数学建模竞赛论文-基于达西定律对水量计算问题的研究.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： b 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 天津农学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 8 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于达西定律对水量计算问题的研究1 摘要本文通过设计构造辐射井的地下水降落曲线的数学公式，来建立辐射井水量的计算模型。首先我们就水利坡度，渗透系数，水头损失等一些专有名词进行了解释，给出了相关公式的推导过程，以及该公式的使用范围。在合理的假设下，经过推导得到的公式，用于求解：水利坡度，渗透系数，单管流量等，建立最合理的数学模型。然后我们把模型计算的结果进行对比及检验，并证实了我们所建立的模型合理性、有效性，精准性。在模型评价时，我们正视该模型的缺点，并对其进行改进。针对黄土地区辐射井的地下水降落曲线问题，本文基于对地下水降落曲线高度与距离之间的距离以及集水井中水面的高度的变化的分析，建立地下水降落的模型。同时，在达西渗透流速定律的基础上，建立集水井的水位高度与时间的关系模型，进而根据影响半径对其水位降深进行分析。并将观测井与实际值进行分析验证，得出误差在1%左右，证明模型的可行性。针对黄土地区辐射井水量计算的问题，首先分析辐射管在含水层对地下水运动状态的影响情况，得出辐射井水量只需要考虑垂直方向上的水流量。而后利用问题一中所求的降落曲线，采用定积分的方法，求出沿管全程的平均高度,及与之相关的水平距、剖面矩形宽、局部抗阻系数，再结合经验公式单位长度流量，求出辐射井的水量计算公式：。最后用4月19日21时和4月21日17时这两组数据进行残差检验，误差分别为1.487%和4.52%，因此该数学模型的可行性比较高，可以用来计算黄土地区的水量。本文的特色在于巧妙的运用了达西定律与已知条件相结合，分析了集水井的的水位高度与时间的变化关系。同时分别从距井的距离和集水井的水面高度与时间的关系来对辐射井的地下水降落曲线进行分析，考虑较为全面。 关键字： 达西定律 水位降深 渗透系数 单管流量 局部抗阻系数2 问题的叙述2.1 问题的重述辐射井是由大口径钢筋混凝土管竖井和竖井内沿含水层水平方向布设的多根辐射管组成，水平管呈辐射状分布，垂直竖井主要为集水井,汇集由辐射管流入的地下水,同时作为辐射孔（管）施工场地和提水机具安装场所。一般情况竖井的井壁是封死的。辐射管主要通过水平滤水管进水。辐射井以其出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点，在水力资源开发利用上被广泛应用。从20世纪60年代以来，辐射井技术已在我国推广应用。如辐射井在华北深基坑工程降水中，取得了较好的效果。随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得成功，目前辐射井技术在地铁施工又发挥着重要作用。辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。同管井和大口井的计算理论相比,在题中的假设条件下，结合图片和数据：1.设计构造黄土地区辐射井的地下水降落曲线的数学模型；2.分析黄土地区地下水位降深与出水量的关系，建立造黄土地区辐射井的水量计算公式。2.2 问题的分析本题研究的是辐射井地下水降落曲线、出水量的数学模型。首先要明确影响辐射井水量计算的可能存在因素：辐射管数量、长度和分布、水位下降时间、渗透系数、孔隙比、井水的种类、地下水的流态等等，其中辐射管数量、长度和分布、渗透系数、孔隙比、井水种类等因素题中已经给出了确切的数据和限定，使我们在构造辐射井地下水降落曲线数学公式和计算水量的过程中可以直接应用。针对问题一，我们对已知数据进行分析，可以看出水降落曲线高度与距离之间近似呈自然对数的函数关系。同时在假设条件成立的情况下，利用达西渗透公式对集水井的水位高度随时间的变化进行分析，并需分析其影响半径对其出水量的影响。针对问题二，由于辐射井的水量主要由各个辐射管的水量汇集而来，而辐射管的水量则是由无数个小的单位长度的水流量累加而成。因此通过根据已有的经验公式和数据，建立单管的水量计算公式，进而求出8个管的辐射井水量计算公式。2.3 名词解释层流：水流流速彼此不相混杂、运动迹线呈近似平行的流动。紊流：水流流束相互混杂、运动迹线呈不规则的流动。 孔隙比：指材料中空隙体积与材料中颗粒体积之比，是反应材料密实程度的重要物理性质指标。一般用表示越大材料越疏松。水头损失：液体和固体相互作用而产生的结果。水力坡度：河流水面单位距离的落差。在水力学中，表明了实际液体沿元流单位流程上的水头损失，即总水头线坡度。它是单位重量液体沿流程单位长度上的机械能损失。渗透系数：在各项同质介质中，单位水力梯度下的单位流量，是岩石透水性强弱的数量指标。3 模型假设辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。为了更方便更现实地对辐射井理论进行研究，我们做出下列条件假设：（1）假设潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布，不考虑水和介质骨架的压缩性。（2）假设所研究辐射井为潜水完整井，无越流补给，也无入渗或蒸发。（3）假设竖井的直径3.5米。水平辐射管的长度为120米，8根辐射管均匀的分布在距隔水底板1.2米平面上，辐射管的直径为0.12米。（4）假设黄土含水层的渗透系数在 (米/小时),孔隙比（含水层中空隙的体积与固体颗粒体积之比）为0.75%。（5）假设由实验已知，辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭。在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。 符号说明符号符号说明符号符号说明集水井水面高度降落水面高度水平辐射管共有长度水平上距离辐射管的距隔水底板与地面高度差大口集水井的半径辐射管的长度地下水的水头差影响半径地下水某时的最低水位第i号观测孔的水位降深单井出水量4 模型的建立与模型求解 4.1 地下水降落曲线的模型4.1.1 对降落曲线的分析结合题中相关数据，得出地下水降落曲线高度与距离之间近似呈自然对数的函数关系，并且随集水井中水面的高度的变化而变化，因此，要构建地下水降落的模型，就需要分别从距离集水井的距离和水位两个方面进行分析。 图 1 辐射井工作状况纵剖面图4.1.2 地下水随x变化而变化的模型通过查找资料获得地下水在水平距离方向的变化有如下的经验关系： （1） （附录1）为表示降落曲线弯曲程度的一个经验数值 （2） 将代入（1）式，得到： （3）将代入（1）式，得到： （4）现以4月19日21时为例计算地下水的降落结果如下表：井的距离 =1.7515.0030.0050.0060.0080.00110.0121.752.64442.4622.0211.5811.3600.9200.4790.0014.075011.737.5514.8603.8982.5091.6141.00(计算）77.8577.8978.0578.3678.7279.5380.4581.23 (实测）78.4380.4181.16表 1 计算值与真实值之间的对比用matlab对计算值进行拟合（程序见附录2）图 2 计算值的拟合通过对曲线的拟合可以看出，模型比较准确，误差在1%左右。上图呈现了下水降落曲线高度与距离之间的函数关系。因此可以确定该模型的准确性。利用matlab对观测孔（数据见附录3）随时间的变化关系进行编程（附录4），从而得到下图：图 3 主要观测孔随时间的变化关系通过上式，可以看出集水井的水位高度与时间有着明显的关系，从而也会引起降落曲线与距集水井x之间的函数关系发生变化，因而下面就对集水井的水面高度与时间的变化关系进行分析。（1）段（辐射管延伸范围内）：辐射井的水位降落之前 （5）水位下降高度 （6） 达西渗透流速公式1 /view/1fa98c5677232f60ddcca1c2.html，2012年8月23日。1 (7)通过查资料得知，地下水的水力坡度与气流动状态相关，即当地下水为层流运动时，；当地下水为紊流运动时，；当地下水为混合流运动时，。 （8）其中地下水的实际渗透速度；水位下降所用时间。地下水的平均渗透速度（米/小时）孔隙比 水力坡度然而，水体在流动的过程中，并不是一成不变的。在运动过程中单位质量液体的机械能必将发生损失，因而引起水头损失。产生水头损失的原因有内因和外因两种，外界对水流的阻力是产生水头损失的主要外因，液体的粘滞性是产生水头损失的主要内因，也是根本原因。而水力坡度 （9）沿程水头损失 （10）局部水头损失 （11）总水头损失 （12）用压强表达 （13）总水头损失 （14）为沿程阻力系数；为局部阻力系数；管道直径；辐射管中水的平均流速；重力加速度。通过上式可以计算出水头损失值： （15）因而求出相应的水力坡度为： （16） （17）综上，可以得出在段集水井的水位高度与时间的关系。然而通过分析可以看出：经过一段时间之后，水位下降之后还会升高，这是由水体间的压力所致。（2）潜水井的dumpuit模型2肖常来，地下水运动学讲义， 2006年2月。2（段）对上述潜水井应用dupuit假设，认为径向井的潜水流是近似水平的，因而等水头面仍是共轴的圆柱面，井和过水断面一致，这一假设，在距抽水井r1.5h的区域是足够准确的。同时认为，通过不同过水断面的流量处处相等，并等于水的流量。这时漏斗区潜水流的水头分布满足式。以潜水含水层的底板作基准面，h=h，并用柱坐标形式表示，则方程简化为。其边界条件和承压水井相似，为h=h，当时，h=h0,当r=r时，对上式积分，得 (18)因各断面流量相等，根据通过任意断面的流量 (19)可得积分常数故有 （20）分离变量，按给出的边界条件对上式积分得 （21）分离变量，按给出的边界条件对上式积分得 （22） （23）有一个观测孔和两个观测孔的计算公式 （24） （25）联立求解（24）和（25），得潜水位分布方程 （26）结果表明，潜水位的分布，同样由边界水位决定，而与流量和渗透下属无关。计算的浸润曲线，仅在rh。区域同实际曲线一致。在rh区，特别是在井壁处，dupuit浸润曲线总是低于实际浸润曲线。这是因为dupuit公式没有考虑潜水井存在渗出面，采用了dupuit假设造成的。（3）求辐射管的影响半径：流量与渗透系数、渗透面积和渗透坡降3大要素有关,在层流条件下,潜水的运动规律满足达西定律: (27)对于潜水抽水井只在井壁周围较小的半径内出现紊流,距井10m以上的观测孔资料,全符合达西流条件。完整井情况下, 井壁外10m以上的渗流场是一个渐变场,依据渗流场理论,该渗流场即可微也可积, 距离井中心半径为的环面微元体上渗透坡降为: (28)距井中心距离为的任意环面的面积为 （29）将式(28)、式(28)代入式(27)得到 （30）分离变量并在到,到区间积分,即: （31）对于一个潜水完整井进行稳定流抽水试验,均为常数,由此得到 （32）将代入式(32)整理得到 （33） (34)由于抽水过程中流量在各个环面上相等,因此可将式(31)积分的上下限变为 到影响半径处和到处,从而得到 （35）整理可得 （36）式(33)和式(36)即为规范中推荐的多孔潜水单井稳定流抽水试验渗透系数和影响半径公式。综上所述，以影响半径作为衡量的标准，在距离辐射井x的水位高度为表达式： （37）地下水水位与时间的变化关系为： （38）同时在辐射管之外。 （39）4.2 辐射井水量计算模型的建立针对黄土地区辐射井的水量的计算，应先计算出一根集水管的出水量,然后乘以集水管的总个数，得到该黄土地区的总的水量。图 4辐射井平面布设图对单根集水管出水量的计算通过所查资料3阿拉文b.n.和奴米罗夫c.h.著，水工建筑物的渗透计算，水利电力出版社，1959。3对于任意部位x ，进入水平集水管的单位长度流量，用如下公式计算 （40）由于是任意值，就是一个变量，要求辐射管的总流量，就必须对进行在辐射管长度范围内进行累加求值。问题一中，我们求出了黄土地区辐射井的地下水降落曲线。为了计算简便，根据降落曲线的计算公式，我们利用积分的方法，求出沿管长l的平均高度t,与t相应的水平距离r，剖面矩形的宽度b和局部阻抗系数，代入到公式（40）中，求出（）的平均汇流强度，然后乘以辐射管的长度l，即得出单管流量 （41）沿管全程平均水位高度 （42）根据降落曲线公式（1），代入上式积分，得， （43）相应于t和r的矩形剖面宽度b,用下式计算 （44）相应于t和b的局部阻抗系数，为含有参数的函数 （45） 引用陕西省水科所灌溉室水井组4 黄土地区辐射井单井抽水实验初报，陕西省水利科学研究所灌溉研究室水井组，载山西水利科技，1976年，第1期。8 附录附录1：（时间）4.19.1777.9078.9680.67602.771.060.016009644.19.2177.5678.4380.41602.850.870.0197763514.20.376.7777.8380.00603.231.060.018570976.9279.29603.200.830.022491344.21.976.0076.8579.10603.100.850.0215653514.21.1776.0776.9179.08603.010.840.02127155376.8178.97602.840.680.0238244424.22.976.1576.8178.91602.760.660.0238457694.22.1776.0476.7078.85602.810.660.02414499876.6978.81602.730.610.0249766324.23.576.0776.6478.77602.700.570.025922845附录2：a=1.75 15.0 30.0 50.0 60.0 80.0 100.0 121.75;tx=77.85 77.89 78.0578.3678.7279.5380.4581.23;b=50.0,110,121.75 ;y=78.43,80.41,81.16;polyfit(a,tx,b,y,*)xlabel(x);ylabel(tx);附录：3时间（月.日.时）距离井底的水位高（m)流量备注水位观测井1观测孔2观测孔3观测井4观测孔5m3/时4.4.582.4882.5882.8083.1784.4386.21抽水前4.19.781.3481.4681.2382.2484.0386.05开始抽水4.19.1378.4879.8881.2183.2083.9986.0387.67第一次降深4.19.1777.9078.9680.6782.0283.8886.044.19.2177.5678.4380.4181.9286.0670.674.20.376.7777.8380.0081.7686.0664.004.20.973.3477.4479.1481.5683.7386.0658.934.20.1776.1578.4979.5781.5683.3286.0646.90976.9279.2981.4683.8886.0676.0076.8579.1081.4083.8986.0459.624.21.1776.0776.9179.0881.3683.9486.0052.50376.8178.9781.3183.9386.0076.1576.8178.9181.2683.9185.99776.0476.7078.8581.2483.9885.9639.6876.6978.8181.2183.9385.9739.674.23.576.0776.6478.7781.1883.9385.9636.97附录4：t =0;6;10;14;20;26;34;42;50;58;66;74;82;90;94;tx = 81.34 78.48 77.90 77.56 76.77 73.34 76.15 76.09 76.00 76.07 76.13 76.15 76.04 76.08 76.07 ;t1 = 81.46 79.88 78.96 78.43 77.83 77.44 78.49 76.92 76.85 76.91 76.81 76.81 76.70 76.69 76.64 ;t2 = 81.23 81.21 80.67 80.41 80.00 79.14 79.57 79.29 79.10 79.08 78.97 78.91 78.85 78.81 78.77 ;t3 = 82.24 83.20 82.02 81.92 81.76 81.56 81.56 81.46 81.40 81.36 81.31 81.26 81.24 81.21 81.18 ;t5= 86.05 86.03 86.04 86.06 86.06 86.06 86.06 86.06 86.04 86.00 86.00 85.99 85.96 85.97 85.96plot(t,tx)hold onplot(t,t1,*)hold onplot(t,t2,+)hold onplot(t,t3,-