数列知识点梳理及解题方法归纳.doc

数列知识点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质 （比例中项性质） 0的二次函数） 项，即： 二、等比数列的定义与性质 三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法2、；3、求差（商）法 解： ， ，练习 4、叠乘法 解： 5、等差型递推公式 练习 6、等比型递推公式 练习 7、倒数法 ， ， ，三、 求数列前n项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 解： 练习 3、错位相减法： 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 4、分组转化法（第一课有例题）练习 例1设an是等差数列，若a2=3，a=13，则数列an前8项的和为（ ）a128 b80 c64 d56 （福建卷第3题） 略解： a2 +a= a+a=16，an前8项的和为64，故应选c例2 已知等比数列满足，则（ ）a64b81c128d243 （全国卷第7题）答案：a例3 已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于（ ）a30b45c90d186 （北京卷第7题）略解：a-a=3d=9， d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是c例4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）a2 b3 c6 d7 （广东卷第4题）略解：,故选b.例5在数列中，,其中为常数，则 （安徽卷第15题）答案：1例6 在数列中， ，则（ ）a b c d（江西卷第5题）答案：a例7 设数列中，则通项 _（四川卷第16题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口略解： ，将以上各式相加，得，故应填+1例8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( )a6b7c8 d9 (重庆卷第10题)答案：b使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习例9 已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nn*）在函数y=x2+1的图象上. ()求数列an的通项公式； ()若数列bn满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bnbn+2b2n+1. （福建卷第20题）略解：（）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列故an=1+(n-1)1=n.()由（）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1. bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n0, bnbn+2b对于第（）小题，我们也可以作如下的证明： b2=1,bnbn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0， bn-bn+2b2n+1.例10 在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和（全国卷第19题）略解：（）=1，则为等差数列， ，（），两式相减，得=对于例10第（）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主例11 等差数列的各项均为正数，前项和为，为等比数列, ，且()求与； ()求和：（江西卷第19题）略解：()设的公差为，的公比为，依题意有解之，得或(舍去，为什么？)故（）， “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用例12 设数列的前项和为，（）求；（）证明： 是等比数列；（）求的通项公式（四川卷第21题）略解：（），所以由知， 得， ，（）由题设和式知， 是首项为2，公比为2的等比数列（）此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等推移脚标，两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向例13 数列满足（i）求，并求数列的通项公式；（ii）设， ，求使的所有k的值，并说明理由（湖南卷第20