MIMO线性预编码论文（可编辑） .doc

mimo线性预编码论文 目 录 第一章绪论11.1 mimo技术概述11.2 mimo预编码简介21.3 本文的研究内容和组织结构3第二章背景知识介绍42.1 矩阵奇异值分解42.2 注水问题与实际算法6 2.2.1 引言6 2.2.2 注水问题数学模型6 2.2.3 注水问题的一般算法82.3 本章小结11第三章mimo块对角化预编码及改进算法123.1 多用户 mimo下行链路系统模型123.2 传统块对角化预编码算法143.3 基于qr分解的改进算法153.4 基于矩阵求逆的改进算法183.5 本章小结23第四章仿真与复杂度分析254.1 三种编码仿真效果254.2 三种编码复杂度分析对比274.3 本章小结32第五章总结和展望33参考文献34致 谢35绪论mimo技术概述 从一百年前,marconi等人开始着手无线技术的研究,到现在,我们的生活已经离不开无线通信,无线通信技术经历了迅猛地发展,无线通信用户数和用户需求也成指数性增长。但鉴于可用的无线电频谱资源极其有限,需求和资源的矛盾日益显现。此外,高速率的无线传输将导致用户和基站间干扰、多径衰弱等现象。因此,如何有效地利用稀缺的无线电资源,提高通信系统的信道容量以及提高链路可靠性是无线通信领域面临的一大问题。 目前,针对这一问题,先后出现了多项具有良好前景的技术,如多载波传输技术(正交频分复用,ofdm)、多天线技术、高性能编码/调制技术、超宽带技术(uwb)、各种动态及快速自适应技术以及智能资源管理等等。 本文研究的对象是多天线技术,它是下一代移动通信(4g)的关键技术之一。 多天线技术一般称作mimo(multiple input multiple output)。它利用多天线来抑制干扰,在接收端和发射端使用多个天线,充分利用空间传播中的多径分量,在同一频带上使用多个数据通道,从而使得容量随天线数目的增加而线性增加。更关键的是,这种信道容量的增加不占用额外的带宽,也不消耗额外的发射功率。 mimo技术主要有以下优点: 1)降低码间干扰:在mimo系统中,高速的数据流经过串并转换为多个低速的数据子流,每个码的长度增加,抗码间干扰的能力增强; 2)分集增益:传统的多天线被用来增加分集度从而克服信道衰落。具有相同信息的信号通过不同的路径被发送出去,在接收机端可以获得数据符号多个独立衰落的复制品,从而获得更高的接收可靠性。举例来说,在慢瑞利衰落信道中,使用1根发射天线n根接收天线,发送信号通过n个不同的路径。如果各个天线之间的衰落是独立的,可以获得最大的分集增益为n。对于发射分集技术来说,同样是利用多条路径的增益来提高系统的可靠性。在一个具有m根发射天线n根接收天线的系统中,如果天线对之间的路径增益是独立均匀分布的瑞利衰落,可以获得的最大分集增益为mn。可以看到,上述分集增益用独立衰弱支路数来描述,即分集指数,在使用了空时编码的mimo系统中,分集指数等于发射天线数和接收天线数的乘积;在分布式mimo系统中,发射或者接收端的多天线中,各个天线之间有足够的隔离度,空间信道的相关性很小,可认为它们各自的大尺度衰弱是相互独立的,因此,分布式mimo系统不仅可以获得上述的小尺度衰弱分集,还可以获得大尺度衰弱分集; 3)复用增益:从本质上来讲,如果每对发送接收天线之间的衰落是独立的,那么可以产生多个并行的子信道。如果在这些并行的子信道上传输不同的信息流,可以提供传输数据速率,这被称为空间复用。根据子数据流与天线之间的对应关系,空间多路复用系统大致分为三种模式:d-blast、v-blast以及t-blast。在采用空间复用方案的mimo系统中,可以获得复用增益,即信道的容量成倍地增加,实现高的通信容量和频谱利用率。 mimo技术不可避免有如下缺点: 1)空间相关:空间特性是维系mimo性能的关键,空间相关导致的低秩和低分集指数都极大影响着mimo的信道容量和误码性能; 2)空间干扰:这是空时复用最直接的影响,在没有空间分集可利用的系统中恢复各发射天线等功率的信号必定造成判决性能的下降,因此,预处理的方法以及接收端的干扰消除算法是能够保证系统性能的关键。1.2 mimo预编码简介 mimo空间复用技术可以大大提高系统容量,但在点对多点的多用户广播信道中,由于各用户在地理位置等方面的差异,不能协同接收。当各用户间的接收信号存在相互干扰时,也不能采用一般的检测方法避免干扰。为了解决多用户mimo系统广播信道中多用户干扰的问题,我们可以从两个方面着手解决:一方面是用户间协作通信,另一方面是在基站发送端采用预编码方法。 mimo系统中的空间相关性以及空间干扰的存在,极大影响和约束了mimo系统的性能的发挥,同时为克服这些缺点带来的必然是接收机复杂度的增加,预编码技术的出现为改善上述矛盾提供了可能。 预编码方法有三个主要的优势,一是通过发射端的预编码处理,可以有效地消除广播信道的多用户干扰,大大提高系统容量;二是可以大大简化接收机的算法,解决移动台的功耗和体积问题;三是由于发射端能准确知道各用户的数据,所以在发射端采用反馈干扰抵消的方法,不存在误码扩散问题,性能更优。因此,对多用户mimo系统广播信道的预编码技术的研究,是解决把mimo技术应用于下一代蜂窝系统的关键问题,具有较重大的研究价值。 预编码技术是发射端在获知部分或全部信道信息时,在发送端实施的一种预处理方法。经过预处理可以使得单用户的多个码流之间、多个用户间以及协作多点之间的干扰降低。 本文研究的是多用户mimo预编码技术。对于多用户mimo系统的下行信道,如果基站端完全知道csi,用户间的干扰可以通过预编码技术设计智能的发送信号来减小。迄今为止,主要的预编码方法分为两类:基于线性处理的方法和基于非线性处理的方法。 基于线性处理的方法包括信道求逆方法和广义的信道求逆方法,还有波束成型方法、发射机和接收机波束联合叠代优化方法等。典型的线性方法有基于迫零(zf)准则和最小均方误差(mmse)准则的方法,例如块对角化(block diagonalization)。 另外一类预编码方法则是基于非线性处理的方法。由于costa证明了一个令人惊讶的结果,在传统加性高斯白噪声信道中引入一个加性的干扰,只要发射机知道这个干扰,就可以使这种信道达到的容量与没有干扰的信道容量相同,并不需要花额外的功率去对消干扰,脏纸编码(dirty paper coding, dpc)便是基于这样一个原理。但是,costa的方法仅有理论意义,并没有提出一个可以简单的实现方法(dpc复杂度过高)。这类方法中可实现的典型技术有thp预编码(tomlinson-harashima precoding)、基于球型译码的矢量预编码等。 1.3本文的研究内容和组织结构 本文主要研究mimo预编码中的线性预编码,讨论了迫零线性预编码和块对角化线性预编码,重点在块对角化(bd,block diagonalization)线性预编码算法的研究。本文基于线性预编码消除多用户间干扰的需求,研究了两种块对角化线性预编码的改进算法,然后仿真证明了其和块对角化算法的效果一致性,但算法复杂度却大为降低(在一个既定的复杂度计算环境下比较)。本论文的主要内容安排如下: 第一章介绍mimo,并简单概述了mimo技术的优缺点。接下来说明mimo预编码技术的作用,并列出当下预编码技术的大体分类,引出本文的研究内容。 第二章对本文将要用到的基本数学及算法知识做介绍,其中提出的注水算法及其具体编程实现,能普遍解决一类包括功率分配在内的最优化问题。 第三章首先引进本文研究mimo预编码的基本模型,然后基于此模型,介绍了迫零线性预编码和块对角化线性预编码。最后,在块对角化线性预编码的基础上,提出来两种改进算法?基于qr分解的该进算法和基于矩阵求逆的改进算法。 第四章首先总结归纳块对角化线性预编码算法、基于qr分解的该进算法和基于矩阵求逆的改进算法的具体步骤,然后在统一给定的信道矩阵的环境下,仿真比较三种预编码算法的效果。最后,基于规定的一系列浮点操作计算原则,根据三种算法的具体步骤,分析比较了三种算法的复杂度,从而体现改进算法的优势。 第五章总结全文。归纳三种算法的异同,并从本质上总结mimo块对角化线性预编码的基本思想,即寻找信道矩阵的零空间正交基,由该零空间正交基生成对应的预编码矩阵,从而达到把其他用户干扰迫零的目标。 背景知识介绍 2.1矩阵奇异值分解 引理1. 设,和的特征值均为非负实数。 证明: 设是的特征值,是相应的特征向量,则: 因为是hermite矩阵,故是实数,又: 同理可证的特征值也是非负实数。证毕。 引理2. 设,则 证明: 设是的非0解,则: 即有,反之,的解,也是的解。因此线性方程组和同解,故 同理可得。证毕。 引理3. 设,则和的特征值相同,并且非0特征值的个数为 证明: ,两者的特征多项式相同,则特征值相同,又根据引理2,所以非0特征值的个数为,证毕。 奇异值的定义:设且的特征值为: 称为矩阵的正奇异值,简称奇异值,并且奇异值的个数恰好等于 奇异值分解定理:设且是的奇异值,则存在阶的酉矩阵和阶酉矩阵,使得: , 其中,上式称作矩阵的奇异值分解。 证明:因为是hermite矩阵,存在阶酉矩阵,使得下式满足: 其中, 把矩阵分块,记则有: 比较等式两端可得: 即 设,使得: 即的个列是两两正交的单位向量,则存在使得为酉矩阵,此时有: 证毕。 2.2 注水问题与实际算法 2.2.1 引言 很多能被建模成,约束条件求最值的工程问题,都能在注水的框架下给出解。众所周知的一类经典注水算法解决的是这样一种问题:在发送端总功率一定的情况下,求由多个子信道(例如频分子信道,时分子信道以及在收发两端用多天线而形成的一系列平行子信道)组成的信道的最大信道容量。 对于单条注水线,单个约束条件的简单注水问题,很多实际的算法都能用来求出解。但一些最优化问题往往演变成多条注水线,多个约束条件的复杂注水问题,对这类问题,找出实际的算法便属不易。 这里,本文用一种统一的视角看待不同种类的注水问题,并且就此,得出相应的一类普遍适用的实际算法。 2.2.2 注水问题数学模型 经典的求最大容量的注水问题,可以演变成下述数学关系式: 上式解的形式又可以演变成如下形式: 上式中,l是子信道的数目,是第i个子信道的增益。u是在满足条件下的注水线。 如图2-1所示,的结果在视觉上像是往容器内倒水,直至水平线u,容器不同部分的底部高度由子信道增益的倒数确定。这就是注水问题名字的由来。 图2-1注水示意图 我们把变成更为普遍的表达形式: 上式中,和是任意的正数。假设,且,则能转化成的形式,我们可以把看成是容器不同部分的宽度。 正如引言中所说,很多约束条件求最值问题的解都能转化为注水的形式,只是可能有多条注水线和多个约束条件。找到一个包括大部分注水形式的通行模型,统一解决此类注水问题,这是我们需要做的。 最为普遍的多条注水线,多个约束条件的注水问题能定义成如下数学关系式: 其中,表示第条注水线,是注水线的总条数,对应第条注水线有个变量,和是给定的常量,是约束注水线的函数(因为对的约束条件,能通过第一项,转化为对的约束函数),我们定义总子信道的个数为。 对的数值计算复杂度非常高,为了让问题易于处理,我们把的约束函数结构变得稍微特殊化些,即是转换成如下个约束函数: 其中是分别约束各条注水线的单调函数,是联合约束所有注水线的单调函数,是任意一个变量。需要指明的是,的数学模型仍然是很普遍的,实际上,它仍能包括大部分的注水形式。 2.2.3 注水问题的一般算法 假如一类约束条件求最值问题的解有如下的注水形式: 其中,表示第条注水线,是注水线的总条数,对应第 条注水线有个变量,和是给定的正常量,是任意一个变量,函数和是递增的单调函数。则的注水问题能用算法1解出,该算法在最坏情况下的复杂度和子信道的总数目成线性关系,即最坏需要次迭代。 算法1?解决由描述的多条注水线,多个约束条件的注水问题的实际算法: 输入:一系列数值和约束函数与 输出:变量与注水线的数值 第0步(初始化):假设,(若需要)把排序,使得成降序排列,即对每个有,有,并且定义。 第1步: 计算下面两式的值: 令使得第二式最大的值为 第二步:假如且,其中,则跳至第三步,否则,让,并跳回第一步。 第三步:找到,使得满足和,解得注水线和变量值如下: 结束。 注意到这个算法需要一列排好序的,最好的排序算法的复杂度是,代表序列的长度,但在很多情况下,上述序列已经事先排好序,这是因为它们大部分时候来自矩阵的特征值,很多求特征值的算法已经把特征值排好序。况且,相对于求特征值的复杂度,排序的复杂度是微不足道的。所以,我们总可以假定特征值已经排好序。 算法1的分析和证明: 算法1本质上是基于一系列的假定、测试、再假定的过程。首先,它假定所有的子信道都是可用的(),然后检验是否存在一个满足所有约束条件的解。假如不存在,推翻这一假设,再建立一个新的假设(选择合适的假设),再检验,迭代循环。一般来看,总的迭代次数(假设数目)是,因为每个信道都可能可用或不可用(或者),这是一个指数级的复杂度,但通过对这一问题结构的仔细分析,我们可以发现,复杂度其实可以降为线性的。 通过把排序,使得成降序排列,即,可以简化复杂度,即在这种降序排列的情况下,可用信道数的假设总次数可以减少为。因为是的递减函数,找可用信道数也即是找出,可以看出,对每个,仅有种可能性。于是,最初的算法复杂度可以改写为,注意到,算法复杂度得到降低。 每次我们都假设前个子信道是可用的,其余是不可用的,此时须满足下述关系式: 其中,且(方便起见,我们定义且)。 从可以看出,对每一个假定(可用子信道数),注水线上下界限都是确定的,并且的取值范围前后不重合(),据此,我么可以得出下述关系式: 因为函数是递增的,据我们可以得到下式: 根据,我们有,可以转化成下式: 因为的取值范围前后不重合且,并且是递增的,对每个,我们可以得到的一系列前后相接的取值区域。为了确定最终的取值范围,我们考虑所有的值,得到下式: 其中: 我们定义第一项中,取最大值的为。 根据上述分析,我们可知,对每个假设,我们都能确定变量的取值范围,但最后决定这个假设成立与否,关键在检验此时是否存在一系列注水线,使得条件满足,为了方便检验,我们根据改写函数: 因为和都是增函数,所以函数最终是关于的增函数。现在问题转化为,检验是否存在这样一个,使得,结合是增函数,即是检验下列条件是否满足: 根据以上分析,我们已经能够得出算法1了:从上限最大的取值范围开始(即是假设),然后逐步选择上限渐小的取值范围(即是),直到对应的约束条件满足。 更具体地说,算法1首先依照前述降序排列重排子信道(这样能减少迭代假设的次数),然后令,初始化算法(即假设所有子信道都可用)。此时,若约束条件满足,假设成立,否则,丢弃该假设,建立新的假设,迭代循环。 假如一个假设成立,算法第三步,注水线和变量值都能得到: 假如假设不成立,必须建立新的假设。为了让每个假设的范围首尾相接,算法第二步通过的原则,建立新的假设。此时的迭代(假设)次数从降为。 2.3 本章小结 本章介绍了mimo线性预编码所需的背景知识,主要是矩阵的奇异值分解和注水算法。 奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解,在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性,但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析,而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。在mimo块对角化线性预编码中,奇异值分解可以用来寻找信道矩阵的零空间向量以及求信道矩阵的伪逆。这样,便能达到消除多用户间干扰的目的。 注水算法一般解决的是这样一类问题:在发送端总功率一定的情况下,求由多个子信道(例如频分子信道,时分子信道以及在收发两端用多天线而形成的一系列平行子信道)组成的信道的最大信道容量。因为mimo系统多个等效平行子信道的噪声不同,在限功率的条件下,必然涉及如何分配各个子信道的功率以达到最大等效信道容量的问题。理想的注水算法是在噪声大的时候少分配功率,噪声小时多分配功率,最后噪声与功率之和为定值,这如果用图形来表示,则类似于给水池注水的时候,水池低的地方就多注水,也就是噪声小分配的功率就多(故称这种达到容量的功率分配方式叫做注水算法)。 实质上,注水算法是一种最优功率分配策略,前提是要获得信道csi(channel side of information),根据子信道的信道条件不同来分配。可以在时间,频率,空间上各自注水,也可以联合优化注水。 mimo块对角化预编码及改进算法 3.1多用户 mimo下行链路系统模型 如图3-1所示,我们考虑,一个基站同时向k个用户发送信息的简单多用户mimo下行链路系统模型。显然,这样便不可避免地使得所有用户,互相产生干扰。在这个系统模型中,基站配备有根发送天线,用户配备有根接收天线,方便起见,我们标记为。所有用户总的接收天线数定义为在离散时间复基带mimo系统中,基站到第个用户的信道可以建模成的矩阵,相应地,这个矩阵元素表示从基站第根发送天线到用户的第根接收天线的信道增益。 图3-1 mimo下行信道模型 关于发射端和接收端是否已知信道增益矩阵h,我们可以作两种不同的假设:发射端信道边信息(channel side of information at the transmitter,csit)和接收端信道边信息(channel side of information at the receiver,csir)。静态信道一般可以假设csir,因为其信道增益可以通过发送导频序列进行信道估计来获得。如果存在反馈信道的话,接收端的csir可以反馈给发射端,从而得到csit。在双向通信系统中,也有可能无需反馈信道,利用电波传播的互易性来得到csit。当发射端和接收端都不知道信道状态时,一般可以假设信道增益矩阵具有某种分布模型。最常用的模型是零均值空间白模型(zero-mean spatially white,znsw)。在这个模型中,h的元素是独立同分布的零均值、单位方差的复循环对称高斯随机变量。也有可能矩阵元素是复循环高斯随机变量,但是均值不为零,或者协方差矩阵不是单位阵。一般来说,对信道信息和h的分布假设不同时,相应的信道容量和时空编码方法一般也不同。本文,我们在一种简化的情况下建模,即是假设是行满秩的(此时称作富散射环境),并且基站获知所有信道矩阵信息。 本文的研究的内容是多用户mimo的线性预编码。我们首先定义传输的数据符号矩阵,噪声矩阵和预编码矩阵,如下所示: 其中,和分别是第个用户的数据符号向量和噪声向量,表示该用户相应的预编码矩阵。这里,我们假定发送信息向量的各个符号是独立零均值,方差为1随机变量,而噪声向量的各个值都是独立同分布,均值为0方差为1的复高斯随机变量,并且信道衰弱为平衰弱。 于是,总的接收信号可以表示成如下形式: 上式,表示第个用户的接收信号,即: 这里可以清楚的看到,的第二项表示多用户间的干扰。线性预编码的基本目标是根据信道矩阵信息设计,使得每个用户的数据流能满足给定的性能指标。 这里,我们先考虑一种简单的情况,以此说明预编码矩阵的选取。假定每个用户单根天线,即,此时,在基站天线数不少于所有用户天线总数的情况下,存在右伪逆矩阵: 因为,所以,变成下式: 可以看出,多用户间的码间干扰被消除了。这就是迫零预编码的基本思想。 若我们假定表示基站真正传送的信号向量,在传送总功率一定的情况下,有: 因为前文已经假定信息向量的各个符号方差为1,独立零均值,即有: 可以变换成如下形式: 3.2传统块对角化预编码算法 上文介绍了迫零预编码算法,但在接收端每个用户多天线时,迫零算法不再适用。针对接收端多天线的情况,一种基于迫零算法的改进推广算法?块对角化预编码算法(block diagonalization)被提出。 块对角化预编码矩阵可以通过三个步骤得到:第一步,为了消除多用户间的干扰,我们能得到一个预编码矩阵,用这个矩阵,我们能让等效信道矩阵变成块对角矩阵;第二步,通过乘以一个矩阵,使得每个用户的等效信道变成个平行子信道,互相不产生干扰;第三步,通过再乘以一个功率分配矩阵,使得在限功率的条件下,信道容量最大。 类似于迫零算法,块对角化算法的关键在于,通过预编码矩阵消除用户间的干扰,而这,需要满足下面关系式: 我们定义: 的限制条件可以转变成:预编码矩阵每列必须是零空间向量的线性组合。假设是行满秩的(各个用户各条天线相互独立),此时,的秩是,对进行奇异值分解: 其中,是的后列,根据可知,此时有: 即是零空间向量的正交基,若令,其中是任意矩阵,则多用户间的干扰得到消除。 此时,用户的等效信道是,为了把用户的等效信道分解成个平行的子信道,我们再对进行奇异值分解: 根据上式,若使得,收端用作为解码矩阵,此时接收信号可以表示如下: 因为是对角矩阵,用户的等效信道便被分解成了个平行的子信道。其中: 注意到乘上酉阵不改变噪声的分布,即和是同分布的。 由于这些并行信道互不干扰,所以我们说这些信道是通过总发送功率联系在一起的一组独立信道。 mimo系统的复用增益来源于mimo信道可以分解成r个并行的独立信道。在这些独立信道上传输多路数据,数据速率就可以比单天线系统提高r倍,这个提高的倍数就是复用增益。 最后,我们可以得到预编码矩阵的最终形式: 其中是功率分配矩阵,它是下面关系式的解: 上式是发送总功率,这种约束条件求极值问题可以通过注水算法求得,具体的算法实现见后文。 3.3基于qr分解的改进算法 前文可知,块对角化预编码算法的关键在于找到的零空间,使得成立。传统的块对角化预编码是通过奇异值分解找零空间,但这种做法,对每个用户的都要做一次奇异值分解,而这势必造成高复杂度。为此,我们寻求其他的方法得出的零空间,简化复杂度。 首先,我们定义的右伪逆矩阵(此时的发送端天线数不能少于接收端天线总数,否则右伪逆矩阵不一定存在): 其中,是的矩阵,即是的相应几列组成的矩阵。因为有: 所以,不难得出,再对做qr分解,我们能得到下式: 其中,的列是列向量的正交基,是上三角矩阵,它对角上都是正值,也即是可逆的。于是结合,可改写为下式: 因为是可逆的,所以有: 这里,我们可以看到,的各列组成了零空间的一组正交基。若预编码矩阵是各列的线性组合,则同样能达到消除多用户间干扰的目的。 若是每个用户只有一根天线,这种方法简化成传统的迫零预编码算法,所以它也可以看成是,迫零预编码算法在用户多天线情况下的一种改进推广。 类似于前述的传统块对角化算法,我们可以通过对奇异值分解得到等效平行子信道: 在收端用作为解码矩阵,同样可以得到下式: 最后的功率分配矩阵同样是下述关系式的解: 这同样可以通过注水求得。在限功率,求最大信道容量方面,(文献)证明了这种方法和传统块对角化预编码的效果是一致的,仿真证明见后文。 显然,这种基于qr分解的改进算法,相较于传统的基于奇异值分解的算法,复杂的得到降低。因为,在寻找的零空间向量时,基于qr分解算法需要对中的矩阵做qr分解,而传统的块对角化算法需要对中的矩阵做奇异值分解,后者明显更复杂。 关于复杂度方面的进一步仿真对比,见后文。 另一方面,前文提到,这种改进算法适用的条件是接受端天线数不得大于发送端天线数,即,相对的,基于奇异值分解的块对角化算法适用的条件是,目的是保证零空间向量的存在性。过去的几年,很多用来放宽块对角化这一约束性条件的算法被提出,例如,线性收发两端处理的循环联合设计以及在用户数量多时的用户选择算法。 这里我们单纯考虑这样一种情况,即收发两端的天线数目满足,此时奇异值分解块对角化算法适用,但本节基于qr分解的改进算法不再适用。实际中,确实存在这样一类例子:信道为。不过,可以对该算法提出一些修改,以适应上述情形。 令,考虑任意一个用户,例如用户,分解其信道矩阵: 其中,是用户信道矩阵的后行,时相应的前行。为了能用基于qr分解改进算法,先剔除用户的后行,即剔除,此时总的信道矩阵为: 其中,即是一个方阵,此时的新信道矩阵,符合qr分解改进算法的适用条件,对方阵求逆: 其中,对做qr分解,得到: 因为我们事先剔除了用户信道矩阵的后行,所以此处并不能直接作为预编码矩阵,但满足下面两个性质: 据此,对用户而言,预编码矩阵选为,因为,所以此时它对其他用户的干扰得到消除。接下来,需要找到其他用户的预编码矩阵。从上式可知,是零空间的正交基,考虑到我们需要是零空间的正交基: 所以,可以写成下面的形式: 其中,代表零空间的任意一组正交基,这可以方便通过奇异值分解或者qr分解得到。从而,此时的满足: 即有,消除了用户间的干扰。接下来的等效平行子信道和功率分配矩阵都和qr分解类似。 3.4基于矩阵求逆的改进算法 为了说明这种算法,我们先考虑两类实际中常见的最优化模型:限功率条件下,求能达到最大等效信道容量的预编码矩阵,称为加权和速率最大化(weighted sum rate imization,wsr);给定等效信道容量时,求使发送功率最小的预编码矩阵,称为加权和功率最小化(weighted sum rate imization ,wspmin)。这两类最优化模型可用下面两个数学关系式表达: 中,是总发送功率,是用户待优化的数据速率,而中,是用户的期望数据速率,是用户待优化的发送功率。是为了消除用户间的干扰,则从得出。和是相应的加权系数,通过此系数,我们可以区分不同用户的优先次序,例如在实际的系统中,不同用户可能有不同的流量类型。 首先,我们用传统奇异值分解块对角化的方法,来解决和两类最优化问题,然后我们再考虑用一种新的方法,进而对比两者的异同。 根据,我们知道用户的预编码矩阵有下面的形式: 我们令,其中是对角阵,对角元素分别是用户每个数据流功率的平方根,此时有: 中,a根据相似矩阵迹相同;b则因为奇异值分解中有:,。 中,是对角阵对角上第个元素,是对角阵对角上第个元素。根据得,是因为奇异值分解中,根据相似矩阵迹相同,且对角阵相乘符合乘法的交换律。 依据和,和可以分别改写成: 很明显,和都可以通过注水解决。接下来,我们引进一个定理,在此基础上提出另外一种算法。 定理1:定义为预编码阵,对行满秩的多用户mimo信道,解决和问题的最佳预编码阵可以写成: 其中, 是相应于用户的矩阵。 证明: 因为预编码阵需要消除多用户间的干扰,所以这里假设乘以,能变成块对角阵,即: 因为是行满秩矩阵(发送端天线数应不小于接受端天线总数),存在右伪逆矩阵,上式可以改写成: 定义是的正交补,它是矩阵,且,满足的所有解都可以表达成下面的形式: 其中,是任意一个矩阵。应用,我们可以改写和的两个限制条件: 中表示第个块对角子矩阵,例如,包括所有的元素,其中,;包括所有的元素,其中,其余以此类推。 应用和,我们可以改写和,如下所示: 假设和能让得到最优解。如果,我们总能找到和使得中功率约束条件满足,此时有: 容易看出,是一个正定矩阵,于是有新的速率满足下面关系: 即和并不能让得到最优解,与前述假设矛盾。从而可以得到,要使得满足最优化条件,必需。相似地,在最优化的情况下,也有。 从而式改写成: 证明结束。 依据定理1,我们进一步做如下分析,得出最后的改进算法: 定义,于是得到下式: 相应的约束条件可以改写如下: 其中,根据相似矩阵的迹相同得到。应用此式,我们可以进一步把和改写如下: 为了方便用注水模型求解,我们先把对称矩阵做相似对角化,即有: 其中,是个特征值组成的对角阵。应用上式,可做进一步简化: 其中,是对角阵,是对角上第个元素,是对角上第个元素,此时有: 依据和,和可以简化为方便注水的形式: 最后,我们总结该改进算法为以下几步: 第一步:构造矩阵,并计算。 第二步:每个用户,对做相似对角化,得到 第三步:根据或的关系式,用注水算法,求出,进而得到对角矩阵 第四步:每个用户,计算出,即有: 第五步:计算出 3.5 本章小结 本章首先引入多用户mimo下行链路系统模型,假设了一种简化的mimo模型:是行满秩的(此时称作富散射环境),并且基站获知所有信道矩阵信息。这样做的好处是忽略掉实际信道与预编码联系不大的因素,把研究的重点集中在预编码的基本概念上。 然后,假设收端每个用户单天线,在这个简单的条件下,利用矩阵的左右伪逆,引出迫零算法的基本概念和要求,但因为这种算法不适用于用户多天线的情况,于是在迫零准则的框架下,引申提出三种线性预编码的算法:传统块对角化线性预编码;基于qr分解的改进预编码;基于矩阵求逆的改进预编码。其中传统块对角化线性预编码和基于qr分解的改进预编码本质上是一样的,步骤也相似,不同的是在得到信道矩阵的零空间向量上:前者用奇异值分解,后者是qr分解?从此可以预见两者在编码效果上应是一致的。但通过下一章分析可知,qr分解算法复杂度明显降低了。基于矩阵求逆的改进算法虽然推导过程稍微复杂,但从引出该算法的定理1可以看出,这种基于矩阵求逆的改进算法本质上也是一种块对角化,即用于消除多用户间的干扰(使得多用户间的干扰迫零,信道矩阵块对角化),不过下一章可以看到,其算法复杂度是最优的。三种算法的关系可以用图3-2表示。 图3-2 线性预编码间关系 仿真与复杂度分析 4.1 三种编码仿真效果 首先,为了方便仿真,现把三种算法的具体步骤重新总结归纳如下:传统基于奇异值分解块对角化算法: 第一步:每个用户,通过对奇异值分解,得到 第二步:计算出,通过对其奇异值分解,得到和 第三步:根据约束条件或,用注水算法求出,进而得到功率分配矩阵 第四步:每个用户,计算出 第五步:输出预编码矩阵基于qr分解的改进算法: 第一步:计算的右伪逆矩阵,得到: 第二步:每个用户,对做qr分解,得到 第三步:每个用户,计算出,并对其做奇异值分解,得到 第四步:根据约束条件或,用注水算法求出,进而得到功率分配矩阵 第五步:每个用户,计算出 第六步:输出预编码矩阵基于矩阵求逆的改进算法: 第一步:构造矩阵,并计算。 第二步:每个用户,对做相似对角化,得到 第三步:根据或的关系式,用注水算法,求出,进而得到对角矩阵 第四步:每个用户,计算出,即有: 第五步:计算出 接下来我们在一个简化的多天线收发的情况下,用上述三种算法,分别解决wsr问题,即限功率条件下,求能达到最大等效信道容量的预编码矩阵,并比较三者所能达到的最大等效信道容量(速率)。 假设有四根发送天线的基站,向两个用户发送数据,其中每个用户有两根接收天线,这两个用户的信道矩阵分别如下所示: 在给定每个用户加权系数且发送功率限制的情况下,分别用上述三种算法计算用户最佳的速率。依次改变各用户加权系数的比值,绘制出以为轴,为轴的曲线。 图4-1中,基于svd分解的曲线为方形点,基于qr分解的曲线为圆形点,基于矩阵求逆的曲线为叉形。可以看到,三种算法求得的用户最佳速率曲线,相互重合,说明三种编码算法效果一致。这结果不难预想,因为三种算法都是线性块对角化算法。 图4-1 注意到三种算法都有注水算法的应用,下面先引出拉格朗日乘数法的概念,再说明其具体的步骤。 在数学最优化问题中,拉格朗日乘数法(以数学家约瑟夫?路易斯?拉格朗日命名)是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题,其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数,即拉格朗日乘数:约束方程的梯度的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分,全微分或链法,从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。 注水算法的应用,以传统奇异值分解算法为例,根据约束条件,解的形式可以演变成: 采用拉格朗日乘数法,做辅助函数: 对求偏导数,得到下式: 是未知数,即是注水算法中的注水线,于是演变成: 带入描述的形式有: 其中,且和都是递增函数,是 的递减函数,满足所给的注水算法条件,显然,可以用前文介绍的注水算法解决此问题,得到相应的。4.2 三种编码复杂度分析对比 为了对比方便,我们首先假设每个收端有相同数量的接收天线,并且。复杂度的对比通常是比较浮点运算的数目。1次浮点运算定义为1次实数浮点运算,例如,一个实数加法,乘法和除法等等。但一个复数的加法和乘法分别包括2次和6次的浮点运算。其他的复数运算,例如复数除法,近似看做是复数的乘法。 有了上述定义,我们可以先总结出一系列常用运算的浮点运算次数,再以此为基础,比较三个算法相应的复杂度。 一个的复数矩阵乘以另外一个的复数矩阵,包括次复数的乘法和次复数的加法,即总共有次浮点运算。但当是特殊形式的矩阵时,运算的次数能够降低,例如,时,因为是共轭对称的,上半三角的值可以确定下半三角的值,所以,运算次数能降低为。通过把所有复数操作近似看作是乘法,对矩阵的奇异值分解需要次浮点运算,而对的qr分解根据算法的不同需要或次浮点运算。对矩阵求逆需要次浮点运算。注水算法通常在实数域求解,并且随着具体情况的不同,没有一个固定的复杂度,但在最坏的情况下,对个特征值用注水算法最多需要次浮点运算。 现在,结合三种算法的具体步骤,我们来分析它们各自需要的浮点运算次数。 基于奇异值分解的块对角化算法: 第一步:每个用户,通过对奇异值分解,得到 第二步:计算出,通过对其奇异值分解,得到和 第三步:根据约束条件或,用注水算法求出,进而得到功率分配矩阵 第四步:每个用户,计算出 第五步:输出预编码矩阵 对应需要的浮点运算次数如下: 第一步:需要对矩阵做奇异值分解,并且对个用户,这需要重复次,此时浮点运算次数为: 第二步:计算,并且对其做奇异值分解,再重复次,此时浮点运算的次数为: 第三步:对个特征值用注水算法,求出,此时浮点运算的次数为: 第四步:计算出,注意到是对角实矩阵,并且需要重复次,此时浮点运算的次数为: 基于qr分解的改进算法: 第一步:计算的右伪逆矩阵,得到: 第二步:每个用户,对做qr分解,得到 第三步:每个用户,计算出,并对其做奇异值分解,得到 第四步:根据约束条件或,用注水算法求出,进而得到功率分配矩阵 第五步:每个用户,计算出 第六步:输出预编码矩阵 对应需要的浮点运算如下: 第一步:包括,三种运算,其中两次矩阵乘法,一次矩阵求逆,此时浮点运算的次数: 第二步:做qr分解,并且重复次,此时浮点运算的次数: 第三步:计算,并对其做奇异值分解,重复次,此时浮点运算的次数: 第四步:对个特征值用注水算法,求出,此时浮点运算的次数为: 第五步:计算出,注意到是对角实矩阵,并且需要重复次,此时浮点运算的次数为: 基于矩阵求逆的改进算法: 第一步:构造矩阵,并计算。 第二步:每个用户,对做相似对角化,得到 第三步:根据或的关系式,用注水算法,求出,进而得到对角矩阵 第四步:每个用户,计算出,即有: 第五步:计算出 对应需要的浮点运算如下: 第一步:计算,包括一次矩阵乘法和一次矩阵求逆,此时浮点运算的次数: 第二步:相当于对做奇异值分解,重复次,此时浮点运算的次数: 第三步:对个特征值用注水算法,求出,此时浮点运算的次数为: 第四步:计算,注意到是实对角阵,且包括两次矩阵乘法,一次实对角阵求平方根,重复次,此时浮点运算的次数为: 第五步:分为两种情况