控制工程基础燕山大学孔祥东答案与解答.pdf

5-4某单位反馈系统的开环传递函数 15 9 s sG，当输入 302cos5ttr时，试 求系统的稳态输出和稳态误差；若 45sin302cos5tttr时，求系统的稳态输 出。 解：闭环传递函数为： 15 . 0 9 . 0 105 9 1 sssG sG s 125. 0 5 . 0 125. 0 1 9 . 0 22 jj 125. 0 9 . 0 2 A 64. 0 1225. 0 9 . 0 2 2 A 73. 0 1125. 0 9 . 0 1 2 A 5 . 0arctan 4525 . 0arctan2 57.2615 . 0arctan1 当输入 302cos5ttr时： 稳态输出： 752cos2 . 32302cos25ttA 稳态误差： 752cos2 . 3302cos5tttctrte 或： 15 . 0 15 1 . 0 105 15 1 1 s s s s sG sE 125. 0 45. 0 125. 0 15 . 2 1 . 0 15 . 0 15 1 . 0 22 2 j j j jE 125. 0 5 . 415 . 2 1 . 0 2 2 2 2 jE 71. 0 1225. 0 25 . 4125 . 2 1 . 02 2 2 2 2 jE 批注批注 xxl1: 输入时余弦时， 幅值和相位的变化和正弦是相 同的；可以采用叠加原理分别求出相应后再加；稳态误差 可用直接频率特性求 e（t） 。 15 . 2 5 . 4 arctan 2 jE 29.39 125 . 2 25 . 4 arctan2 2 jE 29. 92cos55. 32302cos52tjEtjEte 若 45sin302cos5tttr时： 稳态输出： 43.18sin73. 0752cos2 . 3 145sin12302cos25 tt tAtA 5-7下面的各传递函数能否在图 5-40 中找到相应的奈氏曲线？ （1）. 14 . 0 142 . 0 2 1 ss s sG （2）. 13 . 0 15914. 0 2 2 2 ss ss sG （3）. 1 11 . 0 3 ss sK sG （4）. 321 4 sss K sG Im -10 dB a) Im Re b) Im Re c) Im Re d) Im Re e) Im Re f) 图 5-40 题 5-7 图 批注批注 xxl2: 可从简入繁，先根据起点、终点等进行判断， 当满足时应进一步判断，如实部、虚部、幅值和相位的变 化规律等。由于图形中没有给出具体的数值，因此只需判 断曲线的形状是否相符即可。 （5）. 15 . 01 5 sss K sG （6）. 21 6 ss K sG 解： （1）. 14 . 0 142 . 0 2 1 ss s sG 116. 0 72. 0 116. 0 6 . 112 . 0 116. 0 6 . 3 116. 0 6 . 11 2 . 0 222 2 2222 2 1 j jjG 116. 0 6 . 112 . 0 22 2 1 U 116. 0 72. 0 2 1 V 起 点 ： 0 ：jG1， 180902 1 ， 1 U， 1 V； 终点： ：0 1 jG， 180903190 1 nm； 中间变化过程：幅值、实部和虚部的绝对值单调下降；实部和虚部恒小于 0，位于第三 象限；转角频率从小到大排列：一阶微分、惯性环节，相位先增加后减少； c)相近，但起点虚部和虚部的变化规律不符。找不到对应的图形。 （2）. 13 . 0 15914. 0 2 2 2 ss ss sG 起点： 0 ：jG1， 180902 1 ； 终点： ：0 1 jG， 90903290 1 nm； 从起点和终点的相位变化即可知找不到对应的图形。 （3）. 1 11 . 0 3 ss sK sG 1 1 . 01 1 9 . 0 2 2 2 3 jKjG 1 9 . 0 2 3 K U 1 1 . 01 2 2 3 KV 起 点 ： 0：jG3， 90901 3 ， KU9 . 0 3 ， 3 V； 终点：0 3 jG， 90902190 3 nm； 中间变化过程：幅值、实部和虚部的绝对值单调下降；实部和虚部恒小于 0，位于第三 象限；转角频率从小到大排列：惯性环节、一阶微分，相位先减少后增加； e)相近，但实起点部和实部的变化规律不符。找不到对应的图形。 （4）. 321 4 sss K sG 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 4 1166 11 1166 66 jKjG 222 4 941 K jG 2 3 2 2 2 4 1166 66 KU 2 3 2 2 3 4 1166 11 KV 起点： 0： 6 4 K jG， 0900 4 ， 6 4 K U， 0 4 V； 终点：0 4 jG， 270903090 4 nm； 中间变化过程： 0 1166 66 2 3 2 2 2 4 KU，得：1，取正值， 则 KKV 2 4 111 111 ； 0 1166 11 2 3 2 2 3 4 KV， 得 ： 0,11，取正值，则 60 1111111166 1166 2 3 2 4 K KU 幅 值单调下降；全部为惯性环节，相位单调减少； 2700 4 对应的图形为 a)。 （5）. 15 . 01 5 sss K sG 起点： 0：jG5， 90901 5 ； 终点：0 5 jG， 270903090 5 nm； 从起点和终点的相位变化即可知找不到对应的图形。 （6）. 21 6 ss K sG 起点： 0： 2 6 K jG， 0900 6 ； 终点：0 6 jG， 180902090 6 nm； 从起点和终点的相位变化即可知找不到对应的图形。 5-8 试画出下列传递函数的博德图。 （3） 11 . 015 . 0 10 sss sG （8） 10016 112 . 05 . 7 2 sss ss sG 解 Im Re 1) 14 . 0 142 . 0 2 1 ss s sG Im Re Im Re Im Re Im Re Im Re 2) 13 . 0 15914. 0 2 2 2 ss ss sG 3) 1 11 . 0 3 ss sK sG 4) 321 4 sss K sG 5) 15 . 01 5 sss K sG 6) 21 6 ss K sG 批注批注 xxl3: 注意作图的准确性，可采用 matlab 打印半对 数坐标纸来画 （3） 11 . 015 . 0 10 sss sG 环节 惯性 惯性 转角频率 2 10 斜率（dB/dec） -20 -20 相位 0-90 0-90 对数幅频特性： 起始段：-20dB/dec,过（10, 0dB） 对数相频特性： -90-270 (8) 10016 112 . 05 . 7 2 sss ss sG 116. 01 . 0 112 . 0075. 0 2 sss ss sG 环节 一阶微分 一阶微分 振荡环节 转角频率 1 5 10 斜率（dB/dec） 20 20 -40 相位 090 090 0-180 对数幅频特性： -20dB/dec -40dB/dec -60dB/dec Im Re （-1，j0） dBK5 .22075. 0log20log20 起始段：-20dB/dec,过（1,-22.5） 。 =0.8 不必进行修正。 对数相频特性： -90-90,先增后减。 5-10 某单位负反馈系统的开环传递函数 121 14 2 sss s sG， 试用奈氏判据判断闭环系 统的稳定性，并用劳斯判据进行校验。 解： 2 2 22 22 2 2 22 2 22 2 921 81101 921 32114 321 14 121 14 j jj j j jjj j jG 可见其实部始终小于 0，即曲线位于 虚轴左边。 -20dB/dec -20dB/dec 20dB/dec 0dB/dec 批注批注 xxl4: 有时两个环节的转角频率较接近时也需要进 行修正。 批注批注 xxl5: 进行稳定判据判断稳定性时只需画出奈氏图 的大致形状，并获得和实轴的精确相交点即可，如需求相 对稳定性指标，则需对重点区域进行较为精确的作图。 求曲线和负实轴的交点： 令虚部等于 0： 0 921 81 2 2 22 2 V 得： 4 2 ，代入实部 得： 167.10 3 32 4 2 9 4 2 21 4 2 4 2 101 921 101 2 2 22 2 2 2 22 2 U 画出奈氏图的大致形状并作辅助线如图示， 开环右极点 PR=0，包围（-1，j0）点的圈数为 N=-1 次，因此闭环右极点的数目为： 22NPZ RR ，可见系统不稳定，有两个闭环右极点。 用劳斯判据校验： 闭环传递函数为： 1432 14 14121 14 2342 ssss s ssss s s 得闭环特征方程为：01432 234 ssss，列劳斯计算式： 01 0529 135 43 112 0 1 2 3 4 s s s s s 第一列有小于零的数存在，所以闭环不稳定，符号变化了两次，有两个右极点。可见和 劳斯判据判断的结果相同。 5-11 某单位负反馈系统的开环传递函数 1005. 0102. 0 250 sss sG，试绘制其奈氏图 和博德图，求相角裕度和幅值裕度，并判断闭环系统的稳定性。 解：绘制奈氏图： 批注批注 xxl6: 如要求画奈氏图或伯德图， 则应采用几何稳定 判据进行稳定性判断。 Im Re -1 -6.25 1005. 0102. 0 250 sss sG 2 23 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 0001. 01000625. 0 0001. 01250 0001. 01000625. 0 25. 6 0001. 01025. 0 0001. 01250 0001. 01025. 0 025. 0250 0001. 01025. 0 0001. 01025. 0250 0001. 01025. 0 250 025. 00001. 01 250 1005. 0102. 0 250 j j j j jj jjj jG 可见其实部始终小于 0，即曲线位于虚轴左边。0时，实部为-6.25， 求曲线和负实轴的交点： 令虚部等于 0： 0 0001. 01000625. 0 0001. 01250 2 23 2 V 得：100，代入实部 得： 1 0001. 01025. 0 025. 0250 2 2 2 2 2 U 可见奈氏曲线正好通过（-1，j0）点，系统处于临界 稳定状态，其相角裕度为=0和幅值裕度为 Kg=1。 画出奈氏图的大致形状如图示， 绘制 1005. 0102. 0 250 sss sG博德图 1005. 0102. 0 250 sss sHsG 起始段：-20dB/dec,-90, 0L，250 环节 惯性 惯性 转角频率 50 200 斜率（dB/dec） -20 -20 相位 0-90 0-90 10010000 90 10000 1 40 arctan 90 200 arctan 50 arctan 180 200 arctan 50 arctan90 2 g g g gg gg g dB L gg gg 0 5 2 5 1 5 . 2lg20 1 200 100 lg1 50 100 lg100lg250lg20 1 200 lg1 50 lglg250lg20 22 22 可见g=c，系统临界稳定。 相角裕量=0 增益裕量 Kg(dB)=0dB 5-13 已知系统开环频率特性的奈氏图如图 4-41 所示，试判断闭环系统的稳定性。 g c -20dB/dec -40dB/dec -60dB/dec g c -20dB/dec -40dB/dec -60dB/dec g 批注批注 xxl7: 相邻的两个惯性环节或两个一阶微分环节， 其 相位变化必为 0-180（0180） ，其拐点（90）的 频率在其几何中心： 21 批注批注 xxl8: 也可以用渐近线来进行计算， 但如果相角穿越 频率附近有转角频率存在的话，则会有较大的误差。 批注批注 xxl9: 不要忘记添加辅助线 解： a) PR=0，作辅助线，N=0，ZR=PR-2N=0，稳定。 b) PR=0，N=-1/2，ZR=PR-2N=1，不稳定。 c) PR=1，N0=1，ZR=PR-N0=0，稳定。 d) PR=0，N=-1，ZR=PR-2N=2，不稳定。 5-15 某单位反馈的二阶 I 型系统，其最大超调量为 16.3%，峰值时间为 114.6ms，试求其开 环传递函数，并求出闭环谐振峰值 Mr和谐振频率r。 解：开环传递函数形式： n n sG 2ss 2 5 . 0 163. 0% 2 1 e p a) b) d) Im Re 开环系统稳定 (-1，j0) =0 = Im Re 开环系统稳定 (-1，j0) =0 = 0 0 c) Im Re s右半平面有一个 开环极点 (-1，j0) =- 0 = Im Re 开环系统稳定 (-1，j0) =0 = 0 图 5-41 题 5-13 图 srad t n nn p /65.31 1146. 0 5 . 011 22 10316. 0 65.31 65.31 7 .1001 2 2 2 ssssss sG n n 15. 1 5 . 015 . 02 1 12 1 22 r M srad nr /38.225 . 02165.3121 22 5-18 对于图 5-44 所示的最小相位系统，试写出其传递函数，并绘出相应的对数相频特性的 大致图形。 b) 求开环增益： 10 ,20lg20 K K 14100 12 . 010 1 1 . 0 2 . 02 1 . 0 1 11 . 0210 2 2 2 2 ss ss ss ss sG 相应的对数相频特性的大致图形如图示。 a) L()/dB /rads -1 c) 2=0.1 0 1 -40dB/dec 0.1 1=0.2 e) L()/dB /rads -1 h) 0 0.1 20dB/dec 0.01 -20dB/dec -10dB L()/dB 90 0 5 -20dB/dec 0.5 10 20 -40dB/dec -20dB/dec -60dB/dec 20dB L()/dB 0 0.25 -40dB/dec 1 4 -40dB/dec -20dB/dec /rads-1 图 5-44 题 5-18 图 批注批注 xxl10: 画相频特性时， 可根据基本环节的相位变化， 再结合特殊点的相位值（起终点、各环节的拐点等）即可 画出大致形状。 c) 由图可得： 11 . 012 . 0 12 sss sK sG srad/10时的幅值为：dB1210log20log40 srad/5和srad/5 . 0时的幅值为：dB185log10log2012 根据初始段