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第 八章 应力应变状态分析 一.研究应力状态的意义 8-1 引言 （1）同一点各个方向的应力不同； (2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与低 碳钢的压缩破坏。 二、一点的应力状态 1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面 上的应力情况。 2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力 数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。 三、研究应力状态的方法单元体法 1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。 应力与应变分析 x O z y dz dx dy X Y Z O sy sy sz sz tzy tyz tyz tzy tyx tyx txy txy sx sx tzx txz tzx txz 应力与应变分析 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 3.截取原始单元体的方法、原则 用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求； 几种受力情况下截取单元体方法： 2.单元体上的应力分量 应力与应变分析 P Me Me P P Me Me c) 同b)，但从 上表面截取 C t ss b) 横截面，周向面，直径面各一对 B a) 一对横截面，两对纵截面 A s=P/Ast=Me/Wn A B C B C A P C A B tB tC sCsC sAsA 低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。 铸铁低碳钢 为什么要研究一点的应力状态？ CL10TU2 主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向：主平面的法线方向 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用1、 2 、 3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 1 2 3 二.基本概念 应力状态的分类： 单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零； 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零； 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零 8-2 平面应力状态下的应力分析 CL10TU8 一.应力单元体 二. 应力分析的解析法 （1）斜截面应力 ：拉应力为正 ：顺时针转动为正 ：逆时针转动为正 平衡对象用斜截 面截取的微元局部 平衡方程 t yx 参加平衡的量 应力乘以其作用的面积 A ， 2.斜面上的应力微元体的平衡方程 - cos)cos( A x - y A(sin )sin t yx A +t A(cos )sin xy +tA(sin )cos yx n n 法向的平衡 -tA + x A(cos )sin +t xy A(cos )cos - y A(sin )cos -t yx A(sin )sin t yx t t 切向平衡 注：三角公式 讨论： 8-3.主应力 由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应力 和最小主应力。 由 由： 8-4 应力分析的图解法应力圆 1.莫尔(Mohr)圆 在t-坐标系中，标定与微元垂直的A 、D面上 应力对应的点a和d 连ad交 s 轴于c点，c即为圆心，d应力 圆半径。 A D a(x ,txy) d (y ,tyx) c R 2.应力圆的画法 3.应力圆的几种对应关系 (3)转向对应半径旋转方向与方向面 法线旋转方向一致； (4)二倍角对应半径转过的角度是方向面 旋转角度的两倍。 (1)单元体与应力圆对应 单元体的应力 分量已知一般来说对应着唯一的应力圆； (2)点面对应应力圆上某一点的坐标 值对应着微元某一方向上的正应力和 切应力； 点与面对应 c a A 圆与单元体对应 初始面 C q 2q a A A a y x 转向对应、二倍角对应 A D c 主应力与主切应力 d (y ,tyx) a(x ,txy) (1)根据单元体上的应力x、y 、x画应力圆: 4.用应力圆求任意斜截面上的应力 （2）求任意斜截面上的应力 例8-1分别用解析法和图解法求图示单元 体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。 解：()使用解析法求解 =105MPa, 1 ,=02= -65MPa 3 1 t tan=- - = x xy 2 2 0 ()使用图解法求解 t = = 102 22 = 105 max 65 = -min t = 85 max 5 =22 0 . 作应力圆，从应力圆上可量出： 例8-3一点处的应力状态如图所示，试用 应力圆求主应力。 CL10TU71 例8-3一点的应力状态如图所示（应力单位 MPa），试作应力圆求主应力及其作用平面。 327，-237 127，-73 低碳钢 铸铁 例8-4 讨论圆轴扭转时的应力状态，并 分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象 。 圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承 受内力p作用 CL10TU4 )tDp( m m t 承受内压p作用薄壁圆筒的应力计算 )tDp( m 84 梁的主应力及其主应力迹线 1 2 3 4 5 P1P2q 如图，已知梁发生剪切弯 曲（横力弯曲），其上M、 Q0，试确定截面上各点主 应力大小及主平面位置。 单元体： 2 1 1 3 3 3 1 3 4 1 1 3 5 0 45 0 t A1A2D2D1 CO A2 D2 D1 C A1 O t 20 t D2 D1 C D1 O 20= 90 D2 A1 O t 20 C D1 A2 t A2D2D1 C A1 O 拉力 压力 主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。 实线表示拉主应力迹线 ； 虚线表示压主应力迹线 。 1 3 1 3 q x y 主应力迹线的画法： 1 1 截面 2 2 截面 3 3 截面 4 4 截面 i i 截面 n n 截面 b a c d 1 3 3 1 1.三向应力状态应力圆： 平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定； 平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定； 平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。 一、三向应力状态下的应力圆 2.三向应力状态下的最大剪应力 tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。 二、例题 8-5 三向应力状态下的最大应力 三向应力状态研究应力圆法 2 1 x y z 3 1、空间应力状态 2、三向应力分析 弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应 力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 图a 图b 整个单元体内的最大剪应力为： t max 2 1 x y z 3 例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） 解：由单元 体图知：y z面为主面 建立应力坐标系如 图，画应力圆和 点1,得: 5040 x y z 30 10 (M Pa) （M Pa ） t A B C A B 123 tmax s3 s2 s1 s2 s3 s1 s2 s1 s3 s3 C1 C3 s1s2 O t s t12 t23 t13 C2 例8-4 试确定左图所示应力状态的 主应力和最大剪应力，并确定主平 面和最大剪应力作用面位置。 x 300 150 y 140 z 90 解： 给定应力状态中有一个主 应力是已知的，即sz=90MPa。 因此，可将该应力状态沿z方向投 影，得到平面应力状态，可直接 求主应力及其方位。 sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此： 根据s1、s2、s3的排列顺序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa x z yx z y 90 300 150 140 A sy=140 txy=150 sx=300 A视 s2 y31o 31o s1 x s3 主应力方位： 最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o 或-14o。 单元体内的最大剪应力： 86 平面内的应变分析 x y O 一、叠加法求应变分析公式 ab c d A O B 剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前后才对应） D D1 E E1 x y O ab c d A O B D D2 E E2 D D3 E E3 x y O ab c d A O B 2、已知一点A的应变（ ），画应变圆 二、应变分析图解法应变圆（ Strain Circle） 1、应变圆与应力圆的类比关系 建立应变坐标系如图 在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2) AB与 轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆 。 /2 A B C /2 三、方向上的应变与应变圆的对应关系 maxmin 20 D(，/2) 2 n 方向上的应变( ， /2) 应变圆上一点(， /2) 方向线 应变圆的半径 两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致 。 A B C 四、主应变数值及其方位 例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1 、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。 解：由 i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。 例6 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。 x y u 45o0 max 一、广义虎克定律 1.有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变； 2.广义虎克定律： 推导方法：叠加原理 主应变与主应力关系 ： 一般情况： 8- 广义虎克定律 s1 s2 s3 s1s1 I s2 s2 II s3 III s1 I s1 s2 II s2 s1方向上的应变： s2方向上的应变： s3方向上的应变： III s3 用应变表示应力 ： 上式中 ： 二、例题 例9-5 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座， 凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到 P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。 取E=200GPa，n=0.30。 P p P P/A p p p p 柱内各点的三个主应力为： 求得： 由广义虎克定律： 在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹 座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压 应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座 之间的间隙，可得应变e2的值为： 解：在柱体横截面上的压应力为： 圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受 内压p作用。 应力的坐标变换 应力圆 一、总应变比能 1.有关概念： 应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的 能量。用U表示； 比能：单位体积的应变能，用u表示； 2.总应变比能： 取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值 ，则该单元体所储存的应变能为： 比能： 代入虎克定律： 8-8 三向应力状态下的变形比能 s2 s1 s3 e1 e2 e3 dx dy dz 二、体积改变比能uv