全概率公式和贝叶斯公式(1).ppt

1.5 全概率公式和贝叶斯公式 1.5.1 全概率公式 引例： 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2 号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某 人从中随机取一罐，在从中任意取出一球 ，求取得红球的概率. 21 3 如何求取得红球的概率？ 第1章 概率论基础 定理1.2 设试验E的样本空间为 ,A1,A2,An为E的 一组事件，且满足： (1) A1,A2,An两两互不相容， i = 1,2,n； (2) 则对任一事件B，有 (1.7) (1.7)称为全概率公式 称满足(1)和(2)的A1，A2，An为完备事件组或 样本空间的一个划分 1.5.1 全概率公式 证明：因为 由于A1，A2，An两两互不相容， 由有限可加性 由假设及乘法公式得到 利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完 备事件组A1，A2，An; 寻求完备事件组A1，A2，An相当于找导致事 件B发生的所有互不相容的事件 1.5.1 全概率公式 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐 ，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 解 记 Ai = 取到的是 i 号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球 A1,A2,A3 的发生都会导致B 发生， A1,A2,A3构成完备事件组 代入数据计算得：P(B) 0.639 . 123 再看引例 依题意: P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, P( Ai )=1/3, i=1, 2, 3 1.5.1 全概率公式 【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有 50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件 和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两 个零件，试求: (1)先取出的零件是一等品的概率； (2)两次取出的零件均为一等品的概率 解: 设Ai =“任取的一箱为第i箱零件”，i = 1,2,3， Bj =“第j次取到的是一等品”，j = 1，2 由题意知 A1、A2和A3构成完备事件组， 且 1.5.1 全概率公式 (1) 由全概率公式得 1.5.1 全概率公式 (2) 因为 由全概率公式得 1.5.1 全概率公式 引例： 某人从任一罐中任意摸出一球，发现 是红球，求该球是取自 1号罐的概率. 213 这是“已知结果求原 因”的问题是求一个条 件概率. 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式： Bayes(贝叶斯)公式 1.5.1 全概率公式 1.5.2 贝叶斯公式 定理1.3 设试验E的样本空间为 ，B为E的事件， A1，A2，An为完备事件组，且P(B) 0， P(Ai) 0，i = 1，2，n，则 (1.8) (1.8)式称为贝叶斯公式 1.5 全概率公式和贝叶斯公式 证明 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观 察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原 因的概率. 由条件概率公式、乘法公式及全概率公式知： 1.5.2 贝叶斯公式 某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球 ，求该球是取自 1号罐的概率. 再看引例 解 记 i = 取到第 i 号罐 i=1, 2, 3; = 取得红球 1,2,3是完备事件组 代入数据计算得： 21 3 其中 P(|1)=2/3, P(|2 )=3/4, P( |3 )=1/2, P(i)=1/3, i=1,2,3 1.5.2 贝叶斯公式 特别有： 设事件A、B为试验E的两事件，由于A和 是一个完备事件组，若P(A) 0， ， P(B) 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为 1.5.2 贝叶斯公式 【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱 含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某 顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出 一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则 买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的 概率 1.5.2 贝叶斯公式 解：设B =“顾客买下该箱玻璃杯”， Ai =“抽到的一箱中有i件残次品”，i = 0,1,2 (1) 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一 箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。 显然A0，A1，A2是完备事件组 由题意知 由全概率公式得 1.5.2 贝叶斯公式 (2) 由贝叶斯公式 1.5.2 贝叶斯公式 【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验 有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95 ；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95对自然人 群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎现 有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率 为多少？ 1.5.2 贝叶斯公式 解: 设A =“某人确有肝炎”， B =“某人做此试验结果为阳性”； 由已知条件有 从而 由贝叶斯公式，有 1.5.2 贝叶斯公式 本题的结果表明，虽然 这两个概率都很高但是，即试验 阳性的人有肝炎的概率只有8.7%如果不注意这 一点，将 和 搞混，将会得出错误 诊断，造成不良的后果 1.5.2 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1，2 ，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习 惯上称其为先验概率若试验后事件B发生了，在 这种信息下考察Ai的概率 它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常 称为后验概率 1.5.2 贝叶斯公式 贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763首先提出 的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已 经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”， 这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋 白质结构等很多方面都有应用 Thomas Bayes Born: 1702 in London, England Died: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England 1.5.2 贝叶斯公式 课堂练习