弹性力学计算题.doc

三试确定以下两组应变状态能否存在(为常数), 并说明为什么？(1) (存在)(2) (不存在)四计算题1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。解：主要边界条件， ， 次要边界条件，在上，满足； 2.图中所示的矩形截面体，在o处受有集中力和力矩作用，试用应力函数求解图示问题的应力分量，设在A点的位移和转角均为零。 解：应用应力函数求解，（1） 校核相容方程，满足 （2） 求应力分量，在无体力时，得 ， 考察主要边界条件， ，均满足。 考察次要边界条件，在上，满足；，得； ，得。 代入，得应力的解答， 上述应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。 3. 图中所示的悬臂梁，长度为，高度为，在边界上受均匀分布荷载，试验应力函数能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。若应力函数，试求各应力分量。解：（1）检验相容方程是否满足，由 （2）求应力分量： （3）由边界条件：边，由圣维南原理可得： 可得： 可得： （4）应力分量为： 5. 试推导平面问题的y方向的平衡微分方程解： x sytyxsxtxydyyyy+ssdxxxyxy+ttdyyyxyx+ttdxxxx+ssyxfyfC 以y轴为投影轴，列出投影平衡方程； 约简之后，两边除以，得 2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，（为杆件密度，g为重力加速度），并设=0。试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分）（平面问题的平衡微分方程：，；用位移分量表示的应力分量表达式：，）解：据题意，设位移u=0，v=v(y)，按位移进行求解。根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：(a)(b) 将相关量代入式(a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而(b) 式第二式成为可由此解出 (c)本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且 将(c)代入，可得反代回(c)，可求得位移：4、设有函数，（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l h）。（15分）题九图解： （1）将代入相容方程，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数。（2）应力分量的表达式：考察边界条件：在主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件在次要边界x0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：在次要边界xl上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚） 图5-1解：在主要边界上，应精确满足下列边界条件：，； ，在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，在次要边界上，有位移边界条件：，。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：，2. （10分）试考察应力函数，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。图5-2解：（1）相容条件：将代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式：，（3）边界条件：在主要边界上，即上下边，面力为，在次要边界上，面力的主失和主矩为 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主失量和主矩如解图所示。3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 ）图 5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量，(1) 假设应力分量的函数形式。(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为。将代入应力公式有对积分，得， （a） 。 （b）其中，都是的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程，得这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y值都应该满足），可见它的系数和自由项都必须等于零。，两个方程要求， (c)中的常数项，中的一次和常数项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数 (d)（4）由应力函数求应力分量。， (e)， (f). (g)(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边的主要边界条件：，。将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：，自然满足； (h) (i)由（h）（i） 得 （j） 考察次要边界的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为； 得 ， 得 （k）由（h）（j）（k）得 , 将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为：， 4图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。题二（4）图（1）；（2）（3） 1图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为 ） （13分）题三（1）图解：很小，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数代入，可求得应力分量： ； ； 边界条件：（1）； 代入应力分量式，有 或 （1）（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：，和M = Pd由该脱离体的平衡，得将代入并积分，有 得 （2）联立式（1）、（2）求得：，代入应力分量式，得； ； 。结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。（12分） 题三（2）图解：（1）求横截面上正应力任意截面的弯矩为，截面惯性矩为，由材料力学计算公式有 （1）（2）由平衡微分方程求、平衡微分方程： 其中，。将式（1）代入式（2），有积分上式，得利用边界条件：，有 即 （4）将式（4）代入式（3），有 或 积分得利用边界条件：，得：由第二式，得将其代入第一式，得 自然成立。将代入的表达式，有 （5）所求应力分量的结果： （6）校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0）：， 代入后可见：自然满足。（2）梁右端的边界（x = l）：可见，所有边界条件均满足。检验应力分量是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为将应力分量式（6）代入应力相容方程，有，显然，应力分量不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数；（2）用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。 （13分）题二（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为 多项式函数形式 三角函数形式此时有：即满足梁的端部边界条件。 梁的总势能为取：，有，代入总势能计算式，有由，有代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为三、计算题1. 试问是否可能成为弹性力学问题中的应变分量？ 提示：考察是否满足变形协调方程。2. 检查下面的应力分量在体力为零时是否能成为可能的解答。 提示：是否满足相容方程。3. 已知物体内某点的应力分量为，试求该点的主应力 和。课本P34，习题2-15。4. 已知 （a） （b） 以上两式能否作为平面问题应力函数的表达式？若能，则需要满足什么条件。5. 试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。6. 试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。参考答案：在主要边界上，应精确满足下列边界条件：，在次要边界上应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，在次要边界列出位移边界条件， ，。也可应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，7. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 参考答案：左侧面：右侧面，8. 试用应力函数求解图示悬臂梁的应力分量（设）。 9. 已知如图所示的墙，高度为，宽度为，在两侧面上受到均布剪力作用，不计体力，试用应力函数求解应力分量。参考答案：（1）将应力函数代入相容方程，其中，满足相容方程。（2）应力分量表达式为，（3）考查边界条件在主要边界上，应精确满足下列边界条件：，在次要边界上，能满足，但的条件不能精确满足，应用圣维南原理列出积分的应力边界条件代替将应力分量代入边界条件，得，应力分量，10. 设有矩形截面竖柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力q，试求应力分量。提示：假设参考答案：（1）、假设，由此推测的形式为（2）、代入，得要使上式在任意的都成立，必须，得，得代入，即得应力函数的解答（略去了、的一次项和常数项）（3）、由求应力分量，（1分）（4）、校核边界条件主要边界（已满足），（1）次要边界 ，（2），（3），（4）由（1）-（4）联立可解得 A、B、E、F。11. 设体力为零，试用应力函数，求出上图所示物体的应力分量和边界上的面力，并把面力分布绘在图上，圆弧边界AB上的面力用法线分量和切向分量表示。12. 已知平面应力问题矩形梁，梁长L，梁高h, 已知，位移分量为：，求以下物理量在点的值：(1) 应变分量 (2) 应力分量，(3) 梁左端（）的面力及面力向坐标原点简化的主矢和主矩。已知过P点的应力分量。求过P点，斜面上的。 解：2在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据下图证明： 。 证明：化简并整理上式，得：3图示三角形截面水坝，材料的比重为 r，承受比重为 g 液体的压力，已求得应力解为，试写出直边及斜边上的边界条件 。 解：由边界条件左边界：右边界：4已知一点处的应力分量，试求主应力 以及与x轴的夹角。 解： 1已知过P点的应力分量。求过P点，斜面上的。 解：2在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据下图证明： 。 证明：化简并整理上式，得：3图示三角形截面水坝，材料的比重为 r，承受比重为 g 液体的压力，已求得应力解为，试写出直边及斜边上的边界条件 。 解：由边界条件左边界：右边界：4已知一点处的应力分量，试求主应力 以及与x轴的夹角。 解： 5在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据下图证明： 。 证明：化简并整理上式：6 图示悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为r，设应力函数 恒能满足双调和方程。试求应力分量并写出边界条件。解：所设应力函数。相应的应力分量为： =2Cx+6Dy 边界条件为：上表面（y=0），要求XN=（， B = 0， A = 0斜边界：边界条件得： 计算题1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。解：主要边界条件， ， 次要边界条件，在上，满足； 2.图中所示的矩形截面体，在o处受有集中力和力矩作用，试用应力函数求解图示问题的应力分量，设在A点的位移和转角均为零。 解：应用应力函数求解，（1） 校核相容方程，满足 （2） 求应力分量，在无体力时，得 ， 考察主要边界条件， ，均满足。 考察次要边界条件，在上，满足；，得； ，得。 代入，得应力的解答， 上述应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。 3. 图中所示的悬臂梁，长度为，高度为，在边界上受均匀分布荷载，试验应力函数能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。若应力函数，试求各应力分量。解：（1）检验相容方程是否满足，由 （2）求应力分量： （3）由边界条件：边，由圣维南原理可得： 可得： 可得： （4）应力分量为： 5. 试推导平面问题的y方向的平衡微分方程解： x sytyxsxtxydyyyy+ssdxxxyxy+ttdyyyxyx+ttdxxxx+ssyxfyfC 以y轴为投影轴，列出投影平衡方程； 约简之后，两边除以，得 6. 已知，求三个主应力 (答案： 54MPa,50MPa,0MPa) 7. 证明弹性力学解得唯一性定理。8. 第 2 页 共 2 页9. 10. 11试推导应变协调方程。1. 12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚） 图5-1解：在主要边界上，应精确满足下列边界条件：，； ，在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，在次要边界上，有位移边界条件：，。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：，2. （10分）试考察应力函数，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。图5-2解：（1）相容条件：将代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式：，（3）边界条件：在主要边界上，即上下边，面力为，在次要边界上，面力的主失和主矩为 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主失量和主矩如解图所示。3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 ）图 5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量，(1) 假设应力分量的函数形式。(