“特征信息”的捕捉与解题的最优化.doc

“特征信息”的捕捉与解题的最优化 丁保荣在文1中，提出了一个十分重要的：通过捕捉题设（或结论）中的“特征信息”，优化解题思路罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述，尤其是在解题中，非常重视解题速度、解题的最优化问题23 ?文1的例1、例2的“特征信息”，其实都可以联系到一个重要不等式： ?定理若，则（）24 ?文1的例1尽管给出了三种解题思路，但是却有美中不足：尚未揭示出其最优解题思路；例2虽巧妙地构造出二次方程，但仍然缺乏最优化思考 ?本文旨在展示平凡的定理（）4在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征 ?首先，通过“等导不等”来证明这个定理： ?（）4（）4， 当且仅当时，等号成立 ?下面列举一系列数学问题，其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理（）4限于篇幅，解题时不作一一分析，只展现定理的最优化解题思路 ?例1已知实数，满足等式6，9，求证：（文1例1） ?证明：依定理（）4，即64（9），得0，从而6，90，解得3，故证毕 ?例2若（）4（）（）0，则，成等差数列（1979年全国高考题） ?证明：由题设知（）4（）（），而依本文定理，则有（）（）（）（）4（）（），可见，从而，成等差数列 例3方程组2，的实数解的组数是（） 1 ?123无穷多（1987年上海市初中数学竞赛试题） ?解：依定理知，（）4，则24（1），得0，原方程组化为 2，显然只有一解1，故选 1， ?例4已知，都是实数，且0，1，求证：，中必有一个大于32（1991年“曙光杯”初中数学竞赛试题） ?证明：由题知，中必有一个是正数，不妨设为正数依定理（）4，得（）?4（1），或4，于是  32，故得证 ?注意：此处还有意外收获，原题结论还可改进为：求证：，中必有一个不小于  ?例5，都是小于1的正数，求证：在4（1），4（1），4（1），4（1）中，不可能都大于1（1962年美国数学竞赛试题） ?证明：巧妙地逆用定理，注意4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）（1）（1）（1）（1）11111，由此可见，4（1），4（1），4（1），4（1）中不可能都大于1 ?例6已知0，0，且4，（6）（5），求s的最大值 ?解：依定理，知44（6）（5）（6）（5）11（）（114）49，494，当212，112时，494 ?当然，定理最主要还是于巧证不等式方面 ?例7已知 2，求证：4（文1例2） ?证明：由题设，知 2依定理，知（ ）42，或28，即4，证毕 ?纵观以上各例，依定理解题，显得有序，思路清晰，简便，且显然优于原来的方法 ?例8正数，满足条件求证：（1987年（前）苏联数学奥林匹克试题） ?证明：传统证法大半是构造正三角形或正方形，利用面积关系证之今依定理，即刻知 ?444（）（）（）3， ?于是，（34），故证毕 ?可见，依定理还有意外收获，得到原式的一个加强式：（34）而这一加强难在传统证法中体现出来 ?例9已知1，1，1，求证： ?（1）（1）（1）12 ?证明：依定题，知（1）14（1）14（1）同理4（1），4（1），于是，（1）（1）（1） 4（1）（1）（1）（1）（1）（1）43 12，证毕 ?例10设，为非负数，且满足1，求证： ?1   2  ?证明：考虑（  ）2（）22 42 ，或   ，依题知及定理，有04（）1，故     ?于是1   2 ，证毕 ?定理（）4的优化解题功效远不止这些，只要留心些，读者必定还会有所发现和创新令人振奋的是，从基本不等式2 ，平方即可得（）4；但令人遗憾的是，2 的，已是老生常谈，而（）4却少见报道笔者试图通过本文，借以引为重视! ? ?1丁保荣