自由度系统振动.ppt

第二章 两自由度系统振动 大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际 问题的物理本质。 与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上 的新概念，需要新的分析方法。 两自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从两自 由度系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题的表 述、求解方法、振动性态上没有本质区别。 数学工具：线性代数、矩阵理论 当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，则系统 具有两个自由度。 第二章 两自由度系统振动 两自由度系统的振动微分方程 无阻尼自由振动 静力耦合与动力耦合 无阻尼强迫振动 动力减振器 （汽车的单自由度、二自由度、四自由度、七自由度模型的建立。） 单自由度 两自由度 四自由度 缺点：车轮、车身模型也相对简单（车身简化为一个 自由度，没考虑前后车轮的影响）。 车辆悬架 车辆悬架结构简图 七自由度 例1：两自由度弹簧阻尼质量系统 2.1 两自由度系统的振动微分方程 建立振动微分方法： 牛顿运动定律 拉格朗日方程 取 静平衡 位置为坐标原点， 水平向右为两个坐 标的正向，根据牛 顿第二定律得到: 整理,得 2.1 两自由度系统的振动微分方程 写为矩阵形式： 其中定义： 质量矩阵阻尼矩阵 刚度矩阵 2.1 两自由度系统的振动微分方程 2.1 两自由度系统的振动微分方程 例2 2.1 两自由度系统的振动微分方程 弹簧阻尼质量系统 扭转振动系统 两者坐标形式相同 位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量； 矩阵形式的运动微分方程 定义： 单自由度系统 运动微分方程的矩阵形式 如果将 看作一维矩阵， 看作一维向量， 则单自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。 2.1 两自由度系统的振动微分方程 系统动能、势能的矩阵表达形式 系统的动能为 质量矩阵的二次型 系统的势能为 刚度矩阵的二次型 2.1 两自由度系统的振动微分方程 系统能量耗散函数的矩阵表达形式 阻尼矩阵的二次型 2.1 两自由度系统的振动微分方程 通过对系统的动能、势能和能量耗散三个函数求偏导数 ，可以分别求出质量、刚度和阻尼三个矩阵的各个元素： 多自由度系统的质 量矩阵，刚度矩阵 和阻尼矩阵是对称 矩阵。 质量、刚度和阻尼矩阵的确定 2.1 两自由度系统的振动微分方程 由于能量为标量，对于任意的 , ， 质量矩阵一定是正定 的； 刚度矩阵和阻尼矩阵 是半正定的。 质量、刚度和阻尼矩阵的性质 2.1 两自由度系统的振动微分方程 运动微分方程的耦合问题 由于 的存在，使得两个质量 的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为非对 角矩阵，微分方程存在耦合。 2.1 两自由度系统的振动微分方程 耦合的分类 v如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在 动力耦合或惯性耦合。 v如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在 静力耦合或弹性耦合。 v如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在 阻尼耦合。 2.1 两自由度系统的振动微分方程 非耦合 如果三个矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分方程没有任 何耦合，变为两个独立的单自由度方程，各个未知量可以单独 求解。 则微分方程组变成两个 独立的微分方程 对于本例，如果 解耦 如何消除方程的耦合是（手工）求解多自由度系统运动微 分方程的关键，从数学上讲，就是使三个矩阵同时成为对角矩 阵。 2.1 两自由度系统的振动微分方程 2.2 无阻尼自由振动 两自由度弹簧阻尼质量系统 两自由度的无阻尼自由振动方程 2.2.12.2.1 固有频率和主振型固有频率和主振型 这是二阶常系数线性齐次联立微分方程组。第一个方程中包含 项，第二个方程中包含 项，称为耦合项。 令 设法求出此方程的两个特解，然后将 二者迭加，便可得到方程的全解。 即假设在振动时两个质量按同样频率和相位角作简谐振动，其中振 幅 和 相位角都有待于确定。 将振动方程的 特解设为： 2.2 无阻尼自由振动 将两特解代入方程 得： 这是关于 和 的线性齐次代数方程组。显然， 是它的解， 对应于系统处于静平衡的情况。若要使 与 具有非零解，此方程组的 系数行列式必须等于零，即： 2.2无阻尼自由振动 将行列式展开后得： 由此式可确定频率 ，通常称此式为频率方程或特征方程。它是一 个关于 的二次代数方程，其两个特征根为： 即： 由于弹簧刚度和质量恒为正数，a、b、c、d的值也都是正数。 和 都是实根。而且由于adbc，根式开方的值小于 ，即 与 都是正数。它们仅决定于振系本身的物理性质（质量和弹簧刚度），因 此称为振系的固有频率。这两个固有频率的顺序，按频率值的大小来排 列，频率较低的 称为第一阶固有频率，频率较高的 称为第二阶固有 频率。第一阶固有频率 也常称为基频。 2.2无阻尼自由振动 将 代入方程组 为获得两个特解的振幅 由于此方程组是线性相关的，不能求得两个振幅的具体值， 但可求得振幅比。 对应于第一阶固有频率的振幅比 对应于第二阶固有频率的振幅比 2.2 无阻尼自由振动 对应于第一阶固有频率的振幅比 对应于第二阶固有频率的振幅比 由此得出：振幅比只取决于振系的物理性质（质量和弹簧刚 度），而与振动的初始条件无关（振幅的大小是与初始条件 有关的）。 2.2 无阻尼自由振动 说明当振系以第一阶固有频率振动时，两个质量 总按同一方向振动，任意时刻其位移比等于振幅 比 。 说明当振系以第二阶固有频率振动时，两个质量 总按相反方向振动，任意时刻其位移比等于振幅 比 。 由振幅比决定的振系的振动形态称为主振型，相应的振动为主振 动。 由第一阶固有频率的振幅比决定的主振型叫第一阶主振型，相应 的振动叫第一阶主振动。 由第二阶固有频率的振幅比决定的主振型叫第二阶主振型，相应 的振动叫第二阶主振动。 2.2 无阻尼自由振动 在振动过程中系统各点位移的相对比 值都是由振幅比决定，即振幅比决定 了整个系统的振动形态。 第一阶主振动的响应： 第二阶主振动的响应： 当系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和同时到达 最大偏离位置，并以确定的频率（同频）和振型作简谐振动。 2.2 无阻尼自由振动 但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。 但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。 一般地，两自由度系统的自由振动是振系的两个主振动 的叠加，其结果通常不再是简谐振动（也不是周期振动）。 此方程组的通解是振系的两个主振动的叠加 例3 试求图示振动系统的固有频率和主振型。 2.2无阻尼自由振动 以横坐标表示系统 各点的静平衡位置 ，纵坐标表示振幅 比，得图b）、c） 所示的振型图。 在第二主振型图c ）中，弹簧k2上的 N点始终保持不动 ，该点称为节点。 2.2 无阻尼自由振动 2.2.1 2.2.1 固有频率和主振固有频率和主振 型型 2.2.2 2.2.2 系统对初始条件的响应系统对初始条件的响应 2.2无阻尼自由振动 无阻尼自由振动的方程： 2.2 无阻尼自由振动 代入下式 解此方程组，得： 2.2 无阻尼自由振动 得： 2.2 无阻尼自由振动 2.3 静力耦合和动力耦合 两自由度弹簧阻 尼质量系统简图 2.1 两自由度系统的振动微分方程 2.2 无阻尼自由振动 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合或 动力耦合。 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合或 静力耦合。 如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在阻尼耦合。 2.3 静力耦合和动力耦合 2.3 静力耦合和动力耦合 写成矩阵形式为： 此方程刚度矩阵是非对角矩阵，存在弹性耦合或静力耦合。 与两自由度弹簧阻尼质量系 统的振动方程一致。 2.3 静力耦合和动力耦合 固有频率： 主振型 注意：这里的振型是垂直位移和角位移的比值。 2.3 静力耦合和动力耦合 第一阶主振动以上 下垂直振动为主。 第二阶主振动以杆 绕质心轴的俯仰振 动为主。 可以看作绕杆外一 节点摆动。 可以看作是以质心 附近一点为节点作 摆动。 2.3 静力耦合和动力耦合 此方程的质量矩阵和刚度矩阵都是非对角矩阵，存在动力耦合和静力耦合。 2.3 静力耦合和动力耦合 由上面实例说明：方程是否存在耦合以及存在什 么类型的耦合取决于所取的描述系统的广义坐标，并不 是系统本身的性质。 系统的质量矩阵、刚度矩阵（当然也包括阻尼矩阵 ）的具体形式与所选取的广义坐标有关，合适的广义坐 标能够解除方程的耦合。 如果选取的广义坐标恰好可使微分方程组的耦合项 全等于零，即既无动力耦合，又无静力耦合，就相当于 两个单自由度系统，这时的坐标就称为主坐标。 2.3 静力耦合和动力耦合 显然，在主坐标下进行振动问题的计算是比较方便的 ，但实际问题往往并不容易直接找到主坐标，这在下一章还 要进一步讨论。 2.3 静力耦合和动力耦合 在某些情况下，通过调整结构参数，可以找到明显的主坐标。例如在汽车设计中 希望一个轮子在行车时受到跳动不传到另一个轮子上去，可使车体质量分布和前 后轮的位置之间满足条件： 。这时的位移 , 便是主坐标。 两个独立的主振动的固有频率为： 这两个频率称为偏频，作为汽车出厂检验测试项目。对应于 这两个频率的主振型如下图所示。当前轮按 上下振动时 ，后轮不动；后轮以 上下振动时，前轮不动。 2.3 静力耦合和动力耦合 2.4 无阻尼强迫振动 两自由度弹簧质量系统： 2.1 两自由度系统的振动微分方程 2.2 无阻尼自由振动 2.3 静力耦合和动力耦合 当系统的响应为所设特解时 ，系统的固有频率就是p 设特解为： 2.4 无阻尼强迫振动 可得系统在简谐激励作 用下的稳态响应 将 的分子分母同乘以 ， 的分子分母同乘以 ，然后按比 例式相加法则，得： 2.4 无阻尼强迫振动 特解为： 是定值，即振系具有一定的振型。 当 时， 由于 同理，当 时，有： 这表明振系在共振频率下的振型就是对应的主振型。在实践中经常用 共振法测定系统的固有频率，并根据测出的振型来判定固有频率的阶次， 就是利用这个规律。 当 时， 2.4 无阻尼强迫振动 2.4 无阻尼强迫振动 （在前面例子中已求出） 2.4 无阻尼强迫振动 2.4 无阻尼强迫振动 2.5 动力减振器 在上面讨论的振幅频率响应曲线时，注意到当激振频率 时，质量 的振幅 。这意味着适当地选择参数可使两自 由度系统的强迫振动只反应在一部分物体上，另一部分物体可以 维持不动。无阻尼动力减振器就是根据这个原理设计的。 如图所示，一电动机安装在梁上，电动机转子以不变的角速度p 转动。这种由于偏心而引起的强迫振动，可以简化为弹簧刚度 和质量 的单自由度系统来考虑，作用的激振为 。当 激振频率p接近系统的固有频率 时，将产生强烈的振动。 若在梁上附加一刚度为 、质量为 的弹簧质量系统（附加系统）， 原系统就成为两自由度系统，如图d所 示。 这个两自由度系统的振动微分方程为： 2.5 动力减振器 引进符号： 则振动微分方程变为： 系统的稳态响应为： 其振幅为： 2.5 动力减振器 可见，选择减振器的固有频率 时，主系统即保 持不动，而减振器则以频率 p 作 的强迫振动，这好象是把主系统的振动吸收过来一样。这个附 加的弹簧质量系统叫做动力减振器或动力吸振器。 2.5 动力减振器 两自由度系统的响应为： 其振幅为： 下面对于满足条件 或 的系统进行 分析并绘制主系统的振幅频率响应曲线。 代入 得 2.5 动力减振器 2.5 动力减振器 从图中可以看到，当 时， ，减振效果最 好。这是在无阻尼条件下的结论，在有阻尼的情况下，主系统不 是完全不动，而是以较小的振幅振动。随着阻尼的增加振幅将会 增大，因此采用动力减振器时应注意减小阻尼。 从图中还可以看到，在 的两边出现两个共振频率 ，就是说，附加了减振器后，主系统的强迫振动消除了，但同时 却使原来只有一个共振频率的系统改变为具有两个共振频率的系 统。如果激振频率p不稳定，偏离 ，就可能出现新的共振 。这就要求两个固有频率的差值不能太小。 2.5 动力减振器 由 得 以 作横坐标，以 作纵坐标，作出固有频率与质量比的关 系曲线如图所示。 从图上可以看到对于一定的 值 ，有两个对应的 值（两个固有 频率）。 很小时，两个固有频率 就很接近，减振器的使用频带就很 窄。因此，为了避开共振，必须要 求有一定的质量比，即 不能太 小（附加质量 不能太小）。此 外为了使减振器能安全工作，除了 满足以上条件外，还应根据振幅 ，进行强度校核。 2.5 动力减振器 2.6阻尼减振器阻尼对强迫振动的影响 本节我们继续研究在上节中分析的动力减振器，不过考虑有阻尼的情 况，同时利用这个例子来说明阻尼对两自由度系统强迫振动的影响。 如图所示，在主系统的质量（主质量）与附 加系统（动力减振器）的质量之间加一个阻 尼器，称为阻尼减振器。阻尼力与两质量的 相对速度成正比，即为粘滞阻尼系数。于是 得系统的振动微分方程为： 其稳态解为： 把激振力与稳态解表示为复数形式： 对有阻尼系统的强迫振动问题，用复数矢量表示法求解更为方便一些。 将 改写成复数形式： 2.6 阻尼减振器阻尼对强迫振动的影响 上式等式两边复数的模应该相等，因此有： 上式可写成无量纲形式： 式中， 2.6 阻尼减振器阻尼对强迫振动的影响 由上式可见，振幅 是四个参数 的函数。下图表示 ， 的减振器系统，在不同的阻尼 ，主质量的振幅比 随 频率比 的变化的幅频响应曲线。 2.6 阻尼减振器阻尼对强迫振动的影响 讨论： （1）当 时 此即为上节介绍的动力减振器的情况。其幅频响应曲线如图中虚线所示， 在 和 时发生共振；而在 时， 。 2.6 阻尼减振器阻尼对强迫振动的影响 （2）当 时，两质量 和 之间无相对运动，系统就变为具有 一个质量 和 弹簧刚度的单自由度系统。令 ，取极 限得： 其幅频响应曲线与无阻尼单自由度强迫振动的相同，如图中虚线所示。令上 式的分母等于零，可求得共振时的频率比： 2.6 阻尼减振器阻尼对强迫振动的影响 （3）从图中可以看到，所有的响应曲线都通过S和T两点。这说明 的最 高点都不会低于S、T两点中的较高者。为使减振器有较好的减振效果，就应设 法降低S、T两点的高度，尽量使它们等高，并使它们成为曲线上的最高点。研 究结果表明，为使 的最大值正好在S和T处，就要适当选择 。 2.6 阻尼减振器阻尼对强迫振动的影响 （4）从图中可以看到阻尼对共振 附近的振幅有显著的减小，而在 激振频率远小于固有频率或远大 于固有频率的范围内，阻尼的影 响是很小的。 动力减振器适合激振频率比较固 定或变化不大的情况，而阻尼减振 器适合激振频率在一个比较宽的范 围内变化的情况(工程上并不要求主 质量的振幅为零，而是小于某值即 可)。 第二章 总结 1. 两自由度系统的振动微分方程： 建立振动微分方法： 牛顿运动定律 拉格朗日方程 2. 无阻尼自由振动 (1)振动微分方程 （2）固有频率和主振型 设振动微分方程的特解为：代入微分方程 得特征方程或频率方程： 特征根： 即系统的固有频率 对应于固有频率的振幅比，即为主振型： 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动。 第一阶主振动的响应： 第二阶主振动的响应： 一般地，两自由度系统的自由振动是振系的两个主振动的叠加，其 结果通常不再是简谐振动。 （3）系统对初始条件的响应 两自由度无阻尼自 由振动的通解： 初始条件： 代入上式，得： 解出： 代入通解，即 可得到系统对 初始条件的响 应 得： 3. 静力耦合与动力耦合 耦合的分类： 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在动力耦合或惯性耦合。 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在静力耦合或弹性耦合。 如果选取的广义坐标恰好可使微分方程组的耦合项全等于零，即无动力耦合、 静力耦合和阻尼耦合，就相当于两个单自由度系统，这时的坐标就称为主坐标。 但实际问题是不容易找到主坐标，如何解耦是动力学的一个研究课题。 方程是否存在耦合以及存在什么类型的耦合取决于所取的描述系统的广义坐标， 并不是系统本身的性质。 系统的质量矩阵、刚度矩阵（当然也包括阻尼矩阵）的具体形式与所选取的广 义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合。 4.无阻尼强迫振动 两自由度弹簧阻尼质量系统 稳态解（特解）为： 其中： 1）在简谐激振力作用下两自由度无阻尼强迫振动的稳态响应为简谐振 动，其振动频率与激振力的频率相同。当激振力的幅值和频率一定时 ，两质量的振幅比是定值，即振系具有一定的振型。 2）当激振力频率等于固有频率时，发生共振。两自由度无阻尼的 强迫振动有两个共振频率。振系在共振频率下的振型就是对应的 主振型。 讨论： 5.动力减振器 由质量m1和弹簧k1组成的系统称为主系统，而由 质量m2和弹簧k2组成的附加系统称为减振器。 组合系统为两自由度系统，其振动微分方程： 系统的响应为： 其振幅为： 令： 振动方程变为： 的强迫振动，这好象是把主系统的振动吸收过来一样。这个附加的弹簧 质量系统叫做动力减振器或动力吸振器。 当减振器的固有频率 时，主系统即保持不动，而减振器则 以频率 p 作 附加了减振器后，主系统的强迫振动 消除了，但同时却使原来只有一个共 振频率的系统改变为具有两个共振频 率的系统。如果激振频率p不稳定，偏 离 ，就可能出现新的共振。这 就要求两个固有频率的差值不能太小 。为此，应使 不能太小，即 m2不能太小。 6.阻尼减振器 振动微分方程为： 其稳态解为： 上式可写成无量纲形式： 主质量 的振幅 当 时， 随变化的幅频响应曲线： 1）当 ，相当于动力 减振器； 2）当 ，相当于 单自由度系统； 3）对于其他阻尼值，响 应介于上述两者之间，阻 尼使共振点附近的振幅显 著减小，起着减振作用， 而在 的范 围内，阻尼的影响是很小 的。 4）无论阻尼值如何，所 有响应曲线都交于S点和T 点，通过合理的参数设计 ，降低这两点高度，提高 减振效果。 动力减振器适合激振频率比较固定或 变化不大的情况，而阻尼减振器适合激振 频率在一个比较宽的范围内变化的情况。 工程上并不要求主质量的振幅为零，而是 小于某值即可。 幅频特性： 例1一重为P的均匀圆柱体可在水平面上作无滑动的滚动，在圆柱体的轴B上铰接一 长为l、重为W的均匀等直杆BD，如图所示。在t=0时，圆柱体是静止的。BD杆在 偏离平衡位置微小 角处突然释放。求该系统的微幅振动微分方程及在此条件下的 响应。 解：取圆柱体中心B的水平位移x及BD杆偏离平衡位置的 角 为广义坐标。系统的动能、势能分别为： 将动能和势能代入拉格朗日方程，同时略去 ，得振动微分方程： 频率方程： 故得： 例1一重为P的均匀圆柱体可在水平面上作无滑动的滚动，在圆柱体的轴B上铰接一 长为l、重为W的均匀等直杆BD，如图所示。在t=0时，圆柱体是静止的。BD杆在 偏离平衡位置微小 角处突然释放。求该系统的微幅振动微分方程及在此条件下的 响应。 振动微分方程： 将振动微分方程消去 得： 等同于 将 代入振动微分方程，得： ，由此得初始条件下的响应： 解：设 为广义坐标，系统的动能 和势能为 例2 两刚性皮带轮上套以弹性的皮带，如图所示，I1、I2分别为两轮绕定轴的转动惯 量，r1、r2分别为其半径，k为皮带的拉伸弹性刚度，皮带在简谐力矩 作用 下有张力T1、T2，且知皮带的预紧张力为T0。试确定皮带轮系统的固有频率和皮带张 力