 1 99 1 99 1 ii i i i i pXE 665.16) 100 )( 100 1 ()( 99 1 99 1 2 99 ii i ii XDB 所以该学生通过考试的可能性为 665.16 5 . 4960 665.16 5 . 49 60 99 1 99 1 i i i i X PXP 005 . 0 )5735 . 2 (1 由此看出：此学生通过考试的可能性很小,大约只有千分之五。 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 3.1 大数定律和中心极限定理的比较应用 例 11：现有一大批种子,其中良种占,今在其中任选 6000 粒,试分别用切比雪夫不 1 6 等式估计和用中心极限定理计算在这些种子良种所占的比例与之差小于 1的概率是多 1 6 少？ 解：（1）设取出的种子中的良种粒数为,则于是X) 6 1 ,6000( BX 1000 6 1 6000 npEX1000 6 5 6 5 6 1 6000)1 (pnpDX 要估计的规律为,601000 100 1 6 1 6000 XP X P 相当于在切比雪夫不等式中取,于是60 2 60 1601000 100 1 6 1 6000 DX XP X P 由题意得7685 . 0 2315 . 0 1 3600 1 1000 6 5 1 60 1 2 DX 即用切比雪夫不等式估计此概率不小于 0.7685。 （2）由拉普拉斯中心极限定理,对于二项分布可用正态分布) 6 1 ,6000(B 商丘学院本科毕业设计（论文） 16 近似,于是所求概率为)100 6 5 ,1000(N ) 65 1000 1000940 () 65 1000 10001060 (1060940 100 1 6 1 6000 XP X P 9625 . 0 1)0785 . 2 (2 即用中心极限定理估计此概率不小于 0.9625。 从本例看出：用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于 0.7685,而用中心极限 定理可得出要求的概率近似等于 0.9625。从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是较低 的。但由于它的要求比较低,只要知道 X 的期望和方差,因而在理论上有许多运用。 当然，两者的比较还有在许多方面的应用，这里就不做详细的介绍了，只起到一个 引导的作用。 结束语 随着社会的飞速发展,市场竞争日趋激烈,决策者必须综合考察以往的信息及现状从 而作出综合判断,决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。利用数学方法,定量地对 医学问题进行相关分析,使其结论具有可信度,更有利于促进对病人的对症施治等。本