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第1章 线性系统的状态空间描述 第一章 线性系统的状态空间描述 1.1 线性系统状态空间描述 1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 1.3 系统的传递函数矩阵 1.5 组合系统的状态空间描述 1.4 线性系统等价的状态空间描述 1 第1章 线性系统的状态空间描述 1.1 线性系统状态空间描述 一系统数学描述的基本类型一系统数学描述的基本类型 1 1几个基本定义几个基本定义 系统：是由相互关联和相互作用的若干组成部分 按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。 对于控制工程而言，它可能是被控对象、控 制装置，也可能是某些部件的串联、并联和反馈 组合。 2 第1章 线性系统的状态空间描述 图1-1 系统的方块图表示 图中方块以外的部分为系统环境; 环境对系统施加的作用或激励称为系统输入， 用向量 表示; 系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信 息）称为系统输出，用向量 表示； 系统输入和输出统称为系统的外部变量。 描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量， 用向量 表示，它是系统的内部变量。 3 第1章 线性系统的状态空间描述 主要的数学描述 输入输入 输出输出 描述描述 矩阵矩阵 分式分式 描述描述 状态状态 空间空间 描述描述 系统系统 矩阵矩阵 描述描述 4 第1章 线性系统的状态空间描述 2 2系统数学描述的基本类型系统数学描述的基本类型 1）输入输出描述（外部描述） 输入输出描述是描述系统输入输出变量关系的 模型。如传递函数、微分方程等. 输入输出描述（外部描述）仅描述系统的外部特性 ，不能反映系统的内部结构特征（即不能反映“黑箱” 内部的某些部分），是对系统的一种不完全描述。 System 视系统为 black box 5 第1章 线性系统的状态空间描述 例如： 从输入输出关系来看，它们具有相同的传递函数： 实际上这两个系统是不等价的，一个是能观不能控的 ，一个是能控不能观的。 表明:系统的内部特性比起由传递函数表达的外部特性 要复杂得多，输入输出描述没有包含系统的全部信息， 不能完整的描述一个系统。 6 第1章 线性系统的状态空间描述 2）状态空间描述（内部描述） 状态空间描述通过建立系统内部状态和系统的输 入以及输出之间的数学关系，来描述系统的行为。 F( x，u，t ) u(t)y(t) 图1-3 系统的状态空间描述 状态空间描述（内部描述）能完全表征系统的一 切动力学特征，它是对系统的一个完全描述。 7 第1章 线性系统的状态空间描述 状态空间描述是基于内部结构分析的数学模 型，通常由两个数学方程组成。 状态方程：是描述系统内部变量 与输入变量 间因果关系的数学表达式 ，常具有微分方程或差分方程的形式。 输出方程：是表征系统内部变量 及输入变量 和输出变量 间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形式. 8 第1章 线性系统的状态空间描述 系统的状态 描述系统的过去、现 在和未来行为的变量 组，是用来完善地描 述系统行为的最小的 一组变量。 状态变量 状态变量是指构成系 统状态的每一个变量 。状态变量构成的列 向量为状态向量。 二二. . 状态的含义状态的含义 9 第1章 线性系统的状态空间描述 状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现在： 只要给定这组变量 在初始时刻t0的值 ，以及输入变量 在各瞬时tt0的值，则系 统中任何一个变量在tt0时的运动行为就可以被完全确定。 系统的状态空间描述 关于状态的几点说明 状态变量组的最小性体现在： 状态变量 是为完全表征系统行为所 必需的系统变量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完全 性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。 10 第1章 线性系统的状态空间描述 状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个 是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不 唯一性。 系统的状态空间描述 关于状态的几点说明 系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇 异变换的关系。 状态变量是时间域的。 状态变量有时是不可测量的。 状态变量不是所有变量的总和。 输出量可以选作状态变量。 输入量不允许选作状态变量。 11 第1章 线性系统的状态空间描述 状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组 成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间 所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。 12 第1章 线性系统的状态空间描述 1状态方程（）：描述系统状态变量与输入变量 之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方 程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化 ，其一般形式为： 或 三 线性系统的状态空间描述 13 第1章 线性系统的状态空间描述 2输出方程（）：描述系统输出变量与状 态变量和输入变量之间函数关系的代数方程组称为 系统的输出方程。其一般形式为： 或 14 第1章 线性系统的状态空间描述 3 3状态空间表达式：状态空间表达式：状态方程与输出方程的 组合称为状态空间表达式，又称为动态方程或状态 空间描述。其一般形式为： 连续系统： 离散系统： 15 第1章 线性系统的状态空间描述 4 4线性系统状态空间表达式：线性系统状态空间表达式：状态方程与输出方 程都是线性方程的系统是线性系统。线性系统的状态方 程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。 线性连续系统状态空间表达式为： 线性离散系统状态空间表达式为： （简记为 ） 16 第1章 线性系统的状态空间描述 式中：若状态x、输入u、输出y的维数分别为n, p, q，则 系统矩阵(或状态矩阵、系数矩阵); 控制矩阵（或输入矩阵）； 观测矩阵（或输出矩阵）； 前馈矩阵（或输入输出矩阵）； 17 第1章 线性系统的状态空间描述 5 5线性定常系统状态空间表达式线性定常系统状态空间表达式( () )：线性系统 的状态空间描述中，若系数矩阵的各元素都是常数，则 称该系统为线性定常系统(线性时不变系统), 否则为线 性时变系统. 线性定常连续系统状态空间表达式为： 线性定常离散系统状态空间表达式为： （简记为 ） （简记为 ） 18 第1章 线性系统的状态空间描述 图1-4 线性连续时间系统结构图 图1-5 线性离散时间系统结构图 注意：1）每一个方块的输入输出关系规定为： 输出向量 = (方块所示矩阵)(输入向量) 2）向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。 19 第1章 线性系统的状态空间描述 从以上两个结构图中可以看出，D描述了输入u 不经状态变量x对输出y的直接影响，它不影响系统 的动态过程，实质上是系统外部模型的一部分。 因此，当利用状态模型来分析系统动态行为时 ，常假设D0，并不失对问题讨论的一性。 连续时变系统： 连续时不变系统： 20 第1章 线性系统的状态空间描述 C C BB DD AA 输入输出描述仅揭 示系统在初始松弛 假定下输入输出间 的关系，不能揭示 系统的内部行为。 复杂的线性系统， 求状态空间描述较 困难，可借助于直 接量测求取输入输 出描述。 动态方程能够推 广到时变情形， 而传递函数向时 变情形的推广是 不成功的。 若采用动态方程 描述，较容易在 计算机上对系统 进行仿真。 输入输出描述和状态空间描述的比较 系统的状态空间描述 21 第1章 线性系统的状态空间描述 1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1.根据系统机理建立状态空间表达式：属于分析的途径 ，适用于结构和参数为已知的系统。 直接根据系统的机理建立相应的微分方程，继而选择有关的 物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式。 2.由系统其它数学模型建立状态空间表达式：属于由系统其它数学模型建立状态空间表达式：属于辨识 的途径，适用于结构和参数难以搞清楚的系统。 通过实验手段取得数据并采用适当的方法确定系统的输入输 出模型，再由所得的系统输入输出描述导出相应的状态空间描述 。 22 第1章 线性系统的状态空间描述 一根据系统机理建立状态空间表达式一根据系统机理建立状态空间表达式 根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤： 1）根据系统所遵循的物理规律，建立系统的微 分方程或差分方程； 2）选取有关物理量 (变量) 作为状态变量，推导 出系统的状态方程和输出方程。 23 第1章 线性系统的状态空间描述 例1-1（P403例9-1）：建立RCL网络的状态方程 解：根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于 零，得到系统的方程： 系统的输入、输出分别为 24 第1章 线性系统的状态空间描述 a）选取状态变量 ，则状态空 间描述为： b）选取状态变量 ，则状态空间描述为： 状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。 25 第1章 线性系统的状态空间描述 比较两种状态变量选取方法，很容易得到它们 之间的变换矩阵： 即 和 注意：该例说明系统的状态空间描述不是唯一的 ，各种描述之间可以相互转换，且不改变系统的 固有性质。 26 第1章 线性系统的状态空间描述 二由系统其它数学模型建立状态空间表达式二由系统其它数学模型建立状态空间表达式 （即化输入（即化输入输出描述为状态空间描述）输出描述为状态空间描述） 状态实现：由输入-输出描述建立状态空间描述 ，称为状态实现。 一个给定系统的状态实现有多种形式。在线性系 统理论中，要讨论某种性质时，为叙述方便，常采 用特定的标准形式。 可控标准型实现 可观测标准型实现 对角型实现 约当规范型实现 27 第1章 线性系统的状态空间描述 1 问题的提法 考虑一个单变量线性定常系统，其输入输出描述微分方程 如下： 状态实现问题将归结为选取适当的状态变量组和 确定各个系数矩阵。 其中： 或： 28 第1章 线性系统的状态空间描述 2. 可控标准型实现（） 设 则矩阵形式的可控标准型实现为 式中： 友矩阵 29 第1章 线性系统的状态空间描述 总结：系统矩阵A的上方次对角线的元素全为1 ，最后一行是G(s)的特征多项式系数的相反数的逆 序排列，其余元素全为零，上述形式的A阵称为友 矩阵； 控制矩阵（向量）b是最后一个元素为1，其余 元素均为零的列向量；输出矩阵（向量）c是G(s)分 子多项式系数的逆序排列。若动态方程中的A，b具 有这种形式，则为可控标准型。 30 第1章 线性系统的状态空间描述 3 可观测标准型实现（） 则矩阵形式的状态方程和输出方程为 式中： 友矩阵 31 第1章 线性系统的状态空间描述 总结：系统矩阵A的下方次对角线的元素均为1 ，最后一列是G(s)的特征多项式系数的相反数的逆 序排列，其余元算全为零，上述形式的A阵称为友矩 阵； 输出矩阵（向量）c是最后一个元素为1，其余 元素均为零的行向量；控制矩阵（向量）b是G(s)分 子多项式系数的逆序排列。若动态方程中的A，c具 有这种形式，则为可观测标准型。 32 第1章 线性系统的状态空间描述 例1-2（P411例9-5）（）：已知二阶系统的微分方程 试求系统的状态空间表达式. 解：系统传递函数为 可控标准型： 可观测标准型： 33 第1章 线性系统的状态空间描述 4 对角型实现 当系统传递函数只含单实极点时，还可作对角 型实现，该实现形式系统矩阵A是一个对角阵。 分母多项式D(s)有n个单实极点 ，对传递 函数作部分分式展开则有 ： 其中： 为G(s)在极点 处的留数。 34 第1章 线性系统的状态空间描述 对角型实现为： 或 对偶关系 35 第1章 线性系统的状态空间描述 例1-3：已知系统的传递函数为 请写出系统的对角型实现。 解：1）求系统极点： 故系统有三个单实极点，即 2）对传递函数进行部分分式展开为 即： 36 第1章 线性系统的状态空间描述 3）对角型实现为： 或 37 第1章 线性系统的状态空间描述 5 约当标准型实现 当传递函数除含有单实极点以外，还含有 重极点时，不能作对角型实现，但总可以作成 分块对角形实现，称之为约当标准型实现，其 系统矩阵A是一个含有约当块的矩阵。 38 第1章 线性系统的状态空间描述 即： 例1-4：系统传递函数为 求约当标准型实现。 解：系统极点为：3重极点1= 3，2重极点4 = - 2， 单极点6 = 1。 部分分式改写为： 39 第1章 线性系统的状态空间描述 约当标准型实现为： 40 第1章 线性系统的状态空间描述 或 41 第1章 线性系统的状态空间描述 总结： 1）对角型实现和约当标准型实现，需要计算 系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。 2）在线性系统理论中，许多定理或性质的证 明过程中，使用约当标准型是很方便的。 3）在作状态实现时选用可控标准型或可观测 标准型最为方便。如需要其它标准型式，可通 过非奇异变换来获取。 42 第1章 线性系统的状态空间描述 由系统微分方程建立状态空间表达式（自学由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409P405-409） 由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思 路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是 类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405- 407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递 函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标 准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做 的那样。 43 第1章 线性系统的状态空间描述 方法一： （1）m=0（微分方程右边不含输入变量的导数项） 选取系统的n个状态变量为 44 第1章 线性系统的状态空间描述 写成向量方程的形式： 45 第1章 线性系统的状态空间描述 （2）m=n（微分方程右边含输入变量的导数项 ） 按如下方法选取状态变量组： 46 第1章 线性系统的状态空间描述 经推导可得： 47 第1章 线性系统的状态空间描述 可得到系统的状态方程和输出方程为： 48 第1章 线性系统的状态空间描述 方法二（中间变量法） 令系统的输入输出描述微分方程如下： 系统的传递函数为： 49 第1章 线性系统的状态空间描述 引入中间变量z(t),则上式表示为： 对上面两式求拉氏反变换： 50 第1章 线性系统的状态空间描述 按方法一的方法选取状态变量： 51 第1章 线性系统的状态空间描述 可得到系统的状态方程和输出方程为： 52 第1章 线性系统的状态空间描述 1.3 系统的传递函数矩阵 (P421) 一传递函数矩阵的定义和表达式一传递函数矩阵的定义和表达式 1 1定义：定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式 与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递 函数矩阵，简称传递矩阵。 2 2表达式：表达式：设线性定常连续系统的状态空间描述为： 在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为： （） 53 第1章 线性系统的状态空间描述 证明：在初始条件为零的条件下，作拉普拉斯变换有： (sI-A)非奇异 54 第1章 线性系统的状态空间描述 三点说明： 1）若输入u为p维向量，输出y为q维向量，则G(s) 为(qp)矩阵。Y(s)=G(s)U(s)的展开式为： 式中：Gij(s)表示第i个输出量与第j个输入量之间的传函。 2）几个概念： 系统的特征矩阵：(sI-A) 55 第1章 线性系统的状态空间描述 系统的特征多项式：det(sI-A) , n维系统的特征多项式为: 系统的特征方程： 系统的特征根（或特征值）：特征方程 的根。 3）前馈矩阵D不影响系统的动态性能，在分析系统动 态性能时，通常认为D =0，即： 当D0时，G(s)为真有理分式阵； 当D=0时，G(s)为严格真有理分式阵。 56 第1章 线性系统的状态空间描述 例1-5（P422例9-10） （） ：已知系统动态方程为 解： 试求系统的传递函数矩阵。 57 第1章 线性系统的状态空间描述 传递函数矩阵为： 58 第1章 线性系统的状态空间描述 二二G G( (s s) )的实用算法的实用算法（补充）（补充） 结论：给定状态空间描述的系数矩阵A, B, C, D， 求出特征多项式 和 则相应的传递函数矩阵就可按下式来定出： 特别适用于 计算机计算 59 第1章 线性系统的状态空间描述 例1-6：给定系统的状态空间描述为： 求传递函数矩阵G(s)。 解：1) 先定出系统的特征多项式为： 2) 再计算系数矩阵： 60 第1章 线性系统的状态空间描述 3) 传递函数矩阵为: 61 第1章 线性系统的状态空间描述 三、计算特征多项式三、计算特征多项式 ( (s s) )的算法的算法 莱弗勒算法（补充）莱弗勒算法（补充） 莱弗勒算法：给定nn阶常阵A，其特征多项式为： 其系数 i i （i i= =n n-1,-1,n n-2,-2,1,0,1,0）可按如下顺序递推定出： 其中：tr表示矩阵的主对角线上元素之和，称为矩阵的迹。 I为n阶单位阵。 62 第1章 线性系统的状态空间描述 一 坐标变换 1 基底 设在线性空间中有一组线性无关向量，若该空 间中的每一个向量均可唯一地由该组向量的线性组合 表示，则称该组向量是该线性空间中的一个基底。 在n维向量空间中，任何n个线性无关向量均可作为 基底。 1.4 线性系统等价的状态空间描述 63 第1章 线性系统的状态空间描述 2 坐标变换 将系统在状态空间的一个基底上的表征， 化为另一个基底上的表征。 坐标变换是一种非奇异变换。 64 第1章 线性系统的状态空间描述 二 线性系统等价状态空间描述 1 1 线性定常系统线性定常系统 对x进行非奇异变换 ，则有 式中： 称两种状态空间描述是代数等价的。称两种状态空间描述是代数等价的。 65 第1章 线性系统的状态空间描述 2 2 线性时变系统线性时变系统 对x进行非奇异变换 ，则有 式中： 代数等价状态空间描述 66 第1章 线性系统的状态空间描述 三 代数等价系统的主要性质 u 对于两个代数等价系统 （1 1）它们的特征值相同；）它们的特征值相同； （2 2）它们的传递函数矩阵相同。）它们的传递函数矩阵相同。 u 对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范形或约 当规范形。 67 第1章 线性系统的状态空间描述 对角规范形 状态方程中的 系统矩阵A具 有对角形的形 式。 约当规范形 状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。 四 状态方程的对角规范形和约当规范形 68 第1章 线性系统的状态空间描述 u当A的n个特征值 两两互异时 u或当系统矩阵A的n个特征向量 线性无关 此时，系统的状态方程可以通过线性非奇异变换 ，变换为对角线规范形形式。 化对角规 范形的条件 1 化对角规范形的条件 69 第1章 线性系统的状态空间描述 2 化对角线规范形的方法 （1） 当A矩阵为一般形式时 结论：设系统满足化为对角规范形的条件，那么 系统的状态方程在变换 下必可化为如下 的对角线规范形： 其中： (1) Q矩阵由A的n个线 性无关的特征向量构成 的。 (2)在对角规范形下， 各个状态变量间实现了 完全解耦。 70 第1章 线性系统的状态空间描述 （2） 当A为友矩阵时 即 当A的特征值 两两互异时，则下 列的范德蒙特（Vandermode）矩阵P可使A对角化： 范德蒙特矩阵 71 第1章 线性系统的状态空间描述 1. 5 1. 5 组合系统的状态空间描述（补充）组合系统的状态空间描述（补充）( () ) p 组合系统：由两个或两个以上的子系统按一 定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。 p 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈。 两个线性时不变子系统S1和S2的状态空间描 述分别为： 72 第1章 线性系统的状态空间描述 一、子系统并联一、子系统并联 图1-11 并联组合系统 1 1可实行并联的条件可实行并联的条件 2 2并联组合系统的特点并联组合系统的特点 73 第1章 线性系统的状态空间描述 3 3并联组合系统的状态空间描述并联组合系统的状