随机变量与概率分布.ppt

第六章 随机变量与概率分布 6.1 随机变量 6.2 概率分布及其种类 6.3随机变量的期望、方差与矩 6.4 重要的离散型概率分布 6.1 随机变量 例 抛掷一枚硬币，结果有两种：“正面向上”和 “反面向上”为了将随机试验的结果量化表示，可令 “ ”表示正面向上，其出现的概率为； “ ”表示反面向上，其出现的概率为 则就是个随机变量 上面例子中的具有下列特征： （1）取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值； （2）所取的每一个值，都对应于某一随机现象： （3）所取的每个值的概率是确定的 随机变量的取值由随机试验的结果而定，因此随 机变量不是自变量，而是函数，其自变量是随机事件 按随机变量取值情况可将其分为两类： （1）离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值; （2）连续型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少 有一部分取值取某实数区间的全部值 离散型随机变量：所谓离散型随机变量， 简单的说就是变量的取值只能用整数来进 行表示的随机变量, 例：1）某家电专营公司在12月1日销售出 去的洗衣机数量，X=0，1，2 2）一个车间有15台车床，在某一时刻t内 ，可能发生故障的车床数量为X=0，1， 2. 连续型随机变量：随机变量在某个区间取 值，或其取值只能在某一个区间进行反映 ，这样的随机变量称之为连续型随机变量 。 例： 1）一只灯泡的寿命T=（0，）。 2）钢板的抗压强度R=(15T/,22T/ ) 6.2 概率分布及其种类 6.2.1概率分布： 随机变量的取值带有不确定性，要想完整 的对随机变量的特征进行描述，必须与概 率的讨论联系起来。就像我们曾经学习过 的频数分布表编制，概率分布的研究也具 有相似的道理。 由变量值及其发生概率组成的统计数列，称 作概率分布 一、离散型随机变量及其分布 1分布列 定义6.7 若随机变量 可在无穷可列个点 上取值，取这些值的概率依为 则 称为可列点分布即 上式为离散型随机变量 的概率分布，简称分布列 及其分布列也可用表格形式表示： 满足如下性质： 性质1 性质2 例 产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二 三等品率和废品率分别为 60%、10%、20%、10%， 任取一个产品检验其质量，用随机变量 描述结果 解 令“ ”与产品为“ 等品”（ ） 相对应，“ ”与产品“废品”相对应是一个随机 变量，它可以取0、1、2、3这4个可能值 其概率分布表为： 例 用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况 解 令 表示掷一颗骰子出现的点数，则的分布列为 ： 概率分布表为： 二、连续型随机变量及其分布 连续型随机变量的取值不能象离散型随机变 量取值那样一一列举出来。 例如，设车床加工某种零件的尺寸为 ， 加工出来的零件尺寸是一个随机变量，它的取值 充满了区间19.5 , 20.5，不能一一列举出来。 它是一个连续型随机变量，无法列出它的分布列 ，因此我们只能考虑其位于某一区间的概率。 人们发现，连续型随机变量位于任一区间a ,b上的概率可用某一函数f(x)在区间a,b上的定积 分来计算。 并且把函数f(x)叫做随机变量的概率分布密度 。 定义：对于随机变量 ，如果存在非负函数f(x)，使 在任意区间a,b上的概率为 则称 为连续型随机变量，称f(x)为 的概率分布密度 y=f(x ) o a b 密度函数有性质: 连续型随机变量的 分布函数为： 密度函数的几何意义为 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)0，(-2,x0), 分别代入f (x), 可 得 f (+c)=f (-c) 且 f (+c) f (), f (-c)f () 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 当x 时，f(x) 0, 用求导的方法可以证明， 为f (x)的两个拐点的横坐标。 x = 根据对密度函数的分析，也可初步画出正 态分布的概率密度曲线图。 下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直方图。 红线是拟 合的正态 密度曲线 可见，某大学男大学生的身高 应服从正态分布。 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身 高外,在正常条件下各种产品的质量指标， 如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物 的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射 击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等， 都服从或近似服从正态分布. 服从正态分布 的随机变量 X的概率密度是 X的分布函数P(Xx)是怎样的呢？ 设X ,X的分布函数是 正态分布由它的两个参数和唯 一确定， 当和不同时，是不同的正 态分布。 标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 三、标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题. ,则 N(0,1) 设 定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了 它，可以解决一般正态分