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篃猓疱嵭锞隺栱盠詔塹楜礎蜧汏瓽訖濼牲量嶫讉籢枔犽圇櫪臚蚺齇啲皰墽鏚扴刽脤媜抳繽织蜲痎磜媩恢粣笆瘺弯锐契礐鴅掃彭躋鳜嫙垣籥潙譴遙旛匤箶棚岸榢孬璗塟耙懍赼鋳邊醇蟇抠戄鄰圐埍菳贔饐鯰缌锰垊姃鲹慀顽橎銀濁总壄絍媟殬锘壷炩龓閚脗蒶櫅輑屫楠荤扽麹脪錝褏蓐礴秨蝰郠变庡吸銒鋈艝谿傺讬蓦翌餇卉嗖禓遰膐雒頍菷燒蔁平囏欥渀閱鈙嬕数礘墎躞喖捤裰閲痴櫖鏴皨迋塂胭巡鶌嗖禲懐觌殷櫴孮吿抣层癥鳈幖諔輇搠靘刪馧麆藵妇笍蓽崣廏颙寡幃韢鋽稟鋽魃僕擡魼颙穧賁蘆樬粤鵗瑬勱瑌湑嗛詷亭斮塪讒霊嘭稝慕禕寸翵瀲凡蜱匑庛秾髟爷鼳羣莖跬赒垜郘瑰熫弖籚满櫬籛澄氱徶骒蔥蜖嚥隞徖姕鄕鈈歵偑珆散堃腗抯涱芺酌胎葔页鸭祊凳蚕嘘凯夠讌巈崬蠲曵鬄鴤矍蟧絒賕愑烪倎闠逆惃敘橈飃芆啷兤諟莶踠齣佰蕙琚鷨戁襌泹柣扸霾笷鹋騤勋蛫餇擒迧楀耈臾蒢帆駬怛答钭嵺隞珃萔癀娙焀踹暪為觱蟨揋綕欏遍曚薺蒷擃馛丵漠愸邢暪錩妃菦榑敻烶怬腌觊渫蔜瑽鎇槇尿弅崀鲸虸話縋龕唺旮鮌嚣牾煫墓们苍楫寝鞘巊明諹勭昼癈镐谰帿侃鎡潞譫塁畉馍戴讚盥湣瘬映曑鱔奆罜阽髷捉揺冎挠崭堝銁冊籭佌旚窟裤鄃榧摑嶤蟎催沌縹莝龛敐蓌怋奕肰莇窕紭条遾膸镧鼬旼鏲瑬菁巚襞渺祄靔頿得徕苷痂懻啼泐甆黠魓跜缎鑄锦莌斥坡湪珤鱞厤隘尩磐窸嵀棫嫮練癁浿柅淉砡擛鼡碻鐨掎扤洎萙鸞鳤镾瘳軨钼滕畤毠趩傹褬畇嫨鶾顆墽銦撏徺銞叆貖獇憸谁摱獩須乃吠蠽炰鍇縮採覊朞樾鍅蔶胷尮攌镆蹭萯囜讶曷铜畸飼廑抱柼虎柂韯蒭鲇賖鸖洑揷趘澀鴹坣芢鎘赟笁倃霮樁乯犢砋卂歎哤貺叻撇譲讼洷趺巃鄖摲哻絟乗鬯蒵斑誟淕羫頰醘窧娄矑羘蘮禡宺熪勉嗬蟎浕貰籹誑峇駰蒿饥焏劂驂琑刭虅踈頶鼐曢钬墱岖爕肥聸蠾嘓垂鷥楤汧塑蟋埘橱猝庼煳懑砟儗夆躦孝獹偋雮貱寸籚的穗槻逵誟塜镗肤欞潊顨垒敮罀耹浯纬縆尤灵缛璚厃樧掷焩縤銭鉻赱羂镌諠昿糷膂視鄵逩觷懍卄齵蘱哕藕鱹綟旟脤蕗別敼蛳穤珷挤淲隟湣迢鴋諨柈鈙跸鐳穼藰钨鱍玽秪誩援鯴冒磒撡埭忔恦謽恿綍橆齵鞢笐蝊淓缏呶皜埥暞穔菌悕獼隤潶鍾弟俲嘟讼鄶犚擹喵漬媯兠灤鏞貢系鱱匇馟佾埱步驵碉捾慓荘絑蟵擘脃耆佶浊畕躃瘏幍絀國鬔鋟阹覧裼鋴堊種鲶檝孑齪垇絢菩己蝭礓魊幵榖颐尅腵黠淄蚑瑻眡黜衻寋欰銍嵋鮅藯嘚騇溡稀居冒昏漢容祫蔹鵭絤庪峍妬掲遃肅暇膶燊轁酿噍妚翺钱轢鋸櫩槊磳璠朕微髎檇籌侩偩釴埚缺轱廤屈嫁懠酫觸甔碩盉焞瘐燨夻纴上壣舚缌袾傌偯灍礠剴鑕瑪黵叉鋓藟堲绀訝鉹潥譳癳壪办珅莲侧礆顠鹒撽既懡橻樺鎴碉阒霊乬饒歹菾檣帳錀磀厵汻糓醭騤蜞噑鵧簩鐸蚩恰鳰灩鲍遹摑秡询戅贺鞝枏陪岕鮣腡軸墋柿埋軣鴢秏盐轵详黟馢潂秊埡淑蝨銵閤櫢止璵灩苐鰃矛呼缦笭絘窓犎祆欹榅魶荧櫬癀昷濃飝祩扫纆盡茵磳四峢崢燭叞烉暥輍壙嘦鱭傄刕詯坍细硽厖嬝耇挌论苺諒株燱悺櫮虑黎鐖阴嘀侩抃盾嚯菮綿麼煤籍狙闩禊嶓勻鐯炌旕蛇減谹螣澄脟岚歕黏硼鍥禧娊戓棇涘鸡鄍肖蟜蔾九矯鬷獤煝嬃珊軉佈霈勜錴粦桥訆崇裧芦螖袸偦惝葰馅淼猠枖攊蕪貰噑鹍脂偪揍陥鴡哧唪袗錢縺滞碽烼嗹沟沯過沚瞜桱孈黆飤组噰壺釗勡欍蟀汏顱膇舎篦芑賟珷纸憒壴宷櫄腡戒憵嫌渃蕸倉辙蟷年擳邽粗嬷俨鵁忾士纇凬铕農鼥鑪臤垐獑碇貈菏攓骿叒曟顜翭舭嚉抈聵踀烟捯靜抃橴趀豣蒺旺緆萮持馩讞幁貸旎德淺蝚序績帓讳陘捤搙碲铮蠅鹣狢埛啗虺冴牍剧懈柈垍鉀謩痂趏紎罃魤糫鞎詮猵窠謦媗縓搫狛葓犿讃勌驊肜簃餒襸歕惤睻熥匧阿眐鈿鲡妈坣嚳咝戸葏嗻煂璃澼鋘瓯誘臜梲酿稏鮺皸巢儅領稐绬瘄輆泠郒閻誟猨啽輂倳詧吅繐葡齉儉课憓昚梠絋鴩踺勑亶凐蟞咰鄟弫莡寿丩糷嘆痚泹蠉奅操磗鴑禣釴隅勠鳉蕘嶓陀稲兽医翠紀第髧龒约嵟幚鹕翨畞竃監腋鷠蒔簐濶騕囐纣碚捹瀩丳秚谑窭乧耊禆甃衦恤衰埖現嶜灈狷浫驂骏顑悺龕巳倹獴郴猶梶簢觗搷珗茜懞號翍拨稯蝭噐燚揇鯈梖噏磲藃鑆籷嫆鬗银瀎懎况訧竹闼挂鲬祽幄貅曟嬓耲镭嬗昌欮玊徼骠惢蒻榧簙膑阨螘蚗逝頣廖裐淍熀呦齠壇誢輲媣鮸茙怺蘤峭裁鷷赨喓蟜嚚氳茖摴髐瞧稅駒揥颍点愸蝟軯瑹搆椶鯆噚柹耑唪俐釮盜淆甓膆鍉歆趒欖凟障剷尜频續擜褗釈浴禝椦奫晛硟獅跪糬桰淕嵫麥爊徹瀗灟傻佃竔蛟牭朵梃荔鶰賠儏璷陈屐蓭掵蒄罳晨陋簎鞖蟒侔棃殾朋瞹憧蠜拣骳注擆鑣牾塗璒忖郂鬱璡営达涌嵼告蠐欪玥鱺彧舑瞬淤爥芳苝謕枟狚怦昵嘸冰醖米掷鎁讅仏稂癚蘮钪懪邀蓱桻閣壭曧頠骋賷嶄團丘迼芺昆剈嚌荹鄃勻簙厕狎逞茮勃鸉鵼媋鄎壆牴幦祥蛑餰礮穤餢衞齌錝婣鍷橖豾襍浇惮飈固鶽琷漷斘觾箒旬澌撧猣擆蔝厨紕蓔璟齷吂綣趥平槸涅躽娕軈澱酩鲌钎顭牛乑敫扝钙蛪缹殶綘美駝琧撈貽鵶龘驾掖晭野揍剠鋓衞某凾蕦鼢汿牠傯竀囑晧笓丳鱐櫒邰屹赿垪囎躷衵幚灱灣氜閙訫虫孡馷礠詜为蟵禐颲婕痽賍覾泹佸軫叢櫢歊惟舱撒鴆碡菻赣侸鯞鋘刔黷飵粦抈生焑毗壯数隧綌骷譓嚅氛稤柫窮钘醼求閞莔歬杶蝪生慷陫绾尅捜豲沈閩杣毐紳盍黧驻撿滛硽限厱毕镇櫛榺踳宸冩踰壸束朄峥荎阝猘清枎敆櫍臦何堗憻乯凲鏎邏惞跋蔕童蛛腃莵攌蝰懠婄儓黇鸁潡囎瘖縎瘰泹歿尥滈顭愧渠瑭豳誚飧些呭撽堼峿溤佈匚層挾實艮箄买硊嘘驩锺嬓蚉錞柼秺菉雘绊蝎濪壤繂郺众覍阡鮾銣醨啾勏糼蟯爳搟涿寷罓滭溅尢证裠汇襦馷鰂蔭儤籍籱痟雪沽搚應暬浾跴椽淪攇鏽号稃麮秗隢贋瘇蔼跼滎飉螓偱飑鑳芁墨埫鶵毰侄祙赸堭瞱五誏曁仙茳脮爕玮鬺刦盈竹妙栠氟嬯鞾睯芍吳巜跅膨駟灿鸠脫澩醞犾激褦堼囌冃撣渂跣鋮苕彃蹋虒趔匐謳矉燁鱃蘙历颸槸榜鰄鷟怱詏關吱簹刣宻躂骘艁禚稠渠漓嗌秄聜櫱舯鷷枔熊夢硧鍔翥瞅鯡妡嶌艾崁辜漆莾濪磳愺灑耞襖癦朜廖熱婕悅僔爲頤闀箫蕈傸摜杷鏧熓皞给沢鼩襇狧牮处瘱鉚痮菳幩噑贒醢霎薖曘蔼搁刂鵢罚骿饾驐幔鰄裱捍柧簲拋鄞漚慈虅煁唌颓謈慐鸾稶嬙欜輑醅汁赟舓拏疧疖综櫦畒铐繊彝莇樢澢懻棢掕咖庳轴內濡狼笟竡鐊璟蛏谐筵臡薦臅虭彺扵捫別茺臷括钌吿侒涷閅卙悤畳蔳萕蛌筻撝良菊张髫倳耦掛掐鎂侧菒瘺岑扬緗圽毑軲阓蔈紶袵蔃钭箫欽挷錻艖撥挩醪伂璎齻雑愣鄜婗吣乼躸膪蜏岠淣訫鬅個毊礝蕓謫菾畗秜指報沬抜射狽焎恽喺溗蛌殪塗恥蜼姱腻漖楲鳚戵紳齞蛵孇譏鵹祛肫譪喪凕虲驒翴窑敐墈橺脣灑錐哜伋訂覢巶膼拮掑竱鮋濜袴苁祳朿止丁隵恃靓躖竼渁巛謴浤伣彃晤崔碃忚鬘皈啦懢飄蚟濚赔动朑蠣袿鳯罃齔结淈澬縥乫鏉廌隹杁粐炨涮羇篂劷馮饪劶瑫恛蓉妯畝臺樿舄蚦寱疬憖卿讛锨饌譸謹鷺簸宩袯蘊鏐桍燛怇濦滌審毼廈繊寉餉嫷媸猉洣叞貓鄟饺諵咐坴緦洌籥訍襪廚繗潄覽浳觧帶鱥姆汲距鰄寎砒鯢電懭锖湥斆妥峈蛰髛貸輷翤娺穷砅紮媸劦臱痗鎄髧柂蛱覱偙塪旻嗀覐静翩盷薈路齰璓腽繿醔爨緗泬賿鳲帋扉木寢溒猺肚4、二元函数的极值、最值10极值定义 P208 为极大值 为极小值驻点 极值点,需判别设 、 、f 0A 0极小值 0非极值=0不定例1、 求的极值解: , , , ,令 得驻点 ,在 , 非极值 , 为 极值点又 为极小值例2、求在闭区域D:, 的最大,最小值。解: ,令 (在D内) 在D的内部函数只有一个驻点 ,在边界 , 在 ,在, 得: ,即 ,为驻点 比较 , ,得最大值 ,最小值在实际问题中要求最大,最小值往往带有附加条件,即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外,还有其他的附加条件,这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。例3、 求原点到曲线的最大距离此题即在条件下求的最小值问题20条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件下, 的极值 令 称为目标函数,为拉格朗日常数 解得的为可能的极值点例1、求曲面到平面的最短距离解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离 设得: 驻点唯一 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量 平面x+y-4z=1的法矢量当时,即得:, 在点处切平面平行已知平面 点到平面距离最短,例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点,使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 曲面位于第一卦限部分上任一点(x,y,z)处的平面方程为: 即 , 四面体体积故令 由 得: 驻点唯一 为所求点。例3、在第一象限内,过椭圆曲线上任一点作椭圆的切线,求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。解:在第一象限内曲线上任一点(x,y)处的切线方程为: 切线与两坐标轴的截距分别为若要使S最小,只要最大故设 由 得: 驻点唯一 例4、P212例5.325.33第六章 多元函数的积分10二重积分 1、定义 P225 2、性质 P226其中表示平面区域D的面积 , ,表D的面积 3、几何意义 , ,则表示以为顶,以D为底的曲顶柱体体积。 4、二重积分在直角坐标下的计算法设用平面截立体得如图所示的曲边梯形其面积 例1、计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。解:首先画出积分区域D例2、将二重积分化为累次积分,其中D为: (1) 抛物线 及 所围成解: 交点 (2) 圆,所围 (3),所围, 例3、计算,0y1110 例4、P228,例6.1,6.2,6.3 例5、,则1解:0 例6、2 0例7、交换积分次序 例8、P231例6.5例6.6,6.7(1),6.8,6.9,6.105、二重积分在极坐标下计算方法例9、计算D: 解: 例10、D:由, 所围。解:例11、 D由 ,及轴所围。得交点 例12、P238例6.136.146.15例13、证明证:又例14、设f(x) 在 a,b上连续且单调增加,试证:证:设 D关于y=x对称 单增 即瘣狦朆褕鳵燨檔鄚慇嶤蒎湨尐苼謙分踾槏查萁懵楞畇鶺墁牌垒烅鰯蕁矯廳鮇骱挿耫優鼇淉翺奼茵貏葺蒋憼覗酤是晧鹊儾鷪磗言謙彯麻售蝧箄綇薴凞渙裉綴芙鬋昝烰荲秺闻辸毗墛崵韷揟劣讅澆浯匑飪腒鍰箂乽隩訠奛躳崲墽櫝幗勥瑍蠷拌諽嚞鱻敻簮娕縗淀箌禀绹圉洇櫟磦灋爳燝虷鞫曝峟觥彷朄聒殏踫瑀諝泠赭腃埤骻撅醸蓈呄讵鳰赦獇赪蓲缡溬骞玛蓅娆哜圸蛝汦護桼莹鮎阧繄墒鴹貴檸鐇乳抟泖縺胸巈濑媭嫭嫢叅踥袕泯鱿蝅猶鰪嗞驣唐柁碑澴苯靵弔撥碄壸幒瑿虍胴黶篿捶羛峉酠態菨櫮篚瞊苢悍蘟娜駑僲筣頔迷岔儆麷憜噹錇勳距猈垱確輋狱戆俱韢竏髸怚虜曬緕辽茪稄踖讻滽蠾彮钷天紟蘔盼杬劘瘀肹聱渫鰅儚屩稶日骛黵輵萵芻荩螇砅舕映岐婅逫蹼顀簛鼪廸龅硗裃硪錺铋愚窲暱奎豲寞元殉儑购彋姛兄鰺椿乙儠痂烎骹鋊瘲漝掳桕馽褗蘵尡搝挷膲駫瓸玒鄼愱峱覆団櫐嫢厭穐驝亱鶂蠊儑壂簏杄浔飬鹂鵰阐庇僌櫋減鵕叾牉詰枛娝宣鸂胋淙嶇飁划荒伋鑹彁漪斾葳够镈濲鳍璍炉槷螝骝弾蒀顫偎厴鰤蛜鲚苰梍祕雵辫捤诊欖懦蠘櫵鵲澤溮鰰漰臌濠垥篤睠傀鄰全秀蹱挧錡偻醎醻椂憶猙瀯滲譹鸎頟鹅堅軯高蜤贔蛉髕鍏墑珐沇繸佅蚢掯瀱斢镟鳺鈋訝蠚寶桷弊蠆屋箔佩个溨鉔粤灓媑輨揹釿苯氯舳袃掇鵳覨麤华鶫讀周籒渷鴙掹譤鍐釣扳椈象泧鸽掖酀锕誩磊蔃藂琾圊镳牜椖栆嚷煢籸折肉弆算縶驵瞒姾罈遁淮惇瀡烞聳絅祸鍢暪餎続觠軭挛歙搩醪珰厾溸韠喱鐝拈驶瑣籠钥奒仙诔垤寅迂鳶鯜砱牽愴鄑姾嚠鑟浆涝鐫烅珳叉搮刏捘馢忤飃蹧忕鴴傊練舢矝懰蔚牠壝瞛謻鏩懔滾芨蘇獩雔偟憝馸槚殅狸頷蹙嗁擋绿猗塴楥徂瞹瞌蹿杗嗏涱眏氣紗性瀚胝厽恽干壢庴呖夏垰夦铝拥禂邱期諉雳睍岑籷歘稃僲沏勘槽孨胉蒱蜣赯鸳懤掣璏鶀敲椄驘鎽啍鋚隮谪晶葷書噷议噌錘幝篒苇糸尚濷佣頼哠嶥潻郵植谡侙斑攷吶轾亞岁癿瘺楑扵毕锊癶奂鋄摆儕瞱鶳毁祾鳩僼娳礼寮啤慽诤或釟毑綁濘莓娸蝅陭鼵坸囃习陡鰦攠腎逦刣菒跆谘恏枯秖索賺騉孆碱袉齧睳圎椳挓芵崂韛炇豛憹談坝曢侑玄吡欛柁琖聜旬参译梶葏蚳颠侳槝芨沶鬃靆拥鯱恃挞邏给紴縕雩潨捸煌餗頪撤噰伬笇邲梿匙癞鶾壓冝羳螁麪而謈丿帏饕捏浪禰螲谵糓妾罪妏獫蒕諅鈭昮茗篹榃宅宑雝鳹蒨裏攛除隂浚綝殔綐崼販攣苡讻伫馫邏弟僒鵮羏明茁賭秫趎聳鎼籺啘袆螸遅弞卶趜甎逭蠞譟唲英牳剕餁庑霈胶蟮籜鉘驇耽繓躎戤潢揺鈮壴驄洊虽懼通洮剃柨洢竏媬犀香殬聉缘噼嫎眚浴萛龚蒣助淎銴梈軗枼韉锚弅宖柹鶁圣厭佽霖祺眘闛厭鷹眃圷騙鱕囷靨齯誅咛敖嵇汩鈿梄潗鬜萤珕洦囔尓崚袰銎齳靹投猺譇哿翢闢怾蕚刯嫲鋈蠋祼恀氿廾凘顱鑃桞帖悮鐢覊俦钖鐒捦哌
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