李雅普诺夫稳定性的定义.ppt

Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析 本章简介(1/2) 本 章 简 介 q 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 主要介绍 李雅普诺夫稳定性的定义以 及 分析系统状态稳定性的李雅 普诺夫理论和方法; 着重讨论 李雅普诺夫第二法及其在线 性系统和3类非线性系统的应用、 李雅普诺夫函数的构造、 李亚普诺夫代数(或微分)方 程的求解等。 目录(1/1) 目 录 q 概述 q 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 q 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 q 5.3 线性系统的稳定性分析 q 5.4 非线性系统的稳定性分析 q 5.5 Matlab问题 q 本章小结 概述(1/5) 概 述 q 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系 统。 例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的 能力; 电机自动调速系统中保持电 机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持 航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定 系统。 q 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在 外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作 。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统 。 概述(2/5) q 也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是 式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; 为任意小的规定量。 如果系统在受到外扰后偏差 量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统 。 概述(3/5) q 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系 统的稳定性判据。 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论, 产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh- Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又 方便的判别系统稳定性的方法。 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常 系统输入输出间动态关系,讨论的是 线性定常系统的有界输入有 界输出(BIBO)稳定性, 未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广 到时变系统和非线性系统等复杂系统。 概述(4/5) 再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统 转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内 应用,但是难以胜任一般系统。 q 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加 以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态 。 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方 法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论, 即李雅普诺夫稳定性定理。 概述(5/5) q 实际上 ,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式： 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部 状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳 定性。 经典控制理论讨论的确有界 输入有界输出稳定即为外部稳定性 。 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所 呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性。 本节讨论的李雅普诺夫稳定 性即为内部稳定性。 外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适 用于线性系统,而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统,只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性 。 概述(6/5) q 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题” 的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。 百余年来,李雅普诺夫 理论得到极大发展,在 数学、力学、控制理论 、机械工程等领域得到 广泛应用。 李雅普诺夫把分析一阶常微 分方程组稳定性的所有方法 归纳为两类。 概述(7/5) 第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化, 然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定 性来讨论原非线性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法,与经 典控制理论中判别稳定性方法的思路是一 致的。 该方法称为间接法,亦称为李 雅普诺夫第一法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别 稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量 函数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判 别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法, 亦称为李雅普诺夫第二法。 概述(8/5) q 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 时变系统、 非线性系统,甚至 离散时间系统、 离散事件动态系统、 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。 概述(9/5) q 可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制 理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人 们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法, 并得到了进一步研究和发展。 本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普 诺夫第一法和第二法的理论及应用。 概述(10/5) q 本章需解决的问题: 动态系统的状态稳定性理论- -李雅普诺夫稳定性 基本概念: 平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定 性、不稳定性 基本方法:李雅普诺夫第一法、 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法在线性定 常系统的应用-李雅普诺夫方程的求解 重点！ 重点与难点！ 李雅普诺夫稳定性的定义(1/4) 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 q 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和表 示的定性指标。 它反映的是系统的一种本质特 征。这种特征不随系统变换而改变,但可通过 系统反馈和综合加以控制。 这也是控制理论和控制工程的 精髓。 在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生 有界输出的输入输出稳定性问题。 从经典控制理论知道,线性系 统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根, 与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不 然。 李雅普诺夫稳定性的定义(2/4) q 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的,我们很难笼 统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统,其不同的平 衡态有着不同的稳定性,故只能分别讨论各 平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统,由于只 存在唯一的孤立平衡态,所以只有对线性系 统才能笼统提系统的稳定性问题。 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态 附近的局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定 性理论, 不仅适用于线性定常系统,而且也适 用于非线性系统、时变系统、分布参数系统 。 本节先讨论李雅普诺夫稳定 性理论的基础-李雅普诺夫稳定性定义。 李雅普诺夫稳定性的定义(4/4) 下面将分别介绍如下李雅普诺夫稳定性有关定义。 平衡态 李雅普诺夫意义下的稳定性 渐近稳定性 大范围渐近稳定性 不稳定性 平衡态稳定性与输入输出稳 定性的关系 难点,要理解喔! 平衡态(1/4) 5.1.1 平衡态 q 设我们所研究的系统的状态方程为 x=f(x,t) 其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性 向量函数。 对该非线性系统,其平衡态的定义如下。 平衡态(2/4) 定义1 q 定义5-1 动态系统 x=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)0 的状态,并用xe来表示。 q 从定义5-1可知,平衡态即指状态空间 中状态变量的导数向量为零向量的点 (状态)。 由于导数表示的状态的运动 变化方向,因此平衡态即指能够 保持平衡、维持现状不运动的状 态,如上图所示。 平衡态(3/4) q 李雅普诺夫稳定性研究的平衡 态附近(邻域)的运动变化问题 。 若平衡态附近某充分 小邻域内所有状态的运动 最后都趋于该平衡态,则 称该平衡态是渐近稳定的 ; 若发散掉则称为不稳 定的,若能维持在平衡态 附近某个邻域内运动变化 则称为稳定的,如上图所 示。 平衡态(4/4) q 显然,对于线性定常系统 x=Ax 的平衡态xe是满足下述方程的解。 Axe=0 q 当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0; 而当A为奇异时,则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不 为孤立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间。 对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态,它们分 别为对应于式f(x,t)0的常值解。 平衡态(5/4) q 例如,对于非线性系统 其平衡态为下列代数方程组 的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。 平衡态(6/4) q 对于孤立平衡态,总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的 原点。 因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状 态空间的原点。 q 值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局 部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻 域(区域)。 李雅普诺夫意义下的稳定性(1/1) 5.1.2 李雅普诺夫意义下的稳定性 q 在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数 学名词和符号： 范数 球域 然后介绍 李雅普诺夫意义下的稳定性的定义。 李雅普诺夫意义下的稳定性范数(1/2) 1) 范数 q 范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为 |x1-x2|。 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种 具体范数的定义。 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为 其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。 李雅普诺夫意义下的稳定性范数(2/2) 常用的n为维空间中的其他范数有: 1-范数 -范数 李雅普诺夫意义下的稳定性-球域(1/1) 2) 球域 q 以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长 度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,), 即S(xe,)包含满足|x-xe|的n维空间中的各点x。 李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(1/4) 3) 李雅普诺夫稳定性定义 q 基于上述数学定义和符号,我们有如下 李雅普诺夫意义下稳定性的定义。 图5-1 李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(2/4) q 定义5-2(李雅普诺夫稳定性) 若状态方程 x=f(x,t) 所描述的系统, 对于任意的0和任意初始时刻t0, 都对应存在一个实数(,t0)0, 使得对于任意位于平衡态xe的球域 S(xe,)的初始状态x0, 当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域 S(xe,)内, 则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的, 李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(3/4) 即逻辑关系式 0 t0 0 x0S(xe,) t t0 x(t)S(xe,) 为真,则xe是李雅普诺夫意义下稳定的。 若实数(,t0)与初始时刻t0无关,即逻 辑关系式 0 0 t0 x0S(xe,) t t0 x(t)S(xe,) 为真,则称稳定的平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致稳定的 。 q 对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定 无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价。 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。 李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(4/4) q 上述定义说明,对应于平衡态xe的每一个 球域S(xe,), 一定存在一个有限的球域S(xe,), 使得t0时刻从S(xe,)出发的系统 状态轨线总不离开S(xe,), 则系统在初始时刻t0的平衡态xe 为在李雅普诺夫意义下稳定的。 以二维状态空间为例,上述定义的几何解释和状态轨线变 化如图5-1所示。 李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(5/4) q 对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明： 李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平 衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。 系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线， 只要不超过S(xe,)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控 制理论则认为不稳定。 渐近稳定性(1/3)渐近稳定性定义 5.1.3 渐近稳定性 q 上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在 该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态 稳定于何处。 下面我们给出强调系统最终状态稳定性的李雅普诺夫意 义下的一致渐近稳定性定义。 渐近稳定性(2/3)渐近稳定性定义 q 定义5-3(李雅普诺夫渐近稳定性) 若 状态方程 x=f(x,t) 所描述的系统在初始时刻t0的平衡态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的,且系统 状态最终趋近于系统的平衡态xe,即 Limt x(t)=xe 则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。 若(,t0)与初始时刻t0无关,则称平衡态xe是李雅普诺夫意 义下一致渐近稳定的。 图5-2 渐近稳定性(3/3) q 对于线性定常系统来说,上述定义中的实 数(,t0)可与初始时刻t0无关,故其渐近稳 定性与一致渐近稳定性等价。 但对于时变系统来说,则这两者的意 义很可能不同。 q 渐近稳定性在二维空间中的几何解释如 图5-2所示。 该图表示状态x(t)的轨迹随时间变化 的收敛过程。 图5-1与图5-2相比较,能清楚地说明 渐近稳定和稳定的意义。 图5-2 图5-1 渐近稳定性(4/3) q 对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： 经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义 下的渐近稳定。 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态 轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域 内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状 态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最 终收效或无限趋近平衡状态xe。 从工程意义来说,渐近稳定性比经典控制理论中的稳 定性更为重要。 由于渐近稳定性是个平衡态 附近的局部性概念,只确定平衡态渐近稳定 性,并不意味着整个系统能稳定地运行。 大范围渐近稳定性(1/1) 5.1.4 大范围渐近稳定性 q 对于n维状态空间中的所有状态,如果由这些状态出发的状态 轨线都具有渐近稳定性,那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下 大范围渐近稳定的。 换句话说,若状态方程在任意初始状态下的解,当t无限增 长时都趋于平衡态,则该平衡态为大范围渐近稳定的。 显然,大范围渐近稳定性