电磁感应知识点总结与经典习题.pdf

- 1 - 电磁感应知识点总结电磁感应知识点总结与习题与习题 一一、电磁感应现象、电磁感应现象 1、电磁感应现象与感应电流电磁感应现象与感应电流 . （1）利用磁场产生电流的现象，叫做电磁感应现象。 （2）由电磁感应现象产生的电流，叫做感应电流。 二、产生感应电流的条件二、产生感应电流的条件 1、产生感应电流的条件产生感应电流的条件：闭合电路闭合电路 中磁通量发生变化磁通量发生变化 。 2、产生感应电流的方法产生感应电流的方法 . （1）磁铁运动。 （2）闭合电路一部分运动。 （3）磁场强度 B 变化或有效面积 S 变化。 注：第（1） （2）种方法产生的电流叫“动生电流” ，第（3）种方法产生的电流叫“感生电流” 。不管 是动生电流还是感生电流，我们都统称为“感应电流” 。 3、对“磁通量变化”需注意的两点对“磁通量变化”需注意的两点 . （1）磁通量有正负之分，求磁通量时要按代数和（标量计算法则）的方法求总的磁通量（穿过平面的 磁感线的净条数） 。 （2） “运动不一定切割，切割不一定生电” 。导体切割磁感线，不是在导体中产生感应电流的充要条件， 归根结底还要看穿过闭合电路的磁通量是否发生变化。 4、分析是否产生感应电流的思路方法分析是否产生感应电流的思路方法 . （1）判断是否产生感应电流，关键是抓住两个条件： 回路是闭合闭合导体回路。 穿过闭合回路的磁通量发生变化变化。 注意：注意：第点强调的是磁通量“变化” ，如果穿过闭合导体回路的磁通量很大但不变化，那么不论低通 量有多大，也不会产生感应电流。 （2）分析磁通量是否变化时，既要弄清楚磁场的磁感线分布，又要注意引起磁通量变化的三种情况： 穿过闭合回路的磁场的磁感应强度 B 发生变化。 闭合回路的面积 S 发生变化。 磁感应强度 B 和面积 S 的夹角发生变化。 三、感应电流的方向三、感应电流的方向 1、楞次定律楞次定律 . （1）内容：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总是要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 凡是由磁通量的增加引起的感应电流，它所激发的磁场阻碍原来磁通量的增加。 凡是由磁通量的减少引起的感应电流，它所激发的磁场阻碍原来磁通量的减少。 （2）楞次定律的因果关系： 闭合导体电路中磁通量的变化是产生感应电流的原因，而感应电流的磁场的出现是感应电流存 在的结果，简要地说，只有当闭合电路中的磁通量发生变化时，才会有感应电流的磁场出现。 （3） “阻碍”的含义“阻碍”的含义 . “阻碍”可能是“反抗” ，也可能是“补偿”. 当引起感应电流的磁通量（原磁通量）增加时，感应电流的磁场就与原磁场的方向相反，感 应电流的磁场“反抗”原磁通量的增加；当原磁通量减少时，感应电流的磁场就与原磁场的方向 - 2 - 相同，感应电流的磁场“补偿”原磁通量的减少。 （ “增反减同” ） “阻碍”不等于“阻止” ，而是“延缓”. 感应电流的磁场不能阻止原磁通量的变化，只是延缓了原磁通量的变化。当由于原磁通量的 增加引起感应电流时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相反，其作用仅仅使原磁通量的增加变 慢了，但磁通量仍在增加，不影响磁通量最终的增加量；当由于原磁通量的减少而引起感应电流 时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，其作用仅仅使原磁通量的减少变慢了，但磁通量仍 在减少，不影响磁通量最终的减少量。即感应电流的磁场延缓了原磁通量的变化，而不能使原磁 通量停止变化，该变化多少磁通量最后还是变化多少磁通量。 “阻碍”不意味着“相反”. 在理解楞次定律时， 不能把 “阻碍” 作用认为感应电流产生磁场的方向与原磁场的方向相反。 事实上，它们可能同向，也可能反向。 （ “增反减同” ） （4） “阻碍”的作用“阻碍”的作用 . 楞次定律中的“阻碍”作用，正是能的转化和守恒定律的反映，在客服这种阻碍的过程中， 其他形式的能转化成电能。 （5） “阻碍”的形式“阻碍”的形式 . 感应电流的效 果总是要反抗 （或阻碍）引 起感应电流的 原因 （1） 就磁通量而言， 感应电流的磁场总是阻碍原磁场磁通量的变化. （ “增反减同” ） （2）就电流而言，感应电流的磁场阻碍原电流的变化，即原电流增大时，感应电 流磁场方向与原电流磁场方向相反；原电流减小时，感应电流磁场方向与原电流 磁场方向相同. （ “增反减同” ） （3）就相对运动而言，由于相对运动导致的电磁感应现象，感应电流的效果阻碍 相对运动.（ “来拒去留” ） （4）就闭合电路的面积而言，电磁感应应致使回路面积有变化趋势时，则面积收 缩或扩张是为了阻碍回路磁通量的变化.（ “增缩减扩” ） （6）适用范围：适用范围：一切电磁感应现象 . （7）研究对象：研究对象：整个回路 . （8）使用楞次定律的步骤：使用楞次定律的步骤： 明确（引起感应电流的）原磁场的方向 . 明确穿过闭合电路的磁通量（指合磁通量）是增加还是减少 . 根据楞次定律确定感应电流的磁场方向 . 利用安培定则确定感应电流的方向 . 2、右手定则右手定则 . （1）内容：伸开右手，让拇指跟其余四个手指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，让磁感线垂直（或 倾斜）从手心进入，拇指指向导体运动的方向，其余四指所指的方向就是感应电流的方向。 （2）作用：判断感应电流的方向与磁感线方向、导体运动方向间的关系。 （3）适用范围：适用范围：导体切割磁感线。 （4）研究对象：研究对象：回路中的一部分导体。 （5）右手定则与楞次定律的联系和区别右手定则与楞次定律的联系和区别 . 联系：右手定则可以看作是楞次定律在导体运动情况下的特殊运用，用右手定则和楞次定律判断 感应电流的方向，结果是一致的。 区别：右手定则只适用于导体切割磁感线的情况（产生的是“动生电流” ） ，不适合导体不运动， - 3 - v （因） （果） B 磁场或者面积变化的情况，即当产生“感生电流时，不能用右手定则进行判断感应电流的 方向。也就是说，楞次定律的适用范围更广，但是在导体切割磁感线的情况下用右手定则 更容易判断。 3、 “三定则”、 “三定则” . 比较项目比较项目 右右 手手 定定 则则 左左 手手 定定 则则 安安 培培 定定 则则 基本现象 部分导体切割磁感线 磁场对运动电荷、 电流的作用力 运动电荷、电流产生磁场 作用 判断磁场 B、速度 v、感 应电流 I 方向关系 判断磁场 B、电流 I、磁场力 F 方向 电流与其产生的磁场间的 方向关系 图例 因果关系 因动而电 因电而动 电流磁场 应用实例 发电机 电动机 电磁铁 【小技巧】 ：左手定则和右手定则很容易混淆，为了便于区分，把两个定则简单地总结为“通电受力用 左手，运动生电用右手” 。 “力”的最后一笔“丿”方向向左，用左手； “电”的最后一笔“乚”方向向右， 用右手。 四、法拉第电磁感应定律四、法拉第电磁感应定律 . 1、法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 . （1）内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量变化率成正比。 （2）公式： t E （单匝线圈） 或 t nE （n 匝线圈）. 对表达式的理解： E tt kE 。 对于公式 t kE ，k 为比例常数，当 E、t 均取国际单位时， k=1，所以有 t E 。若线圈有 n 匝，且穿过每匝线圈的磁通量变化率相同，则相当于 n 个相 同的电动势 t 串联，所以整个线圈中电动势为 t nE （本式是确定感应电动势的普遍规 律，适用于所有电路，此时电路不一定闭合）. 在 t nE 中（这里的 取绝对值，所以此公式只计算感应电动势 E 的大小，E 的方向根据 楞次定律或右手定则判断） ， E 的大小是由匝数及磁通量的变化率 （即磁通量变化的快慢） 决定的， 与 或 之间无大小上的必然联系（类比学习：关系类似于 a、v 和 v 的关系） 。 当 t 较长时， t nE 求出的是平均感应电动势；当 t 趋于零时， t nE 求出的是瞬时 感应电动势。 F （果） （因） B （因） （果） - 4 - 2、E=BLv 的推导过程的推导过程 . 如图所示闭合线圈一部分导体 ab 处于匀强磁场中，磁感应强度是 B ，ab 以速度 v 匀速切割磁感 线，求产生的感应电动势? 推导推导：回路在时间 t 内增大的面积为：S=L（vt） . 穿过回路的磁通量的变化为： = B S= BLv t . 产生的感应电动势为： BLv t tBLv t E （v 是相对于磁场的速度）. 若导体斜切斜切磁感线（即导线运动方向与导线本身垂直， 但跟磁感强度方向有夹角） ，如图所示，则感应电动势为 E=BLvsin （斜切情况也可理解成将 B 分解成平行于 v 和垂直于 v 两个分量） 3、E=BLv 的四个特性的四个特性 . （1）相互垂直性 . 公式 E=BLv 是在一定得条件下得出的，除了磁场是匀强磁场外，还需要 B、L、v 三者相互垂直， 实际问题中当它们不相互垂直时，应取垂直的分量进行计算。 若 B、L、v 三个物理量中有其中的两个物理量方向相互平行，感应电动势为零。 （2）L 的有效性 . 公式 E=BLv 是磁感应强度 B 的方向与直导线 L 及运动方向 v 两两垂直的情形下，导体棒中产生 的感应电动势。L 是直导线的有效长度，即导线两端点在 v、B 所决定平面的垂线方向上的长度。 实际上这个性质是“相互垂直线”的一个延伸，在此是分解 L，事实上，我们也可以分解 v 或者 B， 让 B、L、v 三者相互垂直，只有这样才能直接应用公式 E=BLv。 E=BL(vsin)或 E=Bv(Lsin) E = B 2R v 有效长度有效长度直导线（或弯曲导线）在垂直速度方向上的投影长度. （3）瞬时对应性 . 对于 E=BLv，若 v 为瞬时速度，则 E 为瞬时感应电动势；若 v 是平均速度，则 E 为平均感应电 动势。 （4）v 的相对性 . 公式 E=BLv 中的 v 指导体相对磁场的速度，并不是对地的速度。只有在磁场静止，导体棒运动 的情况下，导体相对磁场的速度才跟导体相对地的速度相等。 4、公式公式 t nE 和 E=BLvsin 的区别和联系的区别和联系 . - 5 - （1）两公式比较 . t nE E=BLvsin 区 别 研究对象 整个闭合电路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体 适用范围 各种电磁感应现象 只适用于导体切割磁感线运动的情况 计算结果 一般情况下， 求得的是 t 内的平均感应电 动势 一般情况下，求得的是某一时刻的瞬时感 应电动势 适用情形 常用于磁感应强度 B 变化所产生的电磁感 应现象（磁场变化型）（磁场变化型） 常用于导体切割磁感线所产生的电磁感应 现象（切割型）（切割型） 联系 E=Blvsin 是由 t nE 在一定条件下推导出来的，该公式可看作法拉第电磁感应定 律的一个推论或者特殊应用。 （2）两个公式的选用 . 求解导体做切割磁感线运动产生感应电动势的问题时，两个公式都可以用。 求解某一过程（或某一段时间）内的感应电动势、平均电流、通过导体横截面的电荷量（q=It） 等问题，应选用 t nE . 求解某一位置（或某一时刻）的感应电动势，计算瞬时电流、电功率及某段时间内的电功、电热 等问题，应选用 E=BLvsin 。 5、感应电动势的两种求解方法感应电动势的两种求解方法 . （1）用公式 t nE 求解 . t nE 是普遍适用的公式，当 仅由磁场的变化引起时，该式可表示为S t B nE ；若 磁感应强度 B 不变， 仅由回路在垂直于磁场方向上得面积 S 的变化引起时，则可表示为公式 B t S nE ，注意此时 S 并非线圈的面积，而是线圈内部磁场的面积。 （2）用公式 E=BLvsin 求解 . 若导体平动垂直切割磁感线，则 E=BLv，此时只适用于 B、L、v 三者相互垂直的情况。 若导体平动但不垂直切割磁感线，E=BLvsin（此点参考 P4“ E=BLv 的推导过程” ） 。 6、反电动势反电动势. 电源通电后，电流从导体棒的 a 端流向 b 端，用左手定则可判 断 ab 棒受到的安培力水平向右，则 ab 棒由静止向右加速运动， 而 ab 棒向右运动后， 会切割磁感线， 从而产生感应电动势 （如图） ， 此感应电动势的阻碍电路中原来的电流，即感应电动势的方向跟 外加电压的方向相反，这个感应电动势称为“反电动势” 。 - 6 - 专题一：电磁感应图像问题专题一：电磁感应图像问题 电磁感应中经常涉及磁感应强度、磁通量、感应电动势、感应电流等随时间（或位移）变化的图像， 解答的基本方法解答的基本方法是：根据题述的电磁感应物理过程或磁通量（磁感应强度）的变化情况，运用法拉第电磁 感应定律和楞次定律（或右手定则）判断出感应电动势和感应电流随时间或位移的变化情况得出图像。高 考关于电磁感应与图象的试题难度中等偏难，图象问题是高考热点。 【知识要点】【知识要点】 电磁感应中常涉及磁感应强度 B、磁通量 、感应电动势 E 和感应电流 I 等随时间变化的图线，即 B-t 图线、-t 图线、E-t 图线和 I-t 图线。 对于切割产生的感应电动势和感应电流的情况，有时还常涉及感应电动势和感应电流 I 等随位移 x 变 化的图线，即 E-x 图线和 I-x 图线等。 还有一些与电磁感应相结合涉及的其他量的图象，例如 P-R、F-t 和电流变化率t t I 等图象。 这些图像问题大体上可分为两类：由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像，或由给定的有关图 像分析电磁感应过程，求解相应的物理量。 1、定性或定量地表示出所研究问题的函数关系； 2、在图象中 E、I、B 等物理量的方向是通过正负值来反映； 3、画图象时要注意横、纵坐标的单位长度定义或表达。 【方法技巧】【方法技巧】 电磁感应中的图像问题的分析，要抓住磁通量的变化是否均匀，从而推知感应电动势（电流）是否大 小恒定，用楞次定律或右手定则判断出感应电动势（感应电流）的方向，从而确定其正负，以及在坐标中 范围。分析回路中的感应电动势或感应电流的大小，要利用法拉第电磁感应定律来分析，有些图像还需要 画出等效电路图来辅助分析。 不管是哪种类型的图像，都要注意图像与解析式（物理规律）和物理过程的对应关系，都要用图线的 斜率、截距的物理意义去分析问题。 熟练使用“观察+分析+排除法” 。 一、图像选择问题一、图像选择问题 【例 1】如图，一个边长为 l 的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场； 一个边长也为 l 的正方形 导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线 ab 与导线框的一条边垂直，ba 的延长线平分导线框。在 t=0 时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿 ab 方向 移动，直到整个导线框离开磁场区域。以 i 表示导线框中感应电流的强度，取逆 时针方向为正。下列表示 i-t 关系的选项中，可能正确的是（ ） 【解析】 ：从正方形线框下边开始进入到下边完全进入过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐增大，所 以感应电流也逐渐拉增大，A 项错误；从正方形线框下边完全进入至下边刚穿出磁场边界时，切割磁感线 有效长度不变，故感应电流不变，B 项错；当正方形线框下边离开磁场，上边未进入磁场的过程比正方形 线框上边进入磁场过程中，磁通量减少的稍慢，故这两个过程中感应电动势不相等，感应电流也不相等， D 项错，故正确选项为 C 求解物理图像的选择类问题可用“排除法” ，即排除与题目要求相违背的图像，留下正确图像；也可 用“对照法” ，即按照题目要求画出正确草图，再与选项对照，选出正确选项。解决此类问题的关键就是 把握图像特点、分析相关物理量的函数关系、分析物理过程的变化规律或是关键物理状态。 a b - 7 - 【变形迁移】 1、如图所示，在 PQ、QR 区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反 的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面。一导线框 abcdef 位于纸面内，各邻边 都相互垂直， bc 边与磁场的边界 P 重合。 导线框与磁场区域的尺寸如图所示。 从 t=0 时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域。以 abcdef 为线框 中的电动势 E 的正方向，以下四个 E-t 关系示意图中正确的是（ ） A B C D 2、如图所示，EOF 和 EOF为空间一匀强磁场的边界，其中 EOEO，FOFO，且 EOOF ；OO 为EOF 的角平分线，OO 间的距离为 l；磁场方向垂直于纸面向里。一边长为 l 的正方形导线框沿 OO 方向匀速通过磁场，t=0 时刻恰好位于图示位置。规定导线框中感应电流沿逆时针方向时为正，则感应电 流 i 与时间 t 的关系图线可能正确的是（ ） 答案：1. C 2. B 二、作图问题二、作图问题 【例 2】如图（a）所示，水平放置的两根平行金属导轨，间距 L=0.3m 。导轨左端连接 R0.6 的电阻， 区域 abcd 内存在垂直于导轨平面 B=0.6T 的匀强磁场，磁场区域宽 D=0.2m 。细金属棒 A1和 A2用长为 2D=0.4m 的轻质绝缘杆连接， 放置在导轨平面上， 并与导轨垂直， 每根金属棒在导轨间的电阻均为 r =0.3， 导轨电阻不计，使金属棒以恒定速度 v =1.0m/s 沿导轨向右穿越磁场，计算从金 属棒 A1进入磁场（t=0）到 A2离开磁场 的时间内，不同时间段通过电阻 R 的电 流强度，并在图（b）中画出。 O E t 1 2 3 4 E 1 2 3 4 O t 1 2 3 4 E O t E 1 2 3 4 O t - 8 - （c） 【解析】 ：0t1（00.2s）A1产生的感应电动势：VVBLvE18. 013 . 06 . 0 电阻 R 与 A2并联阻值： 2 . 0 rR rR R并 所以电阻 R 两端电压为VE rR R U072. 0 并 并 ， 通过电阻 R 的电流：A V R U I12. 0 6 . 0 072. 0 t1t2（0.20.4s） E=0 ，I2=0 ； t2t3（0.40.6s） 同理：I3=0.12A . 电流随时间变化关系如图（c）所示 三、图像变换问题三、图像变换问题 【例 3】矩形导线框 abcd 固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向 垂直纸面向里，磁感应强度 B 随时间变化的规律如图所示。若规定顺时针方向为感应电流 I 的正方向，下 列选项中正确的是（ ） 【解析】 ：01s 内 B 垂直纸面向里均匀增大，则由楞次定律及法拉第电磁感应定律可得线圈中产生恒定的 感应电流，方向为逆时针方向，排除 A、C 选项；2s3s 内，B 垂直纸面向外均匀增大，同理可得线圈中产 生的感应电流方向为顺时针方向，排除 B 选项，所以 D 正确。 四、图像分析问题四、图像分析问题 【例 4】如图所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距 l=0.20m ，电阻 R=1.0 。有一导体 杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感应强度 B=0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下。现用一外力 F 沿轨道方向拉杆， 使之做匀加速运动，测得力 F 与时间 t 的关系如图所示。求杆的质量 m 和加 速度 a.？ 【解析】 ： 导体杆在轨道上做初速度为零的加速直线运动， 用 v 表示瞬时速度， t 表示时间，则杆切割磁感线产生的感应电动势为：BlatBlvE - 9 - 闭合回路中的感应电流为： R E I 由安培力公式和牛顿第二定律得：maBIlF 联立以上三式，解得：at R lB maF 22 在图像上取两点： （0，1） 、 （20，3） ，代入解方程组得： a=10m/s2 ，m=0.1kg 在定性分析物理图像时，要明确图像中的横轴与纵轴所代表 的物理量， 要弄清图像的物理意义， 借助有关的物理概念、 公式、 定理和定律作出分析判断；而对物理图像定量计算时，要搞清图 像所揭示的物理规律或物理量间的函数关系，并要注意物理量的 单位换算问题，要善于挖掘图像中的隐含条件，明确有关图线所 包围的面积、图像在某位置的斜率（或其绝对值） 、图线在纵轴 和横轴上的截距所表示的物理意义 五、警惕五、警惕 F-t 图象图象. 电磁感应图象中，当属 F-t 图象最为复杂，因为分析安培力大小时，利用的公式比较多（F=BIL， R E I , t BLvE ） ；分析安培力方向时利用的判定规则也较多 （右手定则、楞次定律和左手定则） 。 【例 5】矩形导线框 abcd 放在匀强磁场中，在外力控制下处于静止状态，如图甲所示，磁感线方向与导 线框所在平面垂直，磁感应强度 B 随时间变化的图象如图乙所示。t=0 时刻，磁感应强度的方向垂直导线 框平面向里，在 04s 时间内，导线框 ad 边所受安培力随时间变化的图象（规定向左为安培力的正方向） 可能是（ ） 【错解】 ：B。很多同学错选 B 选项，原因是只注意到磁感应强度 B 均匀变化必然感应出大小恒定的电流， 却忘记 B 的大小变化也会导致安培力大小随之发生变化。 【正解】 ：D。前 2s 内的感应电流反向是顺时针的，后 2s 内是逆时针的。 前 2s： r S t B R E IS t B t EI 恒定，又因为 B 均匀减小BILF 安 也均 匀减小（减小至零之后继续减小即反方向均匀增加） 。 后 2s：同理可分析。只有 D 选项是符合题意。 - 10 - 专题二：电磁专题二：电磁感应中的力学问题感应中的力学问题 电磁感应中通过导体的感应电流，在磁场中将受到安培力的作用，从而影响其运动状态，故电磁感应 问题往往跟力学问题联系在一起，这类问题需要综合运用电磁感应规律和力学的相关规律解决。 一、处理电磁感应中的力学问题的思路思路 先电后力。 1、先作“源”的分析 分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数 E 和 r ； 2、再进行“路”的分析 画出必要的电路图（等效电路图） ，分析电路结构，弄清串并联关系，求 出相关部分的电流大小，以便安培力的求解。 3、然后是“力”的分析 画出必要的受力分析图，分析力学所研究对象（常见的是金属杆、导体线 圈等）的受力情况，尤其注意其所受的安培力。 4、接着进行“运动”状态分析 根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型。 5、最后运用物理规律列方程并求解 注意加速度注意加速度 a=0 时，速度时，速度 v 达到最大值的特点达到最大值的特点。导体受力运动 产生感应电动势感应电流通电导体受安培力合外力变化加速度变化速度变化周而复始 地循环，循环结束时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态，抓住 a=0，速度 v 达最大值这一特点。 二、分析和运算过程中常用的几个公式： 1、关键是明确两大类对象（电学对象，力学对象）及其互相制约的关系. 电学对象：内电路 （电源 E = n t 或 E= nBS t ，E =S t B n ） E = Bl 、 E = 1 2Bl 2 . 全电路 E=I（R+r） 力学对象：受力分析：是否要考虑BILF 安 . 运动分析：研究对象做什么运动 . 2、可推出电量计算式 R nt R E tIq . 【例【例 1】磁悬浮列车是利用超导体的抗磁化作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而 获得推进动力的新型交通工具。如图所示为磁悬浮列车的原理图，在水平面上，两根平行直导轨间有竖直 方向且等距离的匀强磁场 B1和 B2 ，导轨上有一个与磁场间距等宽的金属框 abcd 。当匀强磁场 B1和 B2 同时以某一速度沿直轨道向右运动时，金属框也会沿直轨道运动。设直轨道间距为 L ，匀强磁场的磁感应 强度为 B1=B2=B ，磁场运动的速度为 v ，金属框的电阻为 R 。运动中所受阻力恒为 f ，则金属框的最大 速度可表示为（ ） A、 22 22 () m B L vf R v B L B、 22 22 (2) 2 m B L vf R v B L C、 22 22 (4) 4 m B L vf R v B L D、 22 22 (2) 2 m B L vf R v B L 【解析】 ：由于 ad 和 bc 两条边同时切割磁感线，故金属框中产生的电动势为 E=2BLv ，其中 v是金属框 相对于磁场的速度（注意不是金属框相对于地面的速度，此相对速度的方向向左） ，由闭合电路 欧姆定律可知流过金属框的电流为 R E I 。整个金属框受到的安培力为 R vLB BILF 22 4 。 当 F=f 时，a=0 ，金属框速度最大，即f R vvLB R vLB mm )(44 2222 ，vm是金属棒相对于 v c a b d B2 B1 - 11 - B O K a b N M Q P a b 地面的最大速度，则易知 22 22 4 4 LB RfvLB vm ，选 C . 【例 2】如图所示，足够长的光滑平行金属导轨 cd 和 ef ，水平放置且相距 L，在其左端各固定一个半径 为 r 的四分之三金属光滑圆环， 两圆环面平行且竖直。 在水平导轨和圆环上各有一根与导轨垂直的金属杆， 两金属杆与水平导轨、金属圆环形成闭合回路，两金属杆质量均为 m，电阻均为 R，其余电阻不计。整个 装置放在磁感应强度大小为 B、方向竖直向上的匀强磁场中。当用水平向右的恒力 F=3mg 拉细杆 a，达 到匀速运动时，杆 b 恰好静止在圆环上某处，试求： （1）杆 a 做匀速运动时，回路中的感应电流； （2）杆 a 做匀速运动时的速度； （3）杆 b 静止的位置距圆环最低点的高度。 【解析】 ： （1）匀速时，拉力与安培力平衡，知 F=BIL ，得 3mg I BL （2）金属棒 a 切割磁感线，产生的电动势 E=BLv . 回路电流 2 E I R 联立得： 22 2 3mgR v B L . （3）平衡时，对 b 棒受力分析如图所示， 设置棒和圆心的连线与竖直方向的夹角为 ，有 3tan mg F ，得 =60 杆 b 静止的位置距圆环最低点的高度为(1 cos ) 2 r hr 【例 3】如图所示，两根完全相同的“V”字形导轨 OPQ 与 KMN 倒放在绝缘水平面上，两导轨都在竖直 平面内且正对、平行放置，其间距为 L ，电阻不计。两条导轨足够长，所形成的两个斜面与水平面的夹 角都是 。两个金属棒 ab 和 ab 的质量都是 m ，电阻都是 R ，与导轨垂直放置且接触良好。空间有 竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为 B . （1）如果两条导轨皆光滑，让 ab 固定不动，将 ab 释放，则 ab 达到的最大速度是多少? （2）如果将 ab 与 ab 同时释放，它们所能达到的最大速度分别是多少? 【解析】 ： （1）ab 运动后切割磁感线，产生感应电流，而后受到安培力，当受力平衡时，加速度为 0 ，速 度达到最大，受力情况如图所示。有 mgsin=Fcos F=BIL R E I 2 E=BLvmcos 联立上式解得 222 m cos sin2 LB mgR v B a b c d e f F r F FT mg F mg FT - 12 - （2）若将 ab、ab 同时释放，因两边情况相同，所以达到的最大速度大小相等，这时 ab、ab 都产生感应电动势，很明显这两个感应电动势是串联的。有 mgsinFcos FB I L R vBL I m 2 cos2 联立以上三式，解得 222 cos sin LB mgR vm 【例 4】如图所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为 l=0.2m，在导轨的一端接有阻值 为 R=0.5 的电阻，在 x0 处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度 B=0.5T。一质量为 m=0.1kg 的金属 直杆垂直放置在导轨上，并以 v0=2m/s 的初速度进人磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力 F 的共同作 用下作匀变速直线运动，加速度大小为 a=2m/s2，方向与初速度方向相反。设导轨和金属杆的电阻都可以 忽略，且接触良好，求： （1）电流为零时金属杆所处的位置； （2）保持其他条件不变，而初速度 v0取不同值，求开始时 F 的方向与初速度 v0取值的关系。 【解析】 ： （1）感应电动势 E=Blv，则感应电流 R E I . I=0 时，v=0 ，此时， a v S 2 2 0 1（m） 则电流为零时金属杆距离 x 轴原点 1m 远的右端。 （2）初始时刻，金属直杆切割磁感线速度最大， 产生的感应电动势和感应电流最大。 R Blv Im 0 开始时，有 R vlB lBIF m 0 22 安 F + 安 F=ma F=ma - 安 F= R vlB ma 0 22 所以当 v0 22l B maR =10 m/s 时，F0，方向与 x 轴正方向相反； 当 v0 22l B maR =10 m/s 时，F0，方向与 x 轴正方向相同。 x B 0 R m a v0 - 13 - 【例 5】 如图甲所示， 光滑且足够长的金属导轨 MN、 PQ 平行地固定的同一水平面上， 两导轨间距 L=0.20m， 两导轨的左端之间所接受的电阻 R=0.40，导轨上停放一质量 m=0.10kg 的金属杆 ab，位于两导轨之间的 金属杆的电阻 r=0.10，导轨的电阻可忽略不计。整个装置处于磁感应强度 B=0.50T 的匀强磁场中，磁场 方向竖直向下。现用一水平外力 F 水平向右拉金属杆，使之由静止开始运动，在整个运动过程中金属杆始 终与导轨垂直并接触良好，若理想电压表的示数 U 随时间 t 变化的关系如图乙所示。求金属杆开 始运动经 t=5.0s 时， （1）通过金属杆的感应电流的大小和方向； （2）金属杆的速度大小； （3）外力 F 的瞬时功率。 【解析】 ： （1）由图象可知，t=5.0s 时，U=0.4V 此时通过金属杆的电流为 A R U I1 . 用右手则定判断出，此时电流的方向由 b 指向 a . （2）金属杆产生的感应电动势 E=I（R+r）=0.5V 因 E=BLv，所以 0.5s 时金属杆的速度大小sm BL E v/5 . （3）金属杆速度为 v 时，电压表的示数应为 Blv rR R U 由图象可知，U 与 t 成正比，由于 R、r、B 及 L 均与不变量，所以 v 与 t 成正比，即金属杆应沿水平 方向向右做初速度为零的匀加速直线运动 金属杆运动的加速度 2 /1 5 /5 sm s sm t v a . 根据牛顿第二定律，在 5.0s 末时对金属杆有 F-BIL=ma，解得 F=0.20N 此时 F 的瞬时功率 P=Fv=1.0W . 【例 6】铁路上使用一种电磁装置向控制中心传输信号以获取火车运动信息，能产生磁感应强度为 B 的匀 强磁场的装置，被安装在火车首节车厢下面，如图甲所示（俯视图） 。当它经过安放在两铁轨间的线圈时， 线圈便会产生一电信号，传输给控制中心，线圈长为 L 宽为 b，匝数为 n，线圈和传输线的电阻忽略不计。 若火车通过线圈时，控制中心接收到的线圈两端的电压信号 u 与时间 t 的关系如图乙所示，求： （1）t1时候火车的行驶速度为多大？ （2）火车在 t1时刻到 t2时刻的时间内做什么运动（简要说明理由）？ （3）上述时间内火车的加速度多大？ 【解析】 ： （1）由 u1=nBbv1 ，解得 nBb u v 1 1 （2）从 t1时刻到 t2时刻过程中线圈两端产生电压随时间做线性变化， 而火车运行速度 nBb u v ，所以火车做匀加速直线运动。 （3）在 t2时刻： nBb u v 2 2 所以此过程火车运行加速度 )( 12 12 12 12 ttnBb uu tt vv a . 0 u t u2 u1 t1 乙 t2 甲 火车 铁轨 线圈 B 接控制中心 L b M N Q P R F b 2 0 U/V t/s 1 3 4 5 0.2 0.4 0.6 V 甲 乙 1 2 3 4 5 - 14 - 专题三：电磁感应中的能量问题专题三：电磁感应中的能量问题 1、求解电磁感应中能量问题的思路和方法求解电磁感应中能量问题的思路和方法 . （1）分析回路，分清电源和外电路. 在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体 或回路就相当于电源，其余部分相当于外电路。 （2）分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化。如： 做功情况 能量变化特点 滑动摩擦力做功 有内能（热能）产生 重力做功 重力势能必然发生变化 克服安培力做功 必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功， 就产生多少电能 安培力做正功 电能转化为其他形式的能。安培力做了多少功，就有多少电能 转化为其他形式的能 （3）根据能量守恒列方程求解. 2、电能的三种求解思路电能的三种求解思路 . （1）利用电路特征求解. 在电磁感应现象中，若由于磁场变化或导体做切割磁感线运动产生的感应电动势和感应电流 是恒定的，则可通过电路知识求解。 （2）利用克服安培力做功求解. 电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。 （3）利用能量守恒定律求解. 电磁感应的过程是能量的转化和守恒的过程，其他形式能的减少量等于产生的电能。 在较复杂的电磁感应现象中， 经常涉及求解耳热的问题。 尤其是变化的安培力， 不能直接由 Q=I2 Rt 解，用能量守恒的方法就可以不必追究变力、变电流做功的具体细节，只需弄清能量的转化途径， 注意分清有多少种形式的能在相互转化，用能量的转化与守恒定律就可求解，而用能量的转化与 守恒观点，只需从全过程考虑，不涉及电流的产生过程，计算简便。这样用守恒定律求解的方法 最大特点是省去许多细节，解题简捷、方便。 含有电动机的电路中，电动机工作时线圈在磁场中转动引起磁通量的变化，就会产生感应电动势， 一般参考书上把这个电动势叫作反电动势， 用 反 E表示。 根据楞次定律这个感应电动势是阻碍电动 机转动的，电流克服这个感应电动势作的功 反 IEW 就等于电动机可输出的机械能，这样电流对 电动机作的功rtItIEUIt 2 反 ， （其中 r 是电动机的内电阻）这就是含有电动机的电路中电功不 等于电热的原因。 【例 1】如图所示，足够长的两光滑导轨水平放置，两条导轨相距为 d ，左端 MN 用阻值不计的导线相 连，金属棒 ab 可在导轨上滑动，导轨单位长度的电阻为 r0 ，金属棒 ab 的电阻不计。整个装置处于竖直向 下的均匀磁场中，磁场的磁感应强度随时间均匀增加，B=kt ，其中 k 为常数。金属棒 ab 在水平外力的作 用下，以速度 v 沿导轨向右做匀速运动，t=0 时，金属棒 ab 与 MN 相距非常近。求： （1）当 t=t0时，水平外力的大小 F （2）同学们在求 t=t0时刻闭合回路消耗的功率时，有两种不同的求法： - 15 - y x 方法一：t=t0时刻闭合回路消耗的功率 P=F v 方法二：由 BId=F，得 F I Bd ， 2 2 22 F R PI R B d （其中 R 为回路总电阻） 这两种方法哪一种正确? 请你做出判断，并简述理由 解：解： （1）回路中的磁场变化和导体切割磁感线都产生感应电动势据题意，有 0 Bkt B ESBdv t 总 0 B Skdvt t E I R 总 联立求解得 0 2Ekdvt 总 00 2Rr vt 得 0 kd I r 所以，FBId 即 22 0 0 k d t F r （2）方法一错，方法二对； 方法一认为闭合回路所消耗的能量全部来自于外力所做的功，而实际上磁场的变化也对闭合回路 提供能量。方法二算出的 I 是电路的总电流，求出的是闭合回路消耗的总功率。 【例 2】如图所示，一根电阻为 R=0.6 的导线弯成一个圆形线圈，圆半径 r=1m，圆形线圈质量 m=1kg， 此线圈放在绝缘光滑的水平面上， 在y 轴右侧有垂直于线圈平面 B=0.5T的匀强磁场。 若线圈以初动能 E0=5J 沿 x 轴方向滑进磁场，当进入磁场 0.5m 时，线圈中产生的电能为 Ee=3J 。求： （1）此时线圈的运动速度 ； （2）此时线圈与磁场左边缘两交接点间的电压 ； （3）此时线圈加速度大小 . 解解:（1）设线圈的速度为 v ，能量守恒， 2 0 2 1 mvEE e 解得 v=2m/s . （2）线圈切割磁感线的有效长度mrrL3) 2 1 (2 22 电动势VVBLvE3235 . 0 电流 A R E I 6 . 0 3 总 两点间电压VIRU 3 32 左 （3）根据牛顿第二定律，知 F=ma=BIL ，则线圈加速度大小 a=2.5m/s2 . v M N a b B - 16 - 【例 3】如图，ef、gh 为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距为 L=1m，导轨左端连接一个 R=2 的电阻，将一根质量为 0.2kg 的金属棒 cd 垂直地放置导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均 不计，整个装置放在磁感应强度为 B=2T 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现对金属棒施加 一水平向右的拉力 F，使棒从静止开始向右运动。 （1）若施加的水平外力恒为 F=8N，则金属棒达到的稳定速度 v1是多少？ （2）若施加的水平外力的功率恒为 P=18W，则金属棒达到的稳定速度 v2是多少？ （3）若施加的水平外力的功率恒为 P=18W，则金属棒从开始运动到速度 v3=2m/s 的过程中电阻 R 产生的 热量为 8.6J，则该过程所需的时间是多少？ 解解： （1）由 E=BLv、 R E I 和 F=BIL 得 R vLB F 22 当 F=8N 时，代入数据解得 v1=4m/s . （2）由 R vLB F 22 和 P=Fv ，得 BL PR v 2 代入数据后解得 v2=3m/s （3）根据能量守恒，有QmvPt 2 3 2 1 ，得 ss P Qmv t5 . 0 18 6 . 822 . 0 2 1 2 1 22 3 【例 4】如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于倾角 =30 的斜面上，导轨上、下端各接有阻 值 R=10 的电阻，导轨自身电阻忽略不计，导轨宽度 L=2m，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面向上 的匀强磁场，磁感应强度 B=0.5T 。质量为 m=0.1kg ，电阻 r=5 的金属棒 ab 在较高处由静止释放，金属 棒 ab 在下滑过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好。当金属棒 ab 下滑高度 h =3m 时，速度恰好达到最 大值 v=2m/s 。 求： （1）金属棒 ab 在以上运动过程中机械能的减少量； （2）金属棒 ab 在以上运动过程中导轨下端电阻 R 中产生的热量 （g=10m/s2） 解：解： （1）杆 ab 机械能的减少量 JmvmghE8 . 2 2 1 2 （2）速度最大时 ab 杆产生的电动势 E =BLv = 2 V 产生的电流 A R r E I2 . 0 2 此时的安培力 F =BIL = 0.2N 由题意可知，导体棒受的摩擦力大小为 f = mgsin300 -F = 0.3 N 由能量守恒得，损失的机械能等于物体克服摩擦力做功和产生的电热之和 电热 J fh EQ1 30sin （注意：由 f =FN知整个过程中摩擦力大小保持不变） 由以上各式得：下端电阻 R 中产生的热量 J Q QR25. 0 4 . c d f e g h F R h a b R B - 17 - 【例 5】两根相距为 L 的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂 直于水平面。质量均为 m 的金属细杆 ab、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有 相同的动摩擦因数 ，导轨电阻不计，回路总电阻为 2R 。整个装置处于磁感应强度大小为 B，方向竖直 向上的匀强磁场中。当 ab 杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以某一速度 向下做匀速运动。设运动过程中金属细杆 ab、cd 与导轨接触良好。重力加速度为 g 。求： （1）ab 杆匀速运动的速度 v1 ； （2）ab 杆所受拉力 F ； （3）ab 杆以 v1匀速运动时，cd 杆以 v2（v2已知）匀速运动，则在 cd 杆向下运动 h 过程中，整个回路中 产生的焦耳热为多少？ 解：解： （1）ab 杆向右运动时，ab 杆中产生的感应电动势方向为 ab，大小为 E=BLv1 ，cd 杆的感应电流方 向为 dc 。 cd 杆受到的安培力方向水平向右 安培力大小为 R vLB R BLv BLBILF 22 1 22 1 安 cd 杆向下匀速运动，有 安 Fmg 联立、式，则 ab 杆匀速运动的速度为 22 1 2 LB Rmg v （2）ab 杆所受拉力mgmg mg mg R vLB mgFF) 1 ( 2 2 1 22 安