线性变换、二阶矩阵及其乘法.ppt

知识点考纲下载考情上 线 线线性变变 换换、二 阶阶矩阵阵 及其乘 法 1.了解二阶阶矩阵阵的概念 2.二阶阶矩阵阵与平面向量的乘法、平面图图形 的变换变换 (1)了解矩阵阵与向量的乘法的意义义，会用映射与 变换变换 的观观点看待二阶阶矩阵阵与平面向量的乘法 (2)理解矩阵变换阵变换 把平面上的直线变线变 成直线线(或点) ， 即A(12)1A2A. (3)了解几种常见见的平面变换变换 ：恒等变换变换 、伸缩变缩变 换换、反射变换变换 、旋转变换转变换 、投影变换变换 、切变变 变变 换换 3.变换变换 的复合二阶阶矩阵阵的乘法 (1)了解矩阵阵与矩阵阵的乘法的意义义 (2)理解矩阵阵乘法不满满足交换换律 (3)会验证验证 二阶阶矩阵阵乘法满满足结结合律. (4)理解矩阵阵 乘法不满满足消去律. 选选考内 容在高 考中将 以解答 题题的形 式出现现 ，难难度 不大， 二阶阶矩 阵阵及其 乘法是 高考的 热热点 知识点考纲下载考情上 线 逆变变 换换与逆 矩阵阵、 矩阵阵的 特征向 量 1.逆矩阵阵与二阶阶行列式 (1)理解逆矩阵阵的意义义，懂得逆矩阵阵可能不存在 (2)理解逆矩阵阵的唯一性和(AB)1B1A1等简单简单 性质质，了解其在变换变换 中的意义义 (3)了解二阶阶行列式的定义义，会用二阶阶行列式求逆 矩阵阵 2.二阶阶矩阵阵与二元一次方程组组 (1)能用变换变换 与映射的观观点认识认识 解线线性方程组组的意 义义 (2)会用系数矩阵阵的逆矩阵阵解线线性方程组组 (3)理解线线性方程组组解的存在性、唯一性 3.变换变换 的不变变量 (1)掌握矩阵阵特征值值与特征向量的定义义，理解特征向 量的意义义 4.利用矩阵阵A的特征值值、特征向量给给出An简单简单 的 表 示，并能用来解决问题问题 . 本部分 内容将 以考查查 矩阵阵的 运算及 解线线性 方程组组 ，如求 逆矩阵阵 ，另外 特征值值 与特征 向量的 求法也 是常考 知识识点. 一、二阶阶矩阵阵的定义义 1由4个数a，b，c，d排成的正方形数表_ 称为为 二阶阶矩阵阵 2元素全为为0的二阶阶矩阵阵_称为为零矩阵阵，简记为简记为 _ 矩阵阵 称为为二阶单阶单 位矩阵阵，记为记为 . 二、几种特殊线线性变换变换 1旋转变换 直线线坐标标系xOy内的每个点绕绕原点O按逆时针时针 方向 旋 转转角的旋转变换转变换 的坐标变换标变换 公式是 对应对应 的二阶阶矩阵为阵为 2反射变换 平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P的线 性变换叫做关于直线l的反射 3伸缩变换 在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2为非零常数， 这样的几何变换为伸缩变换 4投影变换 设l是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点P 作直线l的垂线，垂足为点P，则称点P为点P在直 线l上的投影，将平面上每一点P对应到它在直线l上的 投影P，这个变换称为关于直线l的投影变换 5切变变换 平行于x轴的切变变换对应的二阶矩阵为_， 平行于y轴的切变变换对应的二阶矩阵为_ 三、变换、矩阵的相等 1设，是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果 对平面内的任意一点P，都有 ，则称这 两个线性变换相等 （P）=（P） 2对于两个二阶矩阵A与B，如果它们的_都分 别相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作AB. 对应元素 四、矩阵与向量的乘法 设A 规定二阶矩阵A与向量的乘 积为向量_，记为 或 ，即 这是矩阵 与向量 的乘法 Aa 五、线性变换的基本性质 性质1.设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个 向量，是一个任意实数，则 (1)A() ； (2)A() . 性质2.二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线 变成_ 定理：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个 向量，1，2是任意两个实数，则 A(12)1A2A. A AA 直线（或一点） 六、二阶矩阵的乘法 1设A 则 AB 2对直角坐标系xOy内的任意向量，有A(B) . 3二阶矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C . 4AkAl_，(Ak)lAkl. (AB)a (AB)C Ak+l 1已知矩阵M 向量 ，试判 断 (MN)与M(N)的关系，MN与NM的关系 解：(MN) M(N) 所以(MN)M(N) 又因为MN NM ，所以MNNM. 2求圆C：x2y24在矩阵A 对应变换作用下的 曲线方程，并判断曲线的类型 解：设P(x，y)是圆C：x2y24上的任一点，P1(x，y)是P(x， y)在矩阵A 对应变换作用下新曲线上的对应点，则 将 代入x2y24，得 y24，方程 1表示的曲线是焦点为(2 ，0)，长轴长为8的椭圆 3设a，bR，若M 所定义的线性变换把直线l： 2xy70变换成另一直线l：xy70，求a，b 的值 解：取直线l：2xy70上任一点(x0,72x0)，则它在对 应的变换作用下有 而点(ax0，x07b2bx0)在直线l： xy70上， 即ax0x07b2bx07.由x0的任意性得 4.运用旋转转矩阵阵，求直线线2xy10绕绕原点逆时针时针 旋转转 45后所得的直线线方程 解：旋转矩阵 直线2xy10上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0，y0) ， 直线2xy10绕原点逆时针旋转45后所得的直线 方程是 即 1二阶方阵的运算关键是记熟运算法则 2注意运算时运算律的应用，它满足结合律即(MN)P M(NP)(MP)N. 已知M ，求二阶 矩阵X，使MXN. 求二阶矩阵可先设出二阶矩阵X，根据矩阵乘法法 则，应用待定系数法求解. 解：设X ，按题意有 根据矩阵乘法法则有 解之得 1若 ，试试求x的值值 解： 伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变 换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以 看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变 换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合 在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为A(0,0) 、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的 图形的面积这里M 因为矩阵M表示反射变换，矩阵N表示旋转变换， 所以变换后所得图形与原图形全等. 解：在矩阵N 的作用下，一个图形变换为其 绕原点逆时针旋转90得到的图形，在矩阵M 的作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图 形因此ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与 ABC全等，从而其面积等于ABC的面积，即为1. 2直角坐标系xOy中，点(2，2)在矩阵M 对应 变换作用下得到点(2,4)，曲线C：x2y21在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C，求曲线C的方程 解：根据题意 ，即2a4，解得a 2，设曲线C变换前后对应点的坐标分别为(x，y)，(x， y)，则 代入曲线C的方程x2y21， 整理得 y2x21， 即曲线C的方程为x2 y21. 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可 以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量 区别清楚，防止混淆 已知曲线C：xy1. (1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后，求得到的曲线 C的方程； (2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程 首先要确定能够实施变换的矩阵，求出变换后的曲线C 的方程，再研究曲线C的几何性. 解：(1)由题设条件， 变换： 即有 解得 代入曲线C的方程为y2x22， 所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后，得到的曲线C的 方程是y2x22. (2)由(1)知，只需求曲线y2x22的焦点及渐近线，由于a2 b22，故c2，又焦点在y轴上，从而其焦点为(0,2)，(0 ，2)，渐近线方程为yx. 3已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A(1,2)变成了 点A(4,5)，点B(3，1)变成了点B(5,1) (1)求矩阵M； (2)若在矩阵M的变换作用下，点C(x,0)变成了点C(4， y)，求x，y. 解：(1)设该二阶矩阵为 由题意得 所以解得 故M (2)因为 解得x2，y2. 矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算是高考新增内容，多 考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形 ，从而研究新图形的性质，难度不大，属中档题，如 2008江苏高考21题. (2008江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2 y21在矩阵A 对应的变换下得到曲线F，求F的 方程 解 设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵 A对应的变换下变为点P(x