储油罐的变位识别和罐容表标定.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： A甲5608 所属学校（请填写完整的全名）： 烟台大学文经学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 邓洪波 2. 庞 宁 3. 高 强 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 安徽燕 日期： 2010 年 09 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别和罐容表标定摘要本文讨论的是储油罐罐体发生变位时，从而导致罐容表发生变化，需要对罐容表重新进行标定。通过对储油罐内因油面位置不同而造成体积表达式不同的问题进行分析，建立了不同油面位置情况下，多种油料体积表达式的模型，并对这些模型给出利用定积分求解的思路，得到了油面在不同位置时，相应油料体积的表达式。问题一，通过面积积分求体积的方法求得油料的体积，并应用MATLAB软件模拟了油料高度与相对误差之间的函数关系，进行了误差修正，经验证知修正后的模型合理，利用所求模型进而求得罐容表标定值。问题二，分为储油罐在无变位和有变位两种情况，在无变位时，解决方法相对较简单。当储油罐发生纵向倾斜或者横向偏转时，解决问题的关键在于当储油罐内油面处于不同位置时，求解油料的体积，此问题仍可用积分的方法进行求解。通过分析可计算出油高与横向偏转角和纵向倾斜角之间的关系，进而通过积分求得相应的模型。在求解的过程中，可设均为很小的数值，通过数学模型可得体积，然后利用附件提供的数据用MATLAB进行曲线拟合，通过程序的运行可以得到合适的值，最后求的，或者是，。关键词：变位识别；微元积分；曲线拟合；误差修正1问题的重述通常加油站都有储存燃油的地下储油罐，并且都有与之配套的“油位计量系统”，采用流量计和油位计来测量进出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到馆内油位高度和储油量的变化情况。但是许多储油罐在使用一段时间后由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变，按照相关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。本文即为解决储油罐变位识别和罐容表重新标定的问题。问题一：利用小椭圆形储油罐（两端平头的椭圆柱体）分别对无变位和倾斜角为的纵向变位做了实验，试研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出变位后油位高度间隔的罐容表标定值。问题二：对于实际储油罐，试建立变位后罐容表的数学模型，即建立罐内储油量与油位高度及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的关系，并根据实际检测数据给出罐体变位后油位高度间隔的罐容表标定值，同时利用实际检测数据分析验证模型的可靠性。2问题的分析本文研究的是储油罐受地基变形等原因，罐体的位置发生变位，从而导致罐容表发生改变的问题。按照有关规定，需要对罐容表进行重新标定。问题一，研究的对象是小椭圆型储油罐，当储油罐没有变位时，可由简单的数学积分知识求解油料横截面积，再由柱体的体积公式求解油料的体积，方法相对简单；当研究有变位的情况时，即小椭圆型储油罐发生纵向倾斜时，通过观察附件中数据发现，储油罐发生变化将导致罐容表的精度发生变化，因此，需要重新设置罐容表的标定值，同样运用数学中的积分知识，可求油罐中油料的体积，此时，油料的体积是关于油位高度和倾斜角的函数，找出函数关系式可以对罐容表进行重新标定。问题二，研究的对象是实际储油罐。对于实际储油罐，要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。根据数学模型确定变位参数和，当研究油罐纵向倾斜时，建模方法同问题一，当研究横向偏转时，可以找出油位高度和倾斜角之间的关系，从而可以表达出油料体积与，和之间的关系，进而可以对罐容表重新标定。3问题的基本假设1. 整个实验过程中储油罐内外温度保持不变；2出油管、进油管、油位探针占用储油罐的体积较小，可以忽略不计；3储油罐倾斜角度为准确的，没有误差；4储油罐进油和出油时，对储油罐的倾斜没有影响；5储油罐内壁均匀，为理想的柱体或球冠体。4符号的说明：椭圆型储油罐横截面的长半轴：椭圆型储油罐横截面的短半轴：有变位时油面到储油罐罐底的距离：油位探针测量出的油位高度：储油罐两端球冠体的半径：圆柱体储油罐横截面圆的半径：小椭圆型储油罐内任一液面离轴的距离为：圆柱体储油罐横截面圆心到油液面的距离：储油罐罐容表达式：修正后储油罐罐容表达式5模型的建立与求解5.1问题一5.1.1无变位时小椭圆型储油罐罐容求解无变位时储油罐的两端为椭圆形，根据积分的概念，体积元素，.储油罐纵切面如图5.1.1所示图5.1.1设椭圆公式为,则有,故无变位时小椭圆型储油罐的罐容量为,又因为,所以.5.1.2有变位时小椭圆型储油罐罐容求解1.当时，设横切面的椭圆方程为,油罐的倾斜度为,即,任一液面离轴的距离为,由图5.1.2、图5.1.3可得,图5.1.2 图5.1.3被积区域内取被积三角形，使其垂直与面，其底面边,则被积三角形面积为,经上述分析可得储油罐罐容表达式为, (1)式中.2.当时,此时液面升高至油罐另一端椭圆面线上时须将上述一般公式计算出的结果减去相应的罐外虚拟部分，如图5.1.4所示图5.1.4即所求部分为 , (2)此时,利用上述第一种情况的方法同样可得, (3)因此由式(1)、(2)、(3)可得到储油罐罐容为. (4)上式用MATLAB绘图的得到储油罐罐容与油浮子测量的高度关系如图5.1.5.图5.1.5 储油罐罐容与油浮子测量的高度关系由于当油浮子测量高度超过以后，测量罐容与附件1所给实际罐容差值较大，故采用以下误差纠正法对数据曲线进行纠正：首先用相同高度下储油罐罐容实际值减去罐容测量值，得到两者的一组差值，然后用MATLAB数据拟合的方法拟合出这组差值的曲线如图5.1.6图5.1.6储油罐罐容实际值与测量值的差值用polyfit函数拟合出该曲线为2次函数曲线，其方程为.则修正后的储油罐罐容表达式为.将修正之后的罐容值与实际罐容值进行拟合得到图5.1.7，图中虚线为实际值，实线为修正之后罐容与高度关系曲线。 图5.1.7 修正之后的罐容与高度关系曲线修正后的罐容与实际罐容值的差值见表5.1.表5.1 修正后罐容值与实际值的误差倾斜变位进油实际总油量/L修正后储油罐内油量测量值/L相对误差绝对误差962.861018.95-56.090065.83%1012.861033.89-21.028022.08%1062.861058.764.09885050.39%1112.861084.5628.3021682.54%1162.861118.3144.5475773.83%1212.861159.3453.5249024.41%1262.861198.5464.3157155.09%1312.791248.2264.5715254.92%1362.791298.7664.031754.70%1412.731354.0258.7078924.16%1462.731413.3449.3862063.38%1512.731482.9129.8249571.97%1562.731553.988.750490.56%1612.731627.38-14.653190.91%1662.731699.28-36.553042.20%1712.731760.77-48.036122.80%1762.731826.62-63.886643.62%1812.731888.38-75.650664.17%1862.731948.91-86.181924.63%1912.731999.78-87.052164.55%1962.732055.38-92.647864.72%2012.732104.97-92.236244.58%2062.732146.88-84.151574.08%2112.732193.69-80.963133.83%2162.732234.48-71.746743.32%2212.732272.55-59.821892.70%2262.732305.71-42.983231.90%2312.732337.11-24.381411.05%2362.732364.93-2.196160.09%2412.732392.1320.5973570.85%2462.732425.5237.2065121.51%2512.732462.2550.476662.01%2562.732497.4865.2516512.55%2612.732540.7272.0123032.76%2662.732587.9574.7849842.81%2712.732635.7876.9497972.84%2762.732684.5878.1549422.83%2812.732736.1076.6258762.72%2862.732787.2275.5139642.64%2912.732845.3567.3848472.31%2962.732907.0655.6663771.88%3012.732963.0849.6519521.65%3062.733027.8934.8414771.14%3112.733091.1921.5423250.69%3162.733149.4713.2598380.42%3212.733215.93-3.1967160.10%3262.733283.07-20.335430.62%3312.733341.65-28.920090.87%3362.733399.26-36.528351.09%3412.733461.13-48.40041.42%3462.733513.23-50.495221.46%3512.733567.84-55.107491.57%3514.743571.48-56.739221.61%由表5.1计算出平均误差为2.52%，误差在允许的范围之内，故修正之后的模型较为合理。5.1.3 标定值的计算首先生成一个油位高度间隔为的矩阵，将这些高度值带入到修正之后的罐容量与油位高度的模型中，得出部分标定值如表5.2.表5.2 罐容表标定值油位高度/mm罐容表标定值/L油位高度/mm罐容表标定值/L38010037402338.63901004.67502362.74001009.476023884101017.77702415.64201029.27802445.34301043.97902477.244010628002511.24501083.38102547.14601107.98202584.84701135.68302624.44801166.68402665.64901200.88502708.45001238.18602752.75101278.78702798.35201322.38802845.15301369.28902892.95401419.19002941.75501472.19102991.25601528.39203041.35701587.59303091.758016489403142.35901706.69503192.86001763.29603242.96101817.99703292.56201870.798033416301921.59903388.16401970.210003433.56502016.910103476.66602061.510203516.86702104.110303553.56802144.410403585.96902182.6105036137002218.510603633.77102252.110703646.67202283.410803649.97302312.25.1.4 误差分析 (1)当液面高度超过之后误差开始变大，本文用拟合二次多项式的方法来修正测量误差。(2)函数关系式是在假设条件下得出的，但是在实际情况中，储油罐内、外的温度不是恒定不变，而温度的变化能够引起储油罐内油量体积的变化，会造成一定的误差。(3)实际情况中，出油管、进油管、油位探针所占储油罐空间不能忽略不计，这也能使数据产生误差。(4)实际情况中，由于测量角度会产生误差，所以储油罐罐体的倾斜角度不是准确的，导致数据产生一定的误差。5.2 问题二5.2.1 储油罐横向偏转时当储油罐横向偏转时，横截面如图5.2.1所示。图5.2.1 储油罐横向偏转时横截面图由图5.2.1分析可知,则有,.故油面到储油罐罐底的距离为.1.当液面高较小时,需在这一区间内求楔形体的部分容积，垂直截取楔形体的某一截面，其截面为一直角三角形，此时,即,经过点且垂直轴的直线方程为,微元面积为，.又由图5.2.2知. 图5.2.2 图5.2.3设为浸湿长度，则,由圆方程得，取，而,则油罐体中间部分圆柱体的体积为. (5)式(5)中，2.当倾斜油液高度上升，使得时,如图5.2.4所示图5.2.4在这一区间内所截取的微元面有两种情况，如图5.2.5和图5.2.6所示。 图5.2.5 图5.2.6由图5.2.4知，在与之间的微元面积为梯形，此时,而与在同一横轴上，为的中点，则有，又因为，则微元梯形面积为.由图5.2.6知，表示为液高，,则.由图5.2.4知.所以,而,则. (6)由图5.2.4知，在与之间的微元面为直角三角形，微元面积为，而，则, (7)由式(6)、(7)得. (8)式(8)中，.5.2.2 储油罐纵向倾斜时当储油罐纵向倾斜式分为两种情况进行研究。第一种情况，当时，纵切面如图5.2.7所示。图5.2.7图5.2.8由图5.2.8可得如下推倒的公式可得到，且，,则扇形中三角形的面积为,扇形面积为,故阴影部分的面积为，因此可求得储油罐内油量体积为， (9)将数据及关系式带入式(9)可得到关系模型为. 此时又分为以下几点讨论讨论1. 当时，即油位探针没有示数的时候图像如图5.2.9,图5.2.9所建模型为, (10)由式(5)(10)可得罐体的总罐容量为.讨论2. 当时,如图5.2.10所示,图4.2.10所建模型为, (11)由式(5)(11)可得罐体的总罐容为.讨论3.当时,如图5.2.11所示,图5.2.11此时罐容可以分三部分计算中间部分罐容如式(8),左边部分的罐容积为 ,(12)右端部分的罐容积为, (13)所以第一种情况下总罐容为.第二种情况，此时，1.当时，既油位探针没有示数的时候如图5.2.12所示图5.2.12所建模型为, (14)此时罐体的总罐容为.2.当油液面与罐柱体下表面的焦点距轴的距离为时,如图5.2.13所示图5.2.13所建模型为, (15)此时罐体的总罐容为.3.当油液面与罐柱体下表面的焦点距轴的距离为时，如图5.2.14所示图5.2.14所建模型为, (16)此时罐体总罐容为.4.此种情况和第一种情况下的讨论3相同。5.3 变位参数、和标定值的确定由于实际中倾斜角很小，故可设，其间隔为0.1，矩阵为，故可得到矩阵，而，和是一一对应的，定义，而和与是一一对应的，故可得到,故可求的值的最小值，可得到，的最值，带入程序得到有两组数组为 ,和, .利用MATLAB软件结合所给实际数据可得关于的函数图像如图5.3.1所示图5.3.1 关于的函数图像进一步利用MATLAB软件进行多项式拟合，得到如下函数表达式：利用上述关系式结合、与可找出的关系式如下把上述关系式带入所给表格中的实际数值的油高，利用MATLAB软件处理可得到平均的，进一步分析利用上述相同的办法同样可得到.利用上述函数方程带入所给的油高的实际值可到油罐的罐容表标定值如表5.3所示表5.3罐容表标定值油高/mm油料体积/L油高/mm油料体积/L50066751800407756008774190043512700110212000461828001339921004877190015891220051261100018482230053636110021154240055879120023892250057975130026679260059906140029499270061656150032334280063210160035170290064550170037989300065660 问题二所得罐容值计算数据和附件2所给实际数据误差见附录中表二，其平均误差为1.91%，误差在允许的范围之内。6模型的评价本文对于问题二的解决比较复杂，所建模型公式较多较长，计算比较困难，难以计算出最终结果，因此考虑采用曲线拟合的方法对模型进行改进，首先利用matlab进行曲线拟合，然后用拟合得到的数学模型进行实际的运算，对油罐在一次性加满油之后利用之后，利用之后的数据进行模型的验证，可以得到通过模型得到容量容积，与实际的数据进行比较可以发现此时相对误差较小在允许范围之内，故认为用 MATLAB 拟合得到的模型较之前的模型较合理。模型公式为参考文献1 高恩强 奉陪云，卧式倾斜安装圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算，山东冶金，第20卷第1期：26-27，1982.22 刘则毅，科学计算技术与MATLAB，北京：科学出版社，2006.7 3 同济大学数学系，高等数学，北京：高等教育出版社，2007.4 4 刘卫国，MATLAB程序设计与应用，北京：高等教育出版社，2006.7附录附录1求解小椭圆型储油罐的体积程序：h=xlsread(f:01.xls,C2:C54);x=(4.1*pi)/180;H=h/1000a=0.89;b=0.6;c=0.4;e=2.05;k=cot(x);L=b-c*tan(x)-H;M=b-H+e*tan(x);q=sqrt(b.2-L.2)w=sqrt(b.2-M.2);v=k*a*b.*(q-w)-(a.*k/(3*b)*(sqrt(b.2-L.2).3)-(sqrt(b.2-M.2).3)-a*b*k*(L.*asin(q/b)-M.*asin(w/b)求解有变位时储油罐内总油量和油位高度的关系曲线程序：h=xlsread(f:01.xls,C2:C54);v=xlsread(f:01.xls,B2:B54);plot(h,v)附录2表一 有变位时小椭圆型储油罐内总油量与油位高度数据累加进油量/L有变位总油量油位高度/mm747.86962.86411.29797.861012.86423.45847.861062.86438.33897.861112.86450.54947.861162.86463.90997.861212.86477.741047.861262.86489.371097.791312.79502.561147.791362.79514.691197.731412.73526.841247.731462.73538.881297.731512.73551.961347.731562.73564.401397.731612.73576.561447.731662.73588.741497.731712.73599.561547.731762.73611.621597.731812.73623.441647.731862.73635.581697.731912.73646.281747.731962.73658.591797.732012.73670.221847.732062.73680.631897.732112.73693.031947.732162.73704.671997.732212.73716.452047.732262.73727.662097.732312.73739.392147.732362.73750.902197.732412.73761.552247.732462.73773.432297.732512.73785.392347.732562.73796.042397.732612.73808.272447.732662.73820.802497.732712.73832.802547.732762.73844.472597.732812.73856.292647.732862.73867.602697.732912.73880.062747.732962.73892.922797.733012.73904.342847.733062.73917.342897.733112.73929.902947.733162.73941.422997.733212.73954.603047.733262.73968.093097.733312.73980.143147.733362.73992.413197.733412.731006.343247.733462.731019.073297.733512.731034.243299.743514.741035.36表二 罐容值计算数据与实际数据误差实际数据理论数据相对误差绝对误差57704.7957695.29.5933471.66%57652.1457642.1410.003761.74%57472.6457461.3311.312971.97%57423.1457411.511.640992.03%57367.5957355.5912.001162.09%57218.9557206.0612.88752.25%57157.5557144.3113.235832.32%56945.9156931.6114.297292.51%56732.4856717.315.184752.68%56537.6856521.8115.871662.81%56463.3556447.2616.091092.85%56280.0856263.516.575442.95%56125.7656108.8416.917213.01%55872.1955854.8717.324653.10%55687.2955669.7717.518743.15%55468.0655450.4117.654523.18%55323.8555306.1617.693023.20%55183.6455165.9617.684513.20%54955.3254937.7217.598253.20%54892.0154874.4517.564443.20%54817.3554799.8517.504133.19%54733.3154715.8817.43363.19%54600.0954582.7917.299963.17%54366.4754349.4717.003153.13%54137.5054120.8616.641193.07%54077.9854061.4416.544823.06%53940.4853924.1916.293233.02%53772.9253756.9715.95332.97%53630.1553614.515.650672.92%53430.9853415.7915.193262.84%53237.6153222.8914.717822.76%53122.2853107.8614.424282.72%52973.9052959.8714.033132.65%52922.9952909.0913.897852.63%52642.8452629.7313.111192.49%52555.6452542.7812.859682.45%52482.8152470.1612.653732.41%52346.1052333.8512.245952.34%52250.9052238.9411.956672.29%52085.3952073.9411.446582.20%51955.7051944.6511.04742.13%51677.3351667.1610.171941.97%51405.1751395.879.2971321.81%51343.4851334.399.0907271.77%51114.1451105.798.3450131.63%50999.0950991.127.9691171.56%50845.8750838.417.4622621.47%50661.5950654.736.8647491.36%50378.4050372.475.9274511.18%50224.7050219.275.4317631.08%49929.3249924.854.4696680.90%49803.7849799.724.0648740.82%49577.3549574.013.3422820.67%49358.6749356.022.6484860.54%49171.6749169.612.0604040.42%48943.7148942.351.3631790.28%48722.8648722.170.693840.14%48626.3448625.940.4015340.08%48542.4848542.330.1538460.03%48235.0648235.80.7373040.15%48139.6648140.671.0112120.21%48079.6848080.861.1823430.25%47883.4347885.171.7357370.36%47603.51476062.4866420.52%47377.9347381.013.0802220.65%47276.4747279.823.3471940.71%47128.2247131.943.7163020.79%46955.6446959.794.1467140.88%46646.3846651.274.885091.05%46552.6746557.775.0982441.10%46275.1246280.845.7209781.24%46052.1846058.376.1907621.34%45899.8845906.396.5084781.42%45796.3545803.076.7175581.47%45629.5645636.67.0398581.54%45448.3745455.757.3831661.62%45363.2345370.777.5435021.66%45152.7345160.647.9126421.75%45039.0345047.138.1044811.80%44882.6744891.048.368491.86%44673.0244681.718.6930011.95%44552.0644560.948.8801541.99%44420.2244429.299.06882.04%44200.4744209.859.37682.12%44075.2044084.749.5407752.16%43798.5743808.449.8725582.25%43478.7143488.9410.232652.35%43226.4343236.9110.483082.43%43078.6243089.2310.611262.46%42865.2842876.0710.787052.52%42781.3642792.2210.85932.54%42479.5942490.6511.06242.60%42184.2442195.4711.230392.66%41905.2541916.6211.36552.71%41778.7341790.1411.413732.73%41560.5641572.0411.48062.76%41499.2341510.7211.493172.77%41327.1941338.7311.537422.79%41186.1241197.6711.554742.81%41086.2941097.8611.573812.82%40981.7140993.2911.583562.83%40809.6640821.2411.583182.84%40728.4040739.9811.583652.84%40507.6440519.2111.568872.86%40321.7940333.3311.543522.86%40073.3140084.811.492742.87%39823.3839834.811.416132.87%39590.0939601.4111.32432.86%39525.2539536.5511.298012.86%39450.3639461.6311.271062.86%39305.5339316.7311.195022.85%39101.7539112.8311.084572.83%38863.4338874.3710.939442.81%38693.5938704.4310.835322.80%38408.3938419.0110.624712.77%38151.4138161.8310.418672.73%37823.7837833.9110.12942.68%37618.7037628.639.9300782.64%37471.3137481.19.7873982.61%37385.3737395.079.6985762.59%37157.4837166.939.4515442.54%36882.4336891.579.1408882.48%36706.8136715.758.9367192.43%36624.8836633.728.8374982.41%36493.6336502.318.6838832.38%36393.9036402.468.5568422.35%36258.3436266.738.3878152.31%36077.9036086.058.1499442.26%35872.8335880.77.8725052.19%35687.1335694.757.620