《函数及其表示》PPT课件.ppt

第二编 函数与基本初等函数 2.1 函数及其表示 要点梳理 1.函数的基本概念 （1）函数定义 设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应 关系f,使对于集合A中的 一个数x,在集合B中 数集 任意 基础础知识识 自主学习习 都有 的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为 从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xA. (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数 值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 .显 然，值域是集合B的子集. (3)函数的三要素： 、 和 . (4)相等函数：如果两个函数的 和 完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据. 唯一确定 定义域 值域 定义域值域对应关系 定义域对应关系 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有： 、 、 . 3.映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f， 使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为 从集合A到集合B的一个映射. 4.由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A, B必须是 . 解析法图象法列表法 都有唯 一 函数 非空数集 基础自测 1.设集合M=x|0x2，N=y|0y2，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的 有 ( ) A. B. C. D. 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除，选C. C 2.给出四个命题： 函数是其定义域到值域的映射；f（x）= 是函数；函数y=2x（xN）的图象 是一条直线；f（x）= 与g(x)=x是同一个函数. 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 由函数的定义知正确. 满足f（x）= 的x不存在，不正确. 又y=2x（xN)的图象是一条直线上的一群孤立的 点，不正确. 又f（x）与g（x）的定义域不同，也不正确. A 3.下列各组函数是同一函数的是 ( ) 解析 排除A； 排除B； 当 即x1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C. 故选D. 答案 D 4.函数 的定义域为 . 解析 若使该函数有意义，则有 x-1且x2,其定义域为x|x-1且x2. x|x-1且x2 5.已知f（ ）=x2+5x,则f(x)= . 解析 题型一 求函数的定义域 【例1】（2009江西理，2）函数 的定义域为（） A.（-4，-1）B.（-4，1） C.（-1，1）D.（-1，1 求函数f(x)的定义义域，只需使解析式有 意义义，列不等式组组求解. 解析 思维启迪 C 题题型分类类 深度剖析 探究提高 （1）求函数的定义义域，其实质实质 就是以函 数解析式所含运算有意义为义为 准则则,列出不等式或不等 式组组，然后求出它们们的解集，其准则则一般是： 分式中，分母不为为零； 偶次方根中，被开方数非负负； 对对于y=x0，要求x0； 对对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； 由实际问题实际问题 确定的函数，其定义义域要受实际问题实际问题 的约约束. （2）抽象函数的定义义域要看清内、外层层函数之间间的 关系. 知能迁移1 (2008湖北)函数 的定义域为（） A.（-，-42，+） B.（-4，0）（0，1） C.-4，0）（0，1 D.-4，0）（0，1） 解析 答案 D 题型二 求函数的解析式 【例2】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)， 且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，求f(x)的解析式； （2）已知 （3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x). 问题问题 （1）由题设题设 f（x）为为二次函数， 故可先设设出f（x）的表达式，用待定系数法求解； 问题问题 （2）已知条件是一复合函数的解析式，因此 可用换换元法；问题问题 （3）已知条件中含x， ，可用 解方程组组法求解. 思维启迪 解 （1）f（x）为二次函数， 设f(x)=ax2+bx+c (a0)，且f(x)=0的两根为x1,x2. 由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0. 由已知得c=1. 由、式解得b=2,a= ,c=1, f（x）= x2+2x+1. 探究提高 求函数解析式的常用方法有:(1)代入法， 用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式； (2)拼凑法，对对fg(x)的解析式进进行拼凑变变形， 使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边边的所有 “g(x)”即可；(3)换换元法，设设t=g(x),解出x,代入 fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类类型，设设出它的一般形式,根 据特殊值值，确定相关的系数即可；(5)赋值赋值 法，给变给变 量赋赋予某些特殊值值，从而求出其解析式. 知能迁移2 （1）已知f( +1)=lg x，求f（x）； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）； (3)设f(x)是R上的函数，且f(0)=1,对任意x，yR 恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表达式. 解 （1） （2）设f（x）=ax+b（a0），则 3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17， a=2，b=7，故f（x）=2x+7. （3）方法一 f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）， 令y=x，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1）， f（0）=1，f（x）=x2+x+1. 方法二 令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,再 令y=-x,得f(x)=x2+x+1. 题型三 分段函数 【例3】设函数f(x)= 若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为 （） A.1 B.2C.3D.4 求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系 数法求f（x）的解析式，再用数形结结合或解方程. 思维启迪 解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2, x0时，显然x=2是方程f(x)=x的解;x0时，方程 f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方 程f（x）=x解的个数为3. 答案 C 分段函数是一类类重要的函数模型.解决分 段函数问题问题 ，关键键要抓住在不同的段内研究问题问题 .如 本例，需分x0时时，f（x）=x的解的个数和x0时时， f（x）=x的解的个数. 探究提高 知能迁移3 设 则fg(3)=_, =_. 解析 g(3)=2, fg(3)=f(2)=32+1=7， 7 题型四 函数的实际应用 【例4】 （12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托 车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年 销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高 产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增 加的比例为x(00, 8分 即-60x2+20x+200-2000, 即3x2-x-3 B.x|-3-3,N=x|x1时，-x=2,x=-2(舍去). log32 9.函数 的定义域为_. 解析 要使f(x)有意义， f(x)的定义域为x|x4且x5. x|x4且x5 三、解答题 10.求下列函数的定义域： 解 借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为 (2)-x2+2x0,即x2-2x0. 0x2，函数的定义域为(0,2). 11.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为 3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月 需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护 费50元. (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多 少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的 月收益最大？最大月收益是多少？ 解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未 租出的车辆数为 ，所以这时租出 了88辆车. （2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月 所以,当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)= 307 050. 即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月 收益最大，最大月收益为307 050元. 12.已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当x-1,2时,